1.3 函数的极限

1.3 函数的极限¶

1.3.1 当 x→x₀ 时函数的极限¶

(1) x→x₀ 时函数极限的直观描述¶

定义 1.3.1 设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个**去心邻域**内有定义。如果当自变量 x 无限接近于 x₀ (x ≠ x₀) 时，对应的函数值 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，那么就称 A 是函数 f(x) 当 x 趋近于 x₀ 时的**极限**，记作

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A\]

或

\[f(x) \to A \quad (x \to x_0)\]

术语解释：

去心邻域：点 x₀ 的去心邻域是指以 x₀ 为中心，挖去 x₀ 这一点的一个开区间，用 (x₀ - δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ) 表示，其中 δ 是一个正数。强调“去心”，是为了说明 x ≠ x₀，也就是说，函数在 x₀ 这一点可以没有定义，或者说，极限存在与否与该点函数值是否存在无关。
x 无限接近于 x₀：表示 x 从 x₀ 的左右两侧趋近于 x₀，并且可以无限靠近 x₀。
f(x) 无限接近于 A：表示 |f(x) - A| 可以任意小。

说明：

函数 f(x) 在点 x₀ 的去心邻域内有定义，是定义中有极限的前提。这个条件保证了当 x 取遍 x₀ 附近的所有点 (x ≠ x₀) 时，都有对应的函数值 f(x)。
如果当 x→x₀ 时，f(x) 不趋于一个确定的常数，则称 f(x) 当 x→x₀ 时**极限不存在**，或称 f(x) 在 x→x₀ 时**发散**。
当 x 趋近于 x₀ 时，f(x) 是否有极限，与 f(x) 在点 x₀ 是否有定义无关。即使 f(x) 在点 x₀ 有定义，f(x) 在该点的极限值也不一定就是 f(x₀)。
函数 y = f(x) 当 x→x₀ 时，函数的极限也可以有类似的几何解释。类似于数列极限，设函数 y = f(x) 当 x→x₀ 时有极限 A，在函数图像上，对于任意给定的正数 ε，都存在一个正数 δ，使得当 x 满足 0 < |x - x₀| < δ 时，曲线段 y = f(x) 都落在两条平行直线 y = A - ε 和 y = A + ε 之间。

例 1.3.1 考察函数 f(x) = 2x + 1 当 x→2 时的极限。

当 x 从 2 的左右两侧无限接近于 2 时，f(x) 的值无限接近于 5。因此，

\[\lim_{x \to 2} (2x + 1) = 5\]

例 1.3.2 考察函数 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 当 x→1 时的极限。

注意函数在 x = 1 处没有定义。但当 x ≠ 1 时，f(x) = (x² - 1)/(x - 1) = x + 1。因此，当 x 从 1 的左右两侧无限接近于 1 时，f(x) 的值无限接近于 2。所以，

\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2\]

图形描述：

函数 f(x) = 2x + 1 的图像是一条直线。当 x 趋近于 2 时，图像上的点沿着直线趋近于点 (2, 5)。
函数 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 的图像是一条去掉点 (1, 2) 的直线 y = x + 1。当 x 趋近于 1 时，图像上的点沿着直线趋近于点 (1, 2) 这个“空心点”。

    y
    |
    5 +       .(2,5)
    |      .
    |     .
    4 +    .
    |   .
    |  .
    3 + .
    | .
    2 + .     o (1,2)
    |.    .
    1 +-----+----- x
    |     1     2

例 1.3.3 考察函数 $\(f(x) = \begin{cases} x, & x \ne 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$\) 当 x→1 时的极限。

尽管 f(1) = 2，但当 x 从 1 的左右两侧无限接近于 1 (x ≠ 1) 时，f(x) = x 无限接近于 1。因此，

\[\lim_{x \to 1} f(x) = 1\]

图形描述：

函数 f(x) 的图像是一条直线 y = x，但在 x = 1 处取值为 2，即点 (1, 2) 处是一个孤立的点，其余图像都是直线 y = x 的组成部分。当 x 趋近于 1 时，图像上的点沿着直线 y = x 趋近于点 (1, 1)，而不是 (1, 2)。

(2) x→x₀ 时函数极限的 ε-δ 定义 (选学)¶

与数列极限的 ε-N 定义类似，我们可以用 ε-δ 语言来精确定义函数 f(x) 当 x→x₀ 时的极限。

定义 1.3.2 (函数极限的 ε-δ 定义) 设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个去心邻域内有定义，A 是一个确定的常数。如果对于任意给定的正数 ε (无论它多么小)，总存在一个正数 δ (与 ε 有关)，使得当 x 满足 0 < |x - x₀| < δ 时，都有

\[|f(x) - A| < ε\]

