1.1 函数

1.1 函数¶

1.1.1 函数的概念¶

在数学和许多自然科学领域中，我们经常遇到各种各样的量，例如时间、距离、速度、温度、电压等等。这些量之间往往存在着某种依赖关系，而函数正是描述这种依赖关系的数学工具。

定义 1.1.1 (函数的经典定义) 设 D 是一个非空实数集合，如果存在一个对应法则 f，使得对于 D 中的每一个数 x，都存在唯一确定的实数 y 与之对应，那么我们就称 f 是定义在 D 上的一个**函数**。通常记为

\[y = f(x), \quad x \in D\]

其中 x 称为**自变量**，y 称为**因变量**，D 称为函数的**定义域**，函数值的集合

\[\{y|y=f(x), x \in D\}\]

称为函数的**值域**，常记作 f(D)。

几点说明：

定义中的要素：一个函数由三个要素构成：定义域 D，值域 f(D)，以及对应法则 f。两个函数相同当且仅当它们的定义域、值域和对应法则都相同。
定义域的自然约定：如果一个函数是用一个解析表达式给出，而没有指明它的定义域，那么我们约定，函数的定义域就是使得这个表达式有意义的所有实数 x 组成的集合。
符号约定：我们也可以用其他字母表示自变量、因变量和对应法则，例如 y = g(t) 表示变量 y 是变量 t 的函数，对应法则是 g。

例 1.1.1 正方形的面积 S 是边长 a 的函数。这里，定义域为 D = {a | a > 0}，对应法则是 S = a²。

例 1.1.2 匀速直线运动中，物体走过的路程 s 是时间 t 的函数。设速度大小为 v₀，则 s = v₀t。这里，自变量是 t，定义域为 [0, +∞)，对应法则是 s = v₀t。

例 1.1.3 将常数函数定义为

\[y=C, x \in R\]

其中 C 是常数，例如 y = 7。常数函数的定义域为全体实数 R，值域为单点集 {C}。

例 1.1.4 符号函数，记作 sgn(x)

\[ sgn(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x > 0 \\ 0, & \text{if } x = 0 \\ -1, & \text{if } x < 0 \end{cases} \]

请注意这里 x = 0, x > 0, x < 0 共同组成了函数的定义域 R。符号函数的值域为 {-1, 0, 1}。

在平面直角坐标系中，可以画出符号函数的图像，它由三部分组成：x 轴上方的一条水平直线 (除去原点)，原点，以及 x 轴下方的一条水平直线 (除去原点)。

例 1.1.5 取整函数，记作 [*x*]

[x] 表示不超过 x 的最大整数。例如，[3.14] = 3，[-2.5] = -3，[0] = 0。

取整函数的值域为全体整数 Z。取整函数在每个整数点处发生跃变，其余处为水平线段。

例 1.1.6 (狄利克雷函数)

\[ D(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \in Q \\ 0, & \text{if } x \in R\setminus Q \end{cases} \]

其中 Q 表示有理数集，R 表示实数集，R\Q 表示实数集中除去有理数集剩下的数 (即无理数)。这个函数在整个实数范围内都有定义，但无法画出它的图像，也无法用初等函数的形式来表示。

定义 1.1.2 (函数的映射定义) 设 X 和 Y 是两个非空集合，如果存在一个对应法则 f，使得对于 X 中的每一个元素 x，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么称 f 是从 X 到 Y 的一个**映射**，记作

\[f: X \to Y\]

元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的**像**，记作 y = f(x)；元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的**原像**。集合 X 称为映射 f 的**定义域**，记作 D_f = X；X 中所有元素的像组成的集合称为映射 f 的**值域**，记作 R_f 或 f(X)，即

\[R_f = f(X) = \{y|y=f(x), x \in X\}\]

