1.2 数列的极限

1.2 数列的极限

1.2.1 数列极限的直观描述

在微积分中，我们经常会遇到一列有序的数，例如：

• 1, ½, ⅓, ¼, ..., 1/n, ...
• 1, -1, 1, -1, ..., (-1)ⁿ⁺¹, ...
• 2, 4, 8, 16, ..., 2ⁿ, ...
• 1, 1.4, 1.41, 1.414, ...

这些按照一定顺序排列的一列数称为**数列**。数列在数学和实际应用中都有着广泛的应用。

定义 1.2.1 设 {a_n} 为一数列，如果当 n 无限增大时，a_n 无限接近于某个确定的常数 A，则称常数 A 为数列 {a_n} 的**极限**，或者称数列 {a_n} 收敛于 A。记作

\[\lim_{n \to \infty} a_n = A\]

或

\[a_n \to A \quad (n \to \infty)\]

如果这样的常数 A 不存在，则称数列 {a_n} 没有极限，或者称数列 {a_n} 发散。

说明：

• 数列可以看作是定义在正整数集 N+ 上的函数 a_n = f(n)，自变量 n 只能取正整数，且依次取值。
• “n 无限增大” 意味着 n 趋向于正无穷大。
• “a_n 无限接近于 A” 意味着 |a_n - A| 可以任意小。
• 当数列有极限时，也称该数列为**收敛数列**，否则为**发散数列**。

例 1.2.1 考察数列 {a_n} = {1/n} 的变化趋势。

当 n 依次取 1, 2, 3, ... 时，数列的各项依次为：

1, ½, ⅓, ¼, ..., 1/n, ...

我们可以发现，当 n 无限增大时，1/n 无限接近于 0。因此，数列 {1/n} 的极限为 0，即

\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\]

例 1.2.2 考察数列 {a_n} = {n} 的变化趋势。

当 n 依次取 1, 2, 3, ... 时，数列的各项依次为：

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

我们可以发现，当 n 无限增大时，n 也无限增大，它不趋近于任何一个确定的常数。因此，数列 {n} 没有极限，它是发散的。

例 1.2.3 考察数列 {a_n} = {(-1)ⁿ⁺¹} 的变化趋势。

当 n 依次取 1, 2, 3, ... 时，数列的各项依次为：

1, -1, 1, -1, ...

这个数列在 1 和 -1 之间来回摆动，不趋近于任何一个确定的常数。因此，数列 {(-1)ⁿ⁺¹} 没有极限，它是发散的。

例 1.2.4 考察数列 {a_n} = {1 + (-1)ⁿ/n} 的变化趋势。

当 n 依次取 1, 2, 3, ... 时，数列的各项依次为：

0, 3/2, ⅔, 5/4, ⅘, 7/6, ...

我们可以发现，当 n 无限增大时，(-1)ⁿ/n 无限接近于 0，因此 a_n 无限接近于 1。所以，数列 {1 + (-1)ⁿ/n} 的极限为 1，即

\[\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{(-1)^n}{n}) = 1\]

图形描述：

我们可以在数轴上表示出数列的各项。以数列 {1/n} 为例：

• 在数轴上，1/n 对应的点依次为 1, ½, ⅓, ...。这些点越来越靠近原点，表示数列 {1/n} 趋近于 0。

对于数列 {1 + (-1)ⁿ/n}：

• 当 n 为奇数时，1 + (-1)ⁿ/n = 1 - 1/n，这些点从左侧趋近于 1。
• 当 n 为偶数时，1 + (-1)ⁿ/n = 1 + 1/n，这些点从右侧趋近于 1。
• 数列的点在 1 的两侧摆动，并逐渐靠近 1。

1.2.2 数列极限的 ε-N 定义 (选学)

前面我们通过直观描述的方式定义了数列的极限。虽然这种定义通俗易懂，但在数学上不够严谨。为了更精确地刻画数列极限的概念，我们需要引入 ε-N 语言。

定义 1.2.2 (数列极限的 ε-N 定义) 设 {a_n} 为一个数列，A 为一个确定的常数。如果对于任意给定的正数 ε (无论它多么小)，总存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，都有

\[|a_n - A| < ε\]