成立，那么就称常数 A 是函数 f(x) 当 x 趋近于 x₀ 时的极限，记作

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A\]

或

\[f(x) \to A \quad (x \to x_0)\]

术语解释：

ε (epsilon)：任意给定的正数，用来刻画 f(x) 与 A 的接近程度。ε 越小，表示 f(x) 与 A 越接近。
δ (delta)：依赖于 ε 的正数，用来限制 x 与 x₀ 的接近程度。
0 < |x - x₀| < δ：表示 x 在 x₀ 的去心 δ 邻域内，即 x 在区间 (x₀ - δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ) 内。
|f(x) - A|: 函数值 f(x) 与极限值 A 的差的绝对值，表示 f(x) 与 A 之间的距离。

几何解释：

|f(x) - A| < ε 等价于 A - ε < f(x) < A + ε，表示函数值 f(x) 落在区间 (A - ε, A + ε) 内。
0 < |x - x₀| < δ 等价于 x₀ - δ < x < x₀ + δ 且 x ≠ x₀，表示 x 落在 x₀ 的去心 δ 邻域内。
ε-δ 定义的几何意义是：对于任意给定的一个以 A 为中心的 ε 邻域 (A - ε, A + ε)，总能找到一个 x₀ 的去心 δ 邻域 (x₀ - δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ)，使得当 x 落在该去心 δ 邻域内时，对应的函数值 f(x) 落在 ε 邻域 (A - ε, A + ε) 内。

说明：

ε-δ 定义用精确的数学语言刻画了函数极限的概念，避免了“无限接近”这类模糊的说法。
ε 的任意性和 δ 的存在性：对于任意给定的 ε > 0，都能找到一个 δ > 0，使得当 0 < |x - x₀| < δ 时，有 |f(x) - A| < ε。这说明 f(x) 可以无限接近于 A。
δ 通常与 ε 有关，也与 x₀ 有关。一般说来，ε 越小，δ 也越小。
δ 的不唯一性：对于给定的 ε，满足条件的 δ 不是唯一的。如果某个 δ 满足要求，那么任何比它小的正数也满足要求。
如何理解定义中的条件 0 < |x - x₀|？这里强调的是 0 < |x - x₀| 而不是 |x - x₀| < δ。能否将定义中的条件 0 < |x - x₀| 改为 |x - x₀| < δ？不能。因为改为 |x - x₀| < δ 以后，0 < |x - x₀| 就无法表达 x ≠ x₀ 的含义，从而无法表达出“极限与函数在该点的取值无关”的内涵。

例 1.3.4 用 ε-δ 定义证明 $\(\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$\)。

证明: 对于任意给定的 ε > 0，要使

\[|(3x - 1) - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2| < ε\]

只需

\[|x - 2| < \frac{ε}{3}\]

所以，取 δ = ε/3，则当 0 < |x - 2| < δ 时，就有

\[|(3x - 1) - 5| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{ε}{3} = ε\]

因此，$\(\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$\)。

解释:

这个证明的核心是找到一个 δ，使得当 0 < |x - 2| < δ 时，|(3*x* - 1) - 5| < ε。
通过不等式 |(3*x* - 1) - 5| < ε，我们解出 |x - 2| < ε/3。这意味着只要 x 与 2 的距离小于 ε/3，就能保证 (3*x* - 1) 与 5 的距离小于 ε。
我们取 δ = ε/3，这样当 0 < |x - 2| < δ 时，|(3*x* - 1) - 5| < ε 一定成立。

(3) 单侧极限：左极限与右极限¶

在讨论函数 f(x) 当 x→x₀ 的极限时，我们要求 x 从 x₀ 的左右两侧趋近于 x₀。但在某些情况下，我们可能只需要考虑 x 从 x₀ 的左侧或右侧趋近于 x₀ 的情形，这就引出了单侧极限的概念。

定义 1.3.3 (左极限) 设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个左邻域 (x₀ - δ, x₀) 内有定义，其中 δ > 0。如果当 x 从 x₀ 的左侧趋近于 x₀ (x < x₀ 且 x→x₀) 时，函数 f(x) 趋近于一个确定的常数 A，那么称 A 为函数 f(x) 当 x 趋近于 x₀ 时的**左极限**，记作