当 X 和 Y 都是实数集时，映射 f: X → Y 就是我们前面定义的**函数**。因此，函数是数集到数集的映射。

不是函数的例子：

y = ±√x, x ≥ 0 不是函数，因为对于一个 x，有两个 y 值与之对应，不满足函数定义中“唯一确定”的要求。
y = 1/x, x ≠ 0，在 x = 0 处没有定义，不能称之为函数，如果补充定义 y(0) = 0，那么它是函数。

1.1.2 函数的表示法¶

表示函数的主要方法有三种：解析法、表格法**和**图像法。

1. 解析法

解析法就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。例如，前面提到的例 1.1.2 中的 s = v₀t，以及圆的面积公式 A = πr²，都属于解析法。这种表示法的优点是可以清晰地显示出函数值与自变量之间的数量关系。在微积分中，我们主要研究用解析法表示的函数。

2. 表格法

表格法就是列出一些自变量的值及其对应的函数值。例如，平方表、平方根表、三角函数表等。这种表示法的优点是可以很方便地查到某些自变量对应的函数值。物理实验中得到的数据也常以表格的形式表示。

以下是一个表格表达的函数示例：

x	1	2	3	4	5
f(x)	2	4	6	8	10

3. 图像法

图像法就是用图形表示两个变量之间的对应关系。例如，气温变化曲线、心电图等。这种表示法的优点是能够直观地表示出函数的变化趋势。

在平面直角坐标系中，如果把自变量 x 取的值作为点的横坐标，把对应的函数值 y 作为点的纵坐标，那么函数 y = f(x), x ∈ D 的图像就是由所有这些点 (x, f(x)) 组成的集合，即

\[C = \{(x, y)| y=f(x), x \in D\}\]

称为函数 y = f(x) 的**图像**。平面上的任意一条曲线都可以表示一个函数吗？不是的。因为对于任意的 x ∈ D，y 必须有唯一确定的值和它对应。在几何上，如果一条曲线和任何一条平行于 y 轴的直线至多有一个交点，则这条曲线就表示一个函数，否则就不是一个函数。

以圆为例，圆的方程为 x² + y² = R²，可以改写为 y = ±√(R² - x²)。因为对于一个 x，存在两个 y 值，因此这不是一个函数，它不满足函数定义中一个 x 只能对应一个 y 的规定。

我们可以画图来说明。假设我们画一个圆，圆心在原点，半径为 R。显然，对于 x ∈ (-R, R) 中的任何一个 x，我们画一条垂直于 x 轴的直线，这条直线与圆有两个交点，这两个交点有相同的横坐标 x，但纵坐标不同，互为相反数。

但请注意，如果我们只取圆的上半部分，它可以表示一个函数，定义域为 [-R, R]，值域为 [0, R]，对应法则为 y = √(R² - x²)；同理，如果我们只取圆的下半部分，它也可以表示一个函数，定义域为 [-R, R]，值域为 [-R, 0]，对应法则为 y = -√(R² - x²)。

三种表示方法的比较：

表示法	优点	缺点
解析法	清晰地显示函数值与自变量之间的数量关系	对于某些复杂函数，解析式可能难以写出或过于复杂
表格法	方便地查到某些自变量对应的函数值	只能表示有限个点的对应关系
图像法	直观地表示出函数的变化趋势	图像通常只能粗略地反映函数的性质

例 1.1.7 某商店出售苹果，售价为每斤 3 元。若购买 x 斤，则总价为 y = 3x 元。我们可以用三种方法来表示购买苹果的总价 y 与重量 x 之间的函数关系。

解析法: y = 3x, x ∈ [0, +∞)
表格法:

重量 (斤)	价格 (元)
1	3
2	6
3	9
4	12
5	15

图像法: 可以画一条通过原点且斜率为 3 的射线，表示 y = 3x。射线上每一个点的横坐标表示重量，纵坐标表示总价。

总结：

函数的表示方法有多种，每种方法都有其优点和缺点。在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的表示方法。在微积分中，我们主要研究用解析法表示的函数。