成立，那么就称常数 A 是数列 {a_n} 的极限，或者称数列 {a_n} 收敛于 A。记作

\[\lim_{n \to \infty} a_n = A\]

或

\[a_n \to A \quad (n \to \infty)\]

术语解释：

• ε (epsilon)：任意给定的正数，用来刻画 a_n 与 A 的接近程度。 无论 ε 多么小，都要求找到满足条件的 N。ε 越小，表示 a_n 与 A 越接近。
• N (大 N)：依赖于 ε 的正整数，它的作用是界定 n 的范围。我们只需要找到满足条件的 N 存在即可，不需要找到最小的那个 N。
• |a_n - A|: 数列 {a_n} 的通项 a_n 与极限值 A 的差的绝对值，表示 a_n 与 A 之间的距离。
• n > N: 当项数 n 大于 N 时，也就是说，从第 N+1 项开始，数列 {a_n} 的所有项都要满足 |a_n - A| < ε。
• 对于任意给定的正数 ε：也可以理解为，对于每一个给定的正数 ε，必须都能找到相应的 N。
• 总存在一个正整数 N：强调的是，对于每一个给定的 ε，都能找到一个对应的 N，使得当 n > N 时，都有 |a_n - A| < ε。N 通常与 ε 有关，一般地来说，ε 越小，所需的 N 越大，这与我们想要的“无限逼近”是一致的。

几何解释：

• |a_n - A| < ε 可以改写成 A - ε < a_n < A + ε。它的几何意义是：当 n > N 时，所有的点 a_n 都落在区间 (A - ε, A + ε) 内。这个区间是以 A 为中心，以 2ε 为宽度的区间。
• 我们可以想象，在数轴上以 A 为中心画一个长度为 2ε 的开区间 (A - ε, A + ε)。ε 可以任意小，因此这个区间可以任意窄。当 n > N 时，数列 {a_n} 的所有后续项 a_n 都必须落在这个区间内。

说明:

• ε-N 定义的核心思想是：无论多么小的 ε，都能找到一个 N，使得当 n > N 时，a_n 与 A 的距离小于 ε。这与我们直观上理解的“无限接近”是一致的。
• ε-N 定义用精确的数学语言刻画了数列极限的概念，避免了“无限接近”这类模糊的说法。
• 定义中 ε 的任意性和 N 的存在性是“对于任意给定的正数 ε，总存在一个正整数 N...”。这里能否改成“对于任意给定的正整数 N，总存在一个正数 ε...”？不能。这样改动后，原定义中“|a_n - A| 可以任意小”的含义就无法表达出来了。
• 如果数列 {a_n} 不收敛于任何数，则称数列 {a_n} 发散，或者说它**没有极限**。

例 1.2.5 用 ε-N 定义证明 \(\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)\)

证明: 对于任意给定的 ε > 0，要使

\[|\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n} < ε\]

只需

\[n > \frac{1}{ε}\]

所以，取 N = [1/ε] (即 1/ε 的整数部分)，则当 n > N 时，就有

\[|\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n} < ε\]

因此， \(\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)\)。

解释:

• 这个证明的核心是找到一个 N，使得当 n > N 时，|1/n - 0| < ε。
• 通过不等式 1/n < ε，我们解出 n > 1/ε。这意味着只要 n 大于 1/ε，就能保证 1/n 小于 ε。
• 我们取 N = [1/ε]，这样当 n > N 时，n > 1/ε 一定成立。

例 1.2.6 用 ε-N 定义证明 \(\(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1\)\)。

证明: 对于任意给定的 ε > 0，要使

\[|\frac{n}{n+1} - 1| = |\frac{n-(n+1)}{n+1}| = \frac{1}{n+1} < ε\]

只需

\[n + 1 > \frac{1}{ε}\]

即

\[n > \frac{1}{ε} - 1\]

所以，取 N = [1/ε]，则当 n > N 时，就有

\[|\frac{n}{n+1} - 1| < ε\]

因此，\(\(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1\)\)