\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\]

或

\[f(x_0^-) = A\]

定义 1.3.4 (右极限) 设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个右邻域 (x₀, x₀ + δ) 内有定义，其中 δ > 0。如果当 x 从 x₀ 的右侧趋近于 x₀ (x > x₀ 且 x→x₀) 时，函数 f(x) 趋近于一个确定的常数 A，那么称 A 为函数 f(x) 当 x 趋近于 x₀ 时的**右极限**，记作

\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A\]

或

\[f(x_0^+) = A\]

术语解释：

左邻域: 以 x₀ 为右端点的一个开区间 (x₀ - δ, x₀)，其中 δ > 0。
右邻域: 以 x₀ 为左端点的一个开区间 (x₀, x₀ + δ)，其中 δ > 0。
x→x₀^-: 表示 x 从 x₀ 的左侧趋近于 x₀，即 x < x₀ 且 x→x₀。
x→x₀⁺: 表示 x 从 x₀ 的右侧趋近于 x₀，即 x > x₀ 且 x→x₀。

说明：

左极限和右极限统称为**单侧极限**。
单侧极限也可以用 ε-δ 语言来定义，只需将定义 1.3.2 中的 0 < |x - x₀| < δ 分别改为 -δ < x - x₀ < 0 (左极限) 和 0 < x - x₀ < δ (右极限) 即可。
函数 y = f(x) 在 x→x₀ 时存在极限的充分必要条件是它的左、右极限存在且相等。即：$\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$\)
如果 f(x) 在 x₀ 处的左、右极限存在，但不相等，则 f(x) 在 x→x₀ 时极限不存在。
如果 f(x) 在 x₀ 处的左、右极限至少有一个不存在，则 f(x) 在 x→x₀ 时极限不存在。

例 1.3.5 考察符号函数 $$ sgn(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x > 0 \ 0, & \text{if } x = 0 \ -1, & \text{if } x < 0 \end{cases} $$ 在 x = 0 处的左极限和右极限。

解:

当 x 从 0 的左侧趋近于 0 时，sgn(x) = -1，因此 $\(\lim_{x \to 0^-} sgn(x) = -1$\)
当 x 从 0 的右侧趋近于 0 时，sgn(x) = 1，因此 $\(\lim_{x \to 0^+} sgn(x) = 1$\)

由于符号函数在 x = 0 处的左极限和右极限不相等，因此 $\(\lim_{x \to 0} sgn(x)$\) 不存在。

图形描述：

符号函数 sgn(x) 的图像在 x < 0 时为直线 y = -1，在 x > 0 时为直线 y = 1，在 x = 0 处取值为 0。
从图形上可以看出，当 x 从左侧趋近于 0 时，图像上的点沿着直线 y = -1 趋近于点 (0, -1)；当 x 从右侧趋近于 0 时，图像上的点沿着直线 y = 1 趋近于点 (0, 1)。

例 1.3.6 考察函数 f(x) = |x|/x 在 x = 0 处的左极限和右极限。

解：

当 x < 0 时，f(x) = -x/x = -1，因此 $\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$\)
当 x > 0 时，f(x) = x/x = 1，因此 $\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$\)

由于 f(x) 在 x = 0 处的左极限和右极限不相等，因此 $\(\lim_{x \to 0} f(x)$\) 不存在。

1.3.2 当 x→∞ 时函数的极限¶

前面我们讨论了当 x 趋近于一个有限值 x₀ 时函数的极限。现在我们来考虑当自变量 x 的绝对值无限增大 (x→∞) 时函数的极限。

(1) x→∞ 时函数极限的直观描述¶

定义 1.3.5 设函数 f(x) 当 |x| 大于某个正数时有定义。如果当 x→∞ 时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x→∞ 时的**极限**，记作

\[\lim_{x \to \infty} f(x) = A\]

或

\[f(x) \to A \quad (x \to \infty)\]

说明：

“当 |x| 大于某个正数时有定义” 表示存在 X > 0，使得当 |x| > X 时，f(x) 有定义。
x→∞ 包含了两种情形：x→+∞ (x 取正值且无限增大) 和 x→-∞ (x 取负值且绝对值无限增大)。
如果 x→∞ 时，f(x) 不趋于一个确定的常数，则称 f(x) 当 x→∞ 时**极限不存在**，或称 f(x) 在 x→∞ 时**发散**。