1.1.2 函数的表示法 (补充图形描述)¶

图像法补充说明：

例 1.1.4 符号函数 y = sgn(x) 的图像:
- 图形特征: 符号函数的图像由三部分组成：
  1. 当 x > 0 时，y = 1，图像是 x 轴上方的一条水平直线，且不包含点 (0, 1)。在 x = 0 处画一个空心圆圈，表示该点不在图像上。
  2. 当 x = 0 时，y = 0，图像是原点 (0, 0)。在原点处画一个实心圆点。
  3. 当 x < 0 时，y = -1，图像是 x 轴下方的一条水平直线，且不包含点 (0, -1)。在 x = 0 处画一个空心圆圈，表示该点不在图像上。
- 图形示意:
  1 2 3 4 5 6 7 8 9
  y | 1 + - - - - - - - - - - - - - o (x>0) | ---+------------------------- x | -1 + - - - - - - - - - - - - - o (x<0) | (0,0)为实心点

例 1.1.5 取整函数 y = [x] 的图像:

图形特征: 取整函数的图像呈阶梯状，在每一个整数点处发生跳跃。
1. 对于任意一个整数 n，当 n ≤ x < n+1 时，y = [x] = n。例如，当 0 ≤ x < 1 时，y = 0；当 1 ≤ x < 2 时，y = 1；以此类推。
2. 图像由一系列长度为 1 的水平线段组成，且左闭右开。每个线段的左端点是实心点，右端点是空心圆圈。

图形示意:

y
|
3 + - - - - - - - - - - - - - o
|                       |
2 + - - - - - - - - - o   |
|               |       |
1 + - - - - - o   |       |
|       |       |       |
0 +-----o-------o-------o-------o----- x
    0       1       2       3
每个线段左闭右开

例 1.1.7 购买苹果的总价 y 与重量 x 的关系 y = 3x 的图像:
- 图形特征:
  1. 由于重量 x 不能为负，所以图像只在第一象限。
  2. 图像是一条通过原点 (0, 0) 的射线，射线的斜率为 3。
- 图形示意:
  1 2 3 4 5 6 7 8 9
  y (总价) | . | . | . | . | . | . o-------------------- x (重量) 从原点出发，斜率为3的射线

1.1.3 函数的几种特性¶

在研究函数时，我们经常需要关注函数的某些特性，这些特性有助于我们更好地理解和描述函数的性质。下面介绍函数的几种常见特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性。

(1) 有界性

定义 1.1.3 设函数 f(x) 的定义域为 D，如果存在一个正数 M，使得对于任意的 x ∈ D，都有

\[|f(x)| ≤ M\]

则称函数 f(x) 在 D 上**有界**。如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x) 在 D 上**无界**。

说明：

几何上看，如果函数 f(x) 在 D 上有界，则它的图像完全落在两条水平直线 y = -M 和 y = M 之间。
函数有界是“所有”的概念，即定义域内所有自变量对应的函数值都要满足 |f(x)| ≤ M。
对于一个函数 f(x) 和数 M'，即使存在 x' 使得 f(x') 的绝对值大于 M'，我们也不能说函数 f(x) 无界，只有对于任意大的 M' 都存在这样的 x'，才能说函数 f(x) 无界。
如果在定义域 D 内存在一个区间 D₁，使得 f(x) 在 D₁ 内的函数值不被任何正数所限制，则称函数 f(x) 在 D 上是**局部无界的**。
函数在定义域内局部无界，则函数在定义域内也无界。
有界性的定义中，要求 M 是正数，能否改为“如果存在数 M，使得 |f(x)| ≤ M”？不能。因为改为数 M 后，无法包括“函数值恒为零”的例子，会导致零函数是无界函数。

例 1.1.8 函数 y = sin(x) 在 R 上有界，因为对于任意 x ∈ R，都有 |sin(x)| ≤ 1。

例 1.1.9 函数 f(x) = 1/x 在区间 (0, 1) 上无界，因为对于任意大的正数 M，总可以找到 x = 1/(2M) ∈ (0, 1)，使得 f(x) = 2M > M。

