第一章术语整合

函数的概念与表示 (1.1)

术语	解释	上下文示例	来源链接
函数	描述两个变量之间依赖关系的数学工具，其中一个变量（因变量）的值由另一个变量（自变量）唯一确定。	“那么我们就称 f 是定义在 D 上的一个**函数**。”	维基百科-函数
自变量	函数中可以自由取值的变量，通常用 x 表示。	“其中 x 称为**自变量**”	维基百科-自变量
因变量	函数中其值依赖于自变量取值的变量，通常用 y 或 f(x) 表示。	“y 称为**因变量**”	维基百科-因变量
定义域	函数自变量允许取值的集合。	“D 称为函数的**定义域**”	维基百科-定义域
值域	函数因变量所有可能取值的集合。	“函数值的集合 ... 称为函数的**值域**”	维基百科-值域
映射	一种特殊的对应关系，其中一个集合的每个元素都与另一个集合中的唯一元素对应。函数是数集到数集的映射。	“那么称 f 是从 X 到 Y 的一个**映射**”	维基百科-映射
像	在映射中，与原像对应的元素。	“元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的**像**”	维基百科-像
原像	在映射中，与像对应的元素。	“元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的**原像**。”	维基百科-原像
解析法	用数学表达式表示函数的方法。	“**解析法**就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。”	百度百科-解析法
表格法	用表格列出一些自变量的值及其对应的函数值表示函数的方法。	“**表格法**就是列出一些自变量的值及其对应的函数值。”	百度百科-表格法
图像法	用图形表示函数的方法，将自变量作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标。	“**图像法**就是用图形表示两个变量之间的对应关系。”	百度百科-图像法
有界性	函数在定义域内的所有取值都被限制在某个有限的范围内。	“则称函数 f(x) 在 D 上**有界**。”	维基百科-有界函数
无界	函数的值在定义域内可以无限增大或减小，没有一个确定的界限。	“如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x) 在 D 上**无界**。”	维基百科-无界函数
局部无界	函数在定义域的某个区间内函数值没有界限。	“则称函数 f(x) 在 D 上是**局部无界的**。”	CSDN-局部无界函数
单调递增	函数的取值随着自变量的增大而增大。	“则称函数 f(x) 在 D 上**单调递增**”	维基百科-单调函数
单调递减	函数的取值随着自变量的增大而减小。	“则称函数 f(x) 在 D 上**单调递减**”	维基百科-单调函数
单调函数	单调递增或单调递减的函数。	“单调递增和单调递减的函数统称为**单调函数**。”	维基百科-单调函数
偶函数	定义域关于原点对称，且满足 f(-x) = f(x) 的函数。图像关于 y 轴对称。	“则称 f(x) 为**偶函数**”	维基百科-偶函数
奇函数	定义域关于原点对称，且满足 f(-x) = -f(x) 的函数。图像关于原点对称。	“则称 f(x) 为**奇函数**”	维基百科-奇函数
周期函数	存在一个正数 T，使得对定义域内的任何 x，都有 f(x + T) = f(x) 的函数。	“则称 f(x) 为**周期函数**”	维基百科-周期函数
周期	周期函数中，使得函数值重复出现的最小正数 T。	“T 称为 f(x) 的一个**周期**。”	维基百科-周期函数
反函数	对于原函数 y = f(x)，如果对于值域中的每一个 y，都有唯一的 x 满足 f(x) = y，则称 x = f-1(y) 为原函数的反函数。	“称这个函数为 y = f(x) 的**反函数**”	维基百科-反函数
复合函数	由一个函数的输出作为另一个函数的输入所形成的函数，通常记为 f(g(x))。	“确定的函数称为由 y = f(u) 和 u = g(x) 构成的**复合函数**”	维基百科-复合函数
中间变量	复合函数中，作为连接自变量和因变量的中间变量，通常用 u 表示。	“其中 u 称为**中间变量**”	CSDN-中间变量
基本初等函数	包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这五类函数。	“以下五类函数统称为**基本初等函数**”	百度百科-基本初等函数
初等函数	由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构成的，并且能用一个解析式子表示的函数。	“称为**初等函数**。”	百度百科-初等函数

数列的极限 (1.2)

