附录：重要极限¶
本附录详细介绍在第一章中提到的几个重要极限，这些极限在微积分的学习和应用中非常重要。
极限 I：\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)\)¶
几何证明:
- 单位圆: 考虑单位圆（半径为 1 的圆），圆心位于原点 O。
- 角 x: 设角 x 是一个锐角 (0 < x < π/2)，以弧度为单位。在单位圆上，x 同时表示圆心角∠AOB 的弧度数和弧 AB 的长度。
- 三角形和扇形:
- 作 BC ⊥ OA 于点 C，则 BC = sin*x*。
- 作 AD ⊥ OA 于点 A，交 OB 的延长线于点 D，则 AD = tan*x*。
- 点 A、B 之间的扇形 OAB 的面积记为 S扇形OAB。
-
面积不等式: 显然，△OBC 的面积 < S扇形OAB < △OAD 的面积。
- △OBC 的面积 = (½) * OC * BC = (½) * cos*x* * sin*x*
- S扇形OAB = (½) * 12 * x = (½) * x (因为是单位圆)
- △OAD 的面积 = (½) * OA * AD = (½) * 1 * tan*x* = (½) * tan*x*
因此，我们得到不等式：
\(\(\frac{1}{2} \cos x \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x\)\) 5. 化简不等式: 将上述不等式各项同除以 (½)sin*x* (因为 0 < x < π/2，sin*x* > 0)，得到：
\[\cos x < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\]或者等价地：
\[\cos x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}\]取倒数，注意不等号方向：
\(\(\frac{1}{\cos x} > \frac{x}{\sin x} > \cos x\)\) 写成： \(\(\cos x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}\)\) 6. 夹逼定理: 当 x→0+ 时，cos*x*→1，1/cos*x*→1。根据夹逼定理，我们有：
\(\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\)\) 7. x*→0- 的情况: 当 x→0- 时，令 t = -x，则 t→0+。于是：
\(\(\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{-\sin t}{-t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} = 1\)\) 8. 结论: 综合 x→0+ 和 x→0- 两种情况，我们得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
说明:
- 这个证明利用了几何方法和夹逼定理，非常直观。
- 需要注意的是，在证明过程中，我们假设了 x 是锐角 (0 < x < π/2)，但这并不影响结论的普遍性，因为当 x 为其他象限的角时，我们可以利用三角函数的诱导公式将其转化为锐角的情况。
- 这个极限非常重要，它是许多其他三角函数极限的基础。
极限 II：\(\(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)\)¶
证明:
-
倍角公式: 利用二倍角公式 cos2*x* = 1 - 2sin2x，将 x 替换为 x/2，得到：
\[\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}\]所以：
\(\(1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}\)\) 2. 代入极限: 将 1 - cos*x* 的表达式代入原极限，得到：
\(\(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}\)\) 3. 变量替换: 令 t = x/2，则 x = 2*t*。当 x→0 时，t→0。将 x 替换为 2*t*，得到：
\(\(\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2 t}{(2t)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2 t}{4t^2} = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin^2 t}{t^2}\)\) 4. 利用极限 I: 我们可以将上式改写为：
\[\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin^2 t}{t^2} = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin t}{t}\right)^2\]根据极限 I，我们知道 \(\(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\)\)。因此：
\(\(\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}\)\) 5. 结论: 综上所述，我们得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\]
说明:
- 这个证明利用了三角函数的倍角公式和极限 I。
- 这个极限也是一个重要的三角函数极限，经常用于求解其他极限问题。
极限 III：\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\)\)¶
证明:
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三角恒等式: 将 tan*x* 写成 sin*x* / cos*x*：
\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}\)\) 2. 极限的性质: 利用极限的性质，可以将上式改写为：
\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\)\) 3. 利用极限 I: 我们知道 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)\)。 4. 计算极限: 当 x→0 时，cos*x*→1，所以 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1\)\)。 5. 结论: 综上所述，我们得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \cdot 1 = 1\]
极限 IV：\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\)\)¶
证明:
- 变量替换: 令 t = arcsin*x*，则 x = sin*t*。当 x→0 时，t→0。
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代入极限: 将 x 替换为 sin*t*，得到：
\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t}\)\) 3. 利用极限 I: 根据极限 I，我们知道 \(\(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\)\)。因此：
\(\(\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = \frac{1}{\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}} = \frac{1}{1} = 1\)\) 4. 结论: 综上所述，我们得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\]
极限 V：\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1\)\)¶
证明:
- 变量替换: 令 t = arctan*x*，则 x = tan*t*。当 x→0 时，t→0。
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代入极限: 将 x 替换为 tan*t*，得到：
\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\tan t}\)\) 3. 利用极限 III: 根据极限 III，我们知道 \(\(\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1\)\)。因此：
\(\(\lim_{t \to 0} \frac{t}{\tan t} = \frac{1}{\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t}} = \frac{1}{1} = 1\)\) 4. 结论: 综上所述，我们得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1\]
总结¶
以上五个极限是微积分中非常重要的极限，它们之间相互关联，可以互相推导。熟练掌握这些极限及其证明过程，对于学习和应用微积分知识至关重要。同时，在证明这些极限的过程中，我们也用到了很多重要的数学思想和方法，例如夹逼定理、变量替换、三角恒等式等，这些方法在解决其他数学问题时也经常用到。