第一章 函数与极限 回顾与总结

本章我们学习了函数与极限的基本概念和性质。函数是描述变量之间依赖关系的数学工具，而极限是研究函数变化趋势的重要方法。

1.1 函数

• 核心概念： 函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射。一个函数由定义域、值域和对应法则三个要素构成。
• 表示方法： 解析法、表格法、图像法。微积分中主要研究用解析法表示的函数。
• 函数特性：
  • 有界性： 函数值在一个区间内有上下界。
  • 单调性： 函数值随自变量的增大而增大 (单调递增) 或减小 (单调递减)。
  • 奇偶性： 关于 y 轴对称 (偶函数) 或关于原点对称 (奇函数)。
  • 周期性： 函数值每隔一个固定的周期重复出现。
• 反函数: 对于单射函数，存在反函数，且反函数的定义域和值域与原函数互换。
• 复合函数: 由多个函数复合而成，复合函数存在的条件是内层函数的值域与外层函数的定义域的交集不能为空集。
• 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构成，并且能用一个解析式子表示的函数。

重点与难点:

• 深刻理解函数的概念，区分函数和非函数。
• 掌握函数的各种特性及其几何意义。
• 理解反函数和复合函数的概念。

1.2 数列的极限

• 核心概念: 当 n 无限增大时，数列 {a_n} 无限接近于某个确定的常数 A，则 A 为数列的极限。
• ε-N 定义 (选学): 对于任意 ε > 0，总存在 N > 0，使得当 n > N 时，|a_n - A| < ε。
• 直观理解： 数列的项在数轴上无限逼近一个点。

重点与难点:

• 理解数列极限的直观描述和 ε-N 定义。
• 用 ε-N 定义证明数列极限。

1.3 函数的极限

• 核心概念: 当 x 无限接近于 x₀ 或 x→∞ 时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则 A 为函数的极限。
• x→x₀ 时极限的 ε-δ 定义 (选学): 对于任意 ε > 0，总存在 δ > 0，使得当 0 < |x - x₀| < δ 时，|f(x) - A| < ε。
• x→∞ 时极限的 ε-X 定义 (选学): 对于任意 ε > 0，总存在 X > 0，使得当 |x| > X 时，|f(x) - A| < ε。
• 单侧极限: 左极限和右极限。函数在 x₀ 处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
• 直观理解： 函数图像无限逼近一条水平直线 (极限存在)。

重点与难点:

• 理解函数极限的直观描述和 ε-δ, ε-X 定义。
• 用 ε-δ, ε-X 定义证明函数极限。
• 理解单侧极限的概念及其与函数极限的关系。

1.4 极限的性质与运算法则

• 唯一性: 极限如果存在，则是唯一的。
• 局部保号性: 如果函数在 x₀ 处极限大于 0 (或小于 0)，则在 x₀ 的某个去心邻域内，函数值也大于 0 (或小于 0)。
• 四则运算法则: 两个函数和、差、积、商的极限等于它们极限的和、差、积、商 (分母极限不为零)。
• 复合函数的极限运算法则: 在一定条件下，复合函数的极限可以通过变量替换来计算。

重点与难点:

• 理解并熟练运用极限的性质和运算法则计算极限。

1.5 无穷小量与无穷大量

• 无穷小量: 极限为零的变量。
• 无穷大量: 绝对值无限增大的变量。
• 关系: 在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；非零无穷小量的倒数是无穷大量。
• 无穷小量的运算性质: 有限个无穷小量的和、积以及有界函数与无穷小量的积都是无穷小量。
• 无穷小量的比较 (选学): 高阶、低阶、同阶、等价无穷小量。

重点与难点:

• 理解无穷小量和无穷大量的概念，区分无穷小量和很小的数，无穷大量和很大的数。
• 掌握无穷小量的运算性质。
• 理解无穷小量比较的概念 (选学)。

学习建议

• 重视基础: 函数和极限是微积分的基石，务必深刻理解基本概念。
• 多做练习: 通过大量的例题和习题，掌握极限的计算方法和技巧。
• 数形结合: 利用图形来理解函数的性质和极限的概念，增强直观感受。
• 善于总结: 定期回顾和总结所学内容，构建知识体系。
• 深入思考 (对于选学内容): ε-N 和 ε-δ 定义是极限理论的精髓，虽然是选学内容，但建议学有余力的同学深入学习和理解，这对于培养数学思维能力大有裨益。