(2) 单调性

定义 1.1.4 设函数 f(x) 的定义域为 D，如果对于 D 中任意两点 x₁ 和 x₂，当 x₁ < x₂ 时，都有

\[f(x_1) < f(x_2)\]

则称函数 f(x) 在 D 上**单调递增**；如果都有

\[f(x_1) > f(x_2)\]

则称函数 f(x) 在 D 上**单调递减**。单调递增和单调递减的函数统称为**单调函数**。

说明：

几何上看，单调递增函数的图像是上升的，单调递减函数的图像是下降的。
单调性的定义中，能否去掉 x₁ < x₂ 的限制，改为对于 D 中任意两点 x₁ 和 x₂？不能。去掉限制后会导致常数函数既是单调递增函数又是单调递减函数，不符合习惯。

例 1.1.10 函数 y = e^x 在 R 上单调递增。

例 1.1.11 函数 y = -x³ 在 R 上单调递减。

例 1.1.12 函数 y = x² 在 R 上不是单调函数，但在 (-∞, 0] 上单调递减，在 [0, +∞) 上单调递增。

(3) 奇偶性

定义 1.1.5 设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称 (即若 x ∈ D，则 -x ∈ D)。如果对于任意的 x ∈ D，都有

\[f(-x) = f(x)\]

则称 f(x) 为**偶函数**；如果对于任意的 x ∈ D，都有

\[f(-x) = -f(x)\]

则称 f(x) 为**奇函数**。

说明：

几何上看，偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。
对于定义域不关于原点对称的函数，谈论它的奇偶性没有意义。
根据定义，可以证明，如果 f(x) 既是奇函数，又是偶函数，那么 f(x) 必为零函数，且定义域关于原点对称。

例 1.1.13 函数 f(x) = x² 是偶函数，因为 (-x)² = x²。

例 1.1.14 函数 f(x) = sin(x) 是奇函数，因为 sin(-x) = -sin(x)。

例 1.1.15 函数 f(x) = x + 1 不是奇函数也不是偶函数。它的定义域为 R，关于原点对称，但它既不满足 f(-x) = f(x)，也不满足 f(-x) = -f(x)。

(4) 周期性

定义 1.1.6 设函数 f(x) 的定义域为 D。如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x ∈ D，都有 x + T ∈ D，且

\[f(x + T) = f(x)\]

则称 f(x) 为**周期函数**，T 称为 f(x) 的一个**周期**。通常我们说周期函数的周期是指它的**最小正周期**。

说明：

几何上看，周期函数的图像沿 x 轴方向，每隔一个周期 T 重复出现。
并非每个周期函数都存在最小正周期。例如狄利克雷函数，任何正有理数都是它的周期，但它没有最小正周期。

例 1.1.16 y = sin(x) 是周期函数，周期为 2kπ，其中 k 为任意非零整数。通常我们说 y = sin(x) 的周期是 2π，指的是它的最小正周期。

例 1.1.17 f(x) = C (C 为常数) 是周期函数，任何非零实数都是它的周期，它没有最小正周期。

1.1.4 反函数¶

定义 1.1.7 设函数 y = f(x) 的定义域为 D，值域为 f(D)。如果对于 f(D) 中的每一个 y，在 D 中都有唯一的 x 使得 f(x) = y，那么我们得到了一个定义在 f(D) 上的函数，称这个函数为 y = f(x) 的**反函数**，记作

\[x = f^{-1}(y)\]

