一元微分学¶

大纲¶

第一部分：基础知识

第一章：函数与极限
- 函数的概念、表示法、性质
- 反函数与复合函数
- 初等函数
- 数列的极限
- 函数的极限
- 极限的性质与运算法则
- 无穷小量与无穷大量
- 极限的严格定义 (ε-δ 语言, ε-N 语言) (选学)
第二章：导数与微分
- 导数的概念、几何意义、物理意义
- 导数的定义、单侧导数
- 可导与连续的关系
- 求导法则 (和、差、积、商、反函数、复合函数)
- 基本初等函数的导数公式
- 高阶导数
- 隐函数求导
- 由参数方程确定的函数的导数
- 对数求导法
- 微分的概念、几何意义
- 微分运算法则
- 微分在近似计算中的应用

第二部分：微分中值定理与导数的应用

第三章：微分中值定理与导数的应用
- 微分中值定理 (罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)
- 泰勒中值定理 (选学)
- 洛必达法则
- 函数的单调性与极值
- 函数的凹凸性与拐点
- 函数的最值
- 函数图形的描绘
- 方程的近似求解 (二分法、牛顿法) (选学)
- 曲率
- 导数在经济学中的应用简介 (边际分析、弹性分析) (选学)

第三部分：导数的进阶应用与主题拓展 (选学)

附录

第一章：函数与极限

1.1 函数
- 1.1.1 函数的概念
- 1.1.2 函数的表示法
- 1.1.3 函数的几种特性
  - (1) 有界性
  - (2) 单调性
  - (3) 奇偶性
  - (4) 周期性
- 1.1.4 反函数
- 1.1.5 复合函数
- 1.1.6 初等函数
1.2 数列的极限
- 1.2.1 数列极限的直观描述
- 1.2.2 数列极限的 ε-N 定义 (选学)
1.3 函数的极限
- 1.3.1 当 x→x₀ 时函数的极限
  - (1) x→x₀ 时函数极限的直观描述
  - (2) x→x₀ 时函数极限的 ε-δ 定义 (选学)
  - (3) 单侧极限：左极限与右极限
- 1.3.2 当 x→∞ 时函数的极限
  - (1) x→∞ 时函数极限的直观描述
  - (2) x→+∞，x→-∞，x→∞ 时函数极限的 ε-X 定义 (选学)
1.4 极限的性质与运算法则
- 1.4.1 极限的唯一性
- 1.4.2 极限的局部保号性
- 1.4.3 极限的四则运算法则
- 1.4.4 复合函数的极限运算法则
1.5 无穷小量与无穷大量
- 1.5.1 无穷小量
- 1.5.2 无穷大量
- 1.5.3 无穷小量与无穷大量的关系
- 1.5.4 无穷小量的运算性质
- 1.5.5 无穷小量的比较 (选学)
1.6 习题
- 1.6.1 基础题
- 1.6.2 提高题
- 1.6.3 挑战题

第二章：导数与微分

2.1 导数的概念
- 2.1.1 问题的提出
  - (1) 瞬时速度
  - (2) 切线斜率
- 2.1.2 导数的定义
  - (1) 导数的定义
  - (2) 单侧导数
- 2.1.3 导数的几何意义
- 2.1.4 导数的物理意义
- 2.1.5 可导与连续的关系
2.2 求导法则
- 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
- 2.2.2 反函数的导数
- 2.2.3 复合函数的求导法则 (链式法则)
- 2.2.4 基本初等函数的导数公式
- 2.2.5 例题选讲
2.3 高阶导数
- 2.3.1 高阶导数的定义
- 2.3.2 高阶导数的运算法则
- 2.3.3 几个常用高阶导数公式
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
- 2.4.1 隐函数的导数
- 2.4.2 由参数方程确定的函数的导数
- 2.4.3 对数求导法
2.5 函数的微分
- 2.5.1 微分的定义
- 2.5.2 微分的几何意义
- 2.5.3 微分运算法则
- 2.5.4 微分在近似计算中的应用
2.6 习题
- 2.6.1 基础题
- 2.6.2 提高题
- 2.6.3 挑战题

第三章：微分中值定理与导数的应用

第四章：导数应用的补充 (选学)

第五章：数学建模初步 (选学)

附录