术语	解释	上下文示例	来源链接
数列	一列按照特定顺序排列的数。每个数都称为数列的项。	“这些按照一定顺序排列的一列数称为**数列**。”	维基百科-数列
极限	数列的极限是指当数列的项的序号趋于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。如果这个常数存在，则称数列收敛，否则称数列发散。	“则称常数 A 为数列 {an} 的**极限**，或者称数列 {an} 收敛于 A。”	维基百科-数列极限
收敛	如果一个数列的极限存在（即趋于某个有限的常数），则称该数列是收敛的。	“或者称数列 {an} 收敛于 A。”	维基百科-收敛
发散	如果一个数列的极限不存在，则称该数列是发散的。发散的数列可以是趋于无穷大，或者在多个值之间震荡。	“如果这样的常数 A 不存在，则称数列 {an} 没有极限，或者称数列 {an} 发散。”	维基百科-发散
收敛数列	具有极限的数列，即数列的项最终会无限接近一个确定的常数。	“当数列有极限时，也称该数列为**收敛数列**”	百度百科-收敛数列
发散数列	没有极限的数列，即数列的项不会趋近于任何确定的常数。	“否则为**发散数列**。”	百度百科-发散数列
ε-N 语言	一种严格定义数列极限的数学语言，用任意小的正数 ε 和一个与 ε 相关的正整数 N 来描述数列的项趋近于极限的过程。	“为了更精确地刻画数列极限的概念，我们需要引入 ε-N 语言。”	维基百科-极限的定义
ε (epsilon)	在 ε-N 定义中，ε 是一个任意小的正数，用来度量数列的项与极限之间的接近程度。 ε 越小，表示数列的项与极限越接近。	“对于任意给定的正数 ε (无论它多么小)”	维基百科-ε-δ定义
N (大 N)	在 ε-N 定义中，N 是一个依赖于 ε 的正整数，当数列的项的序号 n 大于 N 时，可以保证数列的项与极限的距离小于 ε。	“总存在一个正整数 N，使得当 n > N 时”	维基百科-ε-δ定义

函数的极限 (1.3)

术语	解释	上下文示例	来源链接
去心邻域	在某一点周围但不包含该点的一个开区间。用于定义函数在该点极限时，不考虑函数在该点本身的值。	“设函数 f(x) 在点 x0 的某个**去心邻域**内有定义。”	维基百科-邻域
极限	当自变量趋近于某个特定值（包括无穷大）时，函数值所趋近的常数。	“那么就称 A 是函数 f(x) 当 x 趋近于 x0 时的**极限**”	维基百科-函数极限
发散	函数的极限不存在，或者函数值趋于无穷大。	“则称 f(x) 当 x→x0 时**极限不存在**，或称 f(x) 在 x→x0 时**发散**。”	维基百科-发散
ε-δ 定义	用严格的数学语言来定义函数极限的概念，通过任意小的正数 ε 和依赖于 ε 的正数 δ 来描述自变量趋近于某个值时函数值趋近于其极限的过程。	“我们可以用 ε-δ 语言来精确定义函数 f(x) 当 x→x0 时的极限。”	维基百科-极限的定义
ε (epsilon)	在 ε-δ 定义中，一个任意小的正数，用于衡量函数值与极限值之间的接近程度。	“对于任意给定的正数 ε (无论它多么小)”	维基百科-ε-δ定义
δ (delta)	在 ε-δ 定义中，一个依赖于 ε 的正数，用于限定自变量与极限点的接近程度。	“总存在一个正数 δ (与 ε 有关)”	维基百科-ε-δ定义
左极限	当自变量从左侧趋近于某一点时，函数值所趋近的常数。	“那么称 A 为函数 f(x) 当 x 趋近于 x0 时的**左极限**”	维基百科-单侧极限
右极限	当自变量从右侧趋近于某一点时，函数值所趋近的常数。	“那么称 A 为函数 f(x) 当 x 趋近于 x0 时的**右极限**”	维基百科-单侧极限
单侧极限	从单侧（左侧或右侧）趋近于某点的极限，包括左极限和右极限。	“左极限和右极限统称为**单侧极限**。”	维基百科-单侧极限
左邻域	以某点为右端点的一个开区间，表示自变量从左侧趋近于该点的区域。	“设函数 f(x) 在点 x0 的某个左邻域 (x0 - δ, x0) 内有定义”	百度百科-左邻域
右邻域	以某点为左端点的一个开区间，表示自变量从右侧趋近于该点的区域。	“设函数 f(x) 在点 x0 的某个右邻域 (x0, x0 + δ) 内有定义”	百度百科-右邻域
ε-X 定义	用严格的数学语言来定义函数在自变量趋于无穷大时的极限，通过任意小的正数 ε 和依赖于 ε 的正数 X 来描述自变量趋于无穷大时函数值趋近于其极限的过程。	“我们可以用 ε-X 语言来精确定义函数 f(x) 当 x→∞ 时的极限。”	数学分析讲义-华东师范大学
X (大 X)	在 ε-X 定义中，一个依赖于 ε 的正数，用于限定自变量的范围，使其绝对值足够大。	“总存在一个正数 X，使得当 x > X 时”	数学分析讲义-华东师范大学