说明：

从映射的角度来看，反函数就是原函数的逆映射。
不是所有的函数都有反函数。根据定义，只有单射才有反函数。结合 1.1.3 节中函数的单调性可知，严格单调的函数一定有反函数，且反函数的单调性和原函数一致。
在单调区间上，函数一定有反函数。
习惯上，我们用 x 表示自变量，y 表示因变量，所以通常把 x = f^-1(y) 改写成 y = f^-1(x)。这里，y = f^-1(x) 的定义域为 f(D)，恰好是原函数 y = f(x) 的值域；y = f^-1(x) 的值域为 D，恰好是原函数 y = f(x) 的定义域。
函数 y = f(x) 与其反函数 y = f^-1(x) 的图像关于直线 y = x 对称。
对于反函数概念中“唯一”一词的解释：当函数有反函数时，对于值域 f(D) 中的每一个 y，都存在 D 中唯一确定的 x 值满足 f(x) = y。函数有反函数的充要条件可以用以下方式描述：对于 D 中任意两个不相等的 x₁ 和 x₂，都有 f(x₁) ≠ f(x₂)。也就是说，严格单调函数一定有反函数。

例 1.1.18 求函数 y = 3x - 1 的反函数。

解: 由 y = 3x - 1 解出 x，得 x = (y + 1)/3。交换 x 和 y 的位置，得到所求反函数为

\[y = \frac{x+1}{3}\]

这个函数的定义域为 R，值域也为 R。

例 1.1.19 求函数 y = x² (x ≥ 0) 的反函数。

解: 由 y = x² (x ≥ 0) 解出 x，得 x = √y (因为 x ≥ 0)。交换 x 和 y 的位置，得到所求反函数为

\[y = \sqrt{x}\]

这个函数的定义域为 [0, +∞)，值域也为 [0, +∞)。

说明: 函数 y = x² 在其整个定义域 R 上不存在反函数，因为对于每一个 y > 0，都有两个 x 值 (±√y) 与之对应。但在区间 [0, +∞) 上，它是单调递增的，因此存在反函数。同理，在区间 (-∞, 0] 上，y = x² 也存在反函数 y = -√x。

例 1.1.20 指数函数 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的反函数是对数函数

\[y = \log_a x\]

它们的定义域和值域互换，并且图像关于直线 y = x 对称。

我们可以在同一个坐标系中画出 y = a^x 和 y = log_ax (a > 1 的情形) 的图像。

图形描述:

当 a > 1 时，y = a^x 的图像是经过点 (0, 1) 且位于 x 轴上方的单调递增曲线，向右上方无限延伸。
y = log_ax 的图像是经过点 (1, 0) 且位于 y 轴右侧的单调递增曲线，向上方和右方无限延伸。
两条曲线关于直线 y = x 对称。

1.1.5 复合函数¶

定义 1.1.8 设函数 y = f(u) 的定义域为 D_f，函数 u = g(x) 的定义域为 D_g，值域为 R_g。如果 R_g ∩ D_f ≠ ∅，那么由

\[y = f(g(x))\]

确定的函数称为由 y = f(u) 和 u = g(x) 构成的**复合函数**，记作 f ◦ g，即 (f ◦ g)(x) = f(g(x))。其中 u 称为**中间变量**，y 是 x 的函数。

说明：

复合函数存在的条件是 u = g(x) 的值域 R_g 与 y = f(u) 的定义域 D_f 的交集不能为空集。
并非任意两个函数都能复合成一个函数。
复合函数的定义域是什么？根据复合函数的定义，复合函数 y = f(g(x)) 的定义域由满足以下两个条件的 x 组成：
1. x ∈ D_g
2. g(x) ∈ D_f
能否改变定义中关于中间变量的记号，例如：将 y = f(u), u = φ(x) 的复合函数记为 y = f(u(x))？不能。如果改为 y = f(u(x))，从记号上看，y 同时是 u 的函数，也是 x 的函数，容易造成混淆。

例 1.1.21 设 y = sin(u)，u = 2x + 1，求复合函数。

解: 因为 y = sin(u) 的定义域为 R，u = 2x + 1 的值域也为 R，所以它们的复合函数为

\[y = \sin(2x + 1)\]