例 1.3.7 考察函数 f(x) = 1/x 当 x→∞ 时的极限。

当 x→∞ 时，1/x 无限接近于 0。因此，

\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\]

例 1.3.8 考察函数 f(x) = arctan(x) 当 x→∞ 时的极限。

当 x→+∞ 时，arctan(x) 无限接近于 π/2；当 x→-∞ 时，arctan(x) 无限接近于 -π/2。因此，

\[\lim_{x \to +\infty} arctan(x) = \frac{\pi}{2}\]

\[\lim_{x \to -\infty} arctan(x) = -\frac{\pi}{2}\]

所以 f(x) = arctan(x) 当 x→∞ 时极限不存在。

图形描述：

函数 f(x) = 1/x 的图像是双曲线。当 x 沿着双曲线趋向于 +∞ 或 -∞ 时，双曲线的两支无限接近于 x 轴 (即直线 y = 0)。
函数 f(x) = arctan(x) 的图像是一条 S 形曲线。当 x 趋向于 +∞ 时，曲线无限接近于直线 y = π/2；当 x 趋向于 -∞ 时，曲线无限接近于直线 y = -π/2。

(2) x→+∞，x→-∞，x→∞ 时函数极限的 ε-X 定义 (选学)¶

类似于前面的 ε-δ 定义，我们可以用 ε-X 语言来精确定义函数 f(x) 当 x→∞ 时的极限。

定义 1.3.6 (x→+∞ 时函数极限的 ε-X 定义) 设函数 f(x) 当 x 大于某个正数时有定义，A 是一个确定的常数。如果对于任意给定的正数 ε (无论它多么小)，总存在一个正数 X，使得当 x > X 时，都有

\[|f(x) - A| < ε\]

成立，那么就称常数 A 是函数 f(x) 当 x→+∞ 时的极限，记作

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = A\]

或

\[f(x) \to A \quad (x \to +\infty)\]

定义 1.3.7 (x→-∞ 时函数极限的 ε-X 定义) 设函数 f(x) 当 x 小于某个负数时有定义，A 是一个确定的常数。如果对于任意给定的正数 ε (无论它多么小)，总存在一个正数 X，使得当 x < -X 时，都有

\[|f(x) - A| < ε\]

成立，那么就称常数 A 是函数 f(x) 当 x→-∞ 时的极限，记作

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = A\]

或

\[f(x) \to A \quad (x \to -\infty)\]

定义 1.3.8 (x→∞ 时函数极限的 ε-X 定义) 设函数 f(x) 当 |x| 大于某个正数时有定义，A 是一个确定的常数。如果对于任意给定的正数 ε (无论它多么小)，总存在一个正数 X，使得当 |x| > X 时，都有

\[|f(x) - A| < ε\]

成立，那么就称常数 A 是函数 f(x) 当 x→∞ 时的极限，记作

\[\lim_{x \to \infty} f(x) = A\]

或

\[f(x) \to A \quad (x \to \infty)\]

术语解释：

ε (epsilon)：任意给定的正数，用来刻画 f(x) 与 A 的接近程度。
X (大 X)：依赖于 ε 的正数，用来限制 x 的范围。
x > X (x→+∞)：表示 x 取大于 X 的值。
x < -X (x→-∞)：表示 x 取小于 -X 的值。
|x| > X (x→∞)：表示 x 取绝对值大于 X 的值，即 x > X 或 x < -X。

说明：

这三个定义分别对应于 x 趋近于正无穷大、负无穷大和无穷大的情况。
ε-X 定义用精确的数学语言刻画了函数在自变量趋于无穷大时极限的概念。
x→∞ 时函数极限存在的充分必要条件是 x→+∞ 和 x→-∞ 时函数极限都存在且相等。
定义中“当 x 大于某个正数时有定义”能否改成“当 x 取某个确定的正数时有定义”？不能。因为改成“当 x 取某个确定的正数时有定义”后，只能表达 f(x) 在 x 取某个特定值附近有定义，不能表达当 x 充分大以后 f(x) 总有定义的含义。

例 1.3.9 用 ε-X 定义证明 $\(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$\)。

证明: 对于任意给定的 ε > 0，要使

\[|\frac{1}{x} - 0| = \frac{1}{x} < ε\]

只需

\[x > \frac{1}{ε}\]

所以，取 X = 1/ε，则当 x > X 时，就有

\[|\frac{1}{x} - 0| = \frac{1}{x} < ε\]

因此，$\(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$\)。

1.3 函数的极限