极限的性质与运算法则 (1.4)

术语	解释	上下文示例	来源链接
反证法	一种证明方法，首先假设命题的结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题的结论是成立的。	“证明: (反证法) 假设 ...”	维基百科-反证法
局部保号性	如果一个函数的极限大于0（或小于0），那么在极限点附近的某个区域内，函数值也会大于0（或小于0）。	“定理 1.4.2 (极限的局部保号性) 如果 ...”	百度百科-保号性
去心邻域	在某一点周围但不包含该点本身的一个开区间。用于讨论极限时，不考虑函数在该点本身的值。	“那么存在 x0 的某个**去心邻域**”	维基百科-邻域
四则运算法则	描述极限在加、减、乘、除运算中的性质。如果两个函数的极限存在，那么它们的和、差、积、商的极限也存在（除法时分母的极限不能为0）。	“定理 1.4.3 (极限的四则运算法则) 设 ...”	维基百科-极限的性质
复合函数	一个函数的输出作为另一个函数的输入所形成的函数。	“定理 1.4.4 (复合函数的极限运算法则) 设 ...”	维基百科-复合函数
变量替换	用一个新的变量来替换原函数中的变量，从而简化计算或证明的过程。	“在一定条件下，复合函数的极限可以通过**变量替换**来计算。”	CSDN-变量替换

无穷小量与无穷大量 (1.5)

术语	解释	上下文示例	来源链接
无穷小量	在某个极限过程中，极限为零的变量。它不是一个很小的常数，而是一个趋近于零的函数。	“那么称函数 f(x) 为当 x→x0 (或 x→∞) 时的**无穷小量**，简称**无穷小**。”	维基百科-无穷小量
无穷大(量)	在某个极限过程中，绝对值无限增大的变量。它不是一个很大的常数，而是一个绝对值趋于无穷大的函数。	“那么称函数 f(x) 为当 x→x0 (或 x→∞) 时的**无穷大量**，简称**无穷大**。”	维基百科-无穷大
有界函数	在定义域内，函数的所有取值都小于某个固定常数的函数。也就是说，函数的取值被限制在一定的范围内。	“有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。”	维基百科-有界函数
高阶的无穷小量	相比于另一个无穷小量，它趋近于零的速度更快。	“如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = 0\)\)，那么称 β 是比 α 高阶的无穷小量”	CSDN-高阶无穷小
低阶的无穷小量	相比于另一个无穷小量，它趋近于零的速度更慢。	“如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = ∞\)\)，那么称 β 是比 α 低阶的无穷小量。”	CSDN-低阶无穷小
同阶的无穷小量	两个无穷小量趋近于零的速度相当，它们的比值的极限为一个不为零的常数。	“如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = c \neq 0\)\)，那么称 β 与 α 是**同阶的无穷小量**。”	CSDN-同阶无穷小
等价的无穷小量	两个无穷小量趋近于零的速度相同，它们的比值的极限为 1。在求极限时可以相互替换，简化计算。	“如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = 1\)\)，那么称 β 与 α 是**等价的无穷小量**”	百度百科-等价无穷小
k阶无穷小量	一个无穷小量相对于另一个无穷小量趋于零的速度的度量。如果一个无穷小量与另一个无穷小量的 k 次方的比值极限为非零常数，则称该无穷小量为 k 阶无穷小量。	“如果存在一个正数 k，使得 \(\(\lim \frac{β}{α^k} = c \neq 0\)\)，那么称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小量。”	知乎-无穷小的阶