这个函数的定义域为 R。

例 1.1.22 设 y = √u，u = x² - 4，求复合函数。

解: y = √u 的定义域为 u ≥ 0，u = x² - 4 的值域为 [-4, +∞)。为了使复合函数有意义，必须要求 x² - 4 ≥ 0，解得 x ≤ -2 或 x ≥ 2。因此，复合函数为

\[y = \sqrt{x^2 - 4}\]

这个函数的定义域为 (-∞, -2] ∪ [2, +∞)。

例 1.1.23 设 y = 1/u, u = sin(x) - 1, 求复合函数。

解： y = 1/u 的定义域为 u ≠ 0，u = sin(x) - 1 的值域为 [-2, 0]。为了使复合函数有意义，必须要求 sin(x) - 1 ≠ 0, 即 sin(x) ≠ 1，解得 x ≠ kπ + π/2, 其中 k 为任意整数。因此，复合函数为：

\[ y = \frac{1}{\sin(x) - 1} \]

这个函数的定义域为 {x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z}。

例 1.1.24 设 y = f(u) = e^u，u = g(x) = x²，求复合函数 f(g(x)) 和 g(f(x))。

解:

f(g(x)) = f(x²) = e^x²，定义域为 R。
g(f(x)) = g(e^x) = (e^x)² = e^2x，定义域为 R。

这个例子说明，复合函数的顺序一般不能颠倒，即 f(g(x)) 和 g(f(x)) 通常是不同的函数。

例 1.1.25 设 y = arccos u, u = e^x，求复合函数。

解： y = arccos u 的定义域为 [-1, 1]，为了使复合函数有意义，需要满足 -1 ≤ e^x ≤ 1。又因为 e^x > 0, 故应有 0 < e^x ≤ 1，解得 x ≤ 0。因此复合函数为

\[y = \arccos(e^x)\]

定义域为 (-∞, 0]。

1.1.6 初等函数¶

在前面的内容中，我们已经接触过一些具体的函数，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数等。这些函数称为**基本初等函数**。

定义 1.1.9 以下五类函数统称为**基本初等函数**：

幂函数: y = x^μ (μ 为实数)，例如 y = x², y = x^½ = √x, y = x^-1 = 1/x 等。
指数函数: y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)，例如 y = e^x, y = 2^x 等。
对数函数: y = log_ax (a > 0 且 a ≠ 1)，例如 y = ln x (以 e 为底的对数，也记作 log_ex), y = log₂x 等。
三角函数: 例如 y = sin x, y = cos x, y = tan x 等。
反三角函数: 例如 y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x 等。

定义 1.1.10 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构成，并且能用一个解析式子表示的函数，称为**初等函数**。

说明：

初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算 (加、减、乘、除) 和复合运算得到的。
初等函数必须可以用一个解析式表示。
分段函数 (在不同区间上用不同的表达式表示的函数) 不是初等函数，例如符号函数 sgn(x)。
由不同的解析式构成的函数，通过变形后如果能写成一个解析式，那么是初等函数，例如 y = |x| 可以改写为 y = √(x²)。

例 1.1.26 y = x² + 2x - 1 是初等函数，因为它是由幂函数和常数经过四则运算得到的。

例 1.1.27 y = √(1 + sin²x) 是初等函数，因为它是由幂函数、三角函数和常数经过四则运算和复合运算得到的。

例 1.1.28 y = ln(cos(2x)) 是初等函数，它是由对数函数、余弦函数和一次函数复合而成的。

例 1.1.29 f(x) = |x| 是初等函数，因为 f(x) = |x| = √(x²)，它是由幂函数和二次根式复合而成的。

例 1.1.30 \(\(f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}\)\) 不是初等函数，因为它不能用一个解析式表示。

例 1.1.31 证明 f(x) = |sin(x)| 是初等函数。

证：因为 |sin(x)| = √(sin²(x))，故 f(x) 是由三角函数，复合函数和幂函数组成的初等函数。

总结:

初等函数在微积分中占有重要的地位，我们主要研究初等函数的性质和运算法则。理解初等函数的概念和构成，对于后续学习导数和积分的计算至关重要。