1.4 极限的性质与运算法则

1.4 极限的性质与运算法则¶

为了方便计算函数的极限，我们需要了解极限的一些基本性质和运算法则。

1.4.1 极限的唯一性¶

定理 1.4.1 (极限的唯一性) 如果 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x)\)\) 存在，那么这个极限是唯一的。

证明: (反证法) 假设 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)\) 且 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = B\)\)，且 A ≠ B。不妨设 A < B。

取 \(ε = (B - A)/2 > 0\)。

由于 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)\)，根据 ε-δ 定义，存在 δ₁ > 0，当 0 < |x - x₀| < δ₁ 时，有

\[|f(x) - A| < ε\]

即

\[A - ε < f(x) < A + ε\]

由于 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = B\)\)，存在 δ₂ > 0，当 0 < |x - x₀| < δ₂ 时，有

\[|f(x) - B| < ε\]

即

\[B - ε < f(x) < B + ε\]

取 δ = min{δ₁, δ₂}，则当 0 < |x - x₀| < δ 时，上述两个不等式同时成立。

将 ε = (B - A)/2 代入，得

\[A - \frac{B - A}{2} < f(x) < A + \frac{B - A}{2}\]

\[\frac{3A - B}{2} < f(x) < \frac{A + B}{2}\]

以及

\[B - \frac{B - A}{2} < f(x) < B + \frac{B - A}{2}\]

\[\frac{A + B}{2} < f(x) < \frac{3B - A}{2}\]

于是，得到

\[\frac{A + B}{2} < f(x) < \frac{A + B}{2}\]

矛盾。因此假设不成立，极限是唯一的。

说明：

这个定理表明，如果函数 f(x) 当 x→x₀ 时存在极限，那么这个极限值是唯一确定的。
数列极限也有类似的唯一性定理。

1.4.2 极限的局部保号性¶

定理 1.4.2 (极限的局部保号性) 如果 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)\)，且 A > 0 (或 A < 0)，那么存在 x₀ 的某个去心邻域，当 x 在该去心邻域内时，f(x) > 0 (或 f(x) < 0)。

证明: 只证明 A > 0 的情形，A < 0 的情形类似可证。

由于 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)\) 且 A > 0，取 ε = A/2 > 0，则存在 δ > 0，当 0 < |x - x₀| < δ 时，有

\[|f(x) - A| < \frac{A}{2}\]

即

\[-\frac{A}{2} < f(x) - A < \frac{A}{2}\]

从而

\[f(x) > A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} > 0\]

因此，存在 x₀ 的去心邻域 (x₀ - δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ)，当 x 在该去心邻域内时，f(x) > 0。

说明：

局部保号性指的是在 x₀ 的一个充分小的去心邻域内，函数值的符号与极限值的符号相同。
定理中的“某个去心邻域”与极限定义中的“去心邻域”是一致的。
数列极限也有类似的保号性定理。

推论 1.4.1 如果 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)\) 且在 x₀ 的某个去心邻域内 f(x) ≥ 0，那么 A ≥ 0。

证明: （反证法）假设 A < 0，由保号性定理，存在 x₀ 的某个去心邻域，当 x 在该去心邻域内时，f(x) < 0，与已知条件矛盾。

1.4.3 极限的四则运算法则¶

定理 1.4.3 (极限的四则运算法则) 设 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)\)，\(\(\lim_{x \to x_0} g(x) = B\)\)，则

\[\lim_{x \to x_0} [f(x) ± g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) ± \lim_{x \to x_0} g(x) = A ± B\]
\[\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = A \cdot B\]
若 B ≠ 0，则 \(\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{A}{B}\)\)

说明：

这些运算法则表明，如果两个函数的极限都存在，那么它们的和、差、积、商 (分母极限不为零) 的极限也存在，且分别等于它们极限的和、差、积、商。
这些法则可以推广到有限个函数的情形。
数列极限也有类似的四则运算法则。

例 1.4.1 求 \(\(\lim_{x \to 1} (x^2 + 3x - 2)\)\)。

解:

\[\lim_{x \to 1} (x^2 + 3x - 2) = \lim_{x \to 1} x^2 + \lim_{x \to 1} 3x - \lim_{x \to 1} 2 = 1 + 3 - 2 = 2\]

例 1.4.2 求 \(\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)\)。

解: 注意分母的极限为 0，不能直接应用法则 3。但当 x ≠ 2 时，

\[\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2\]

因此，

\[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4\]

1.4.4 复合函数的极限运算法则与函数的连续性¶

1.4.4.1 复合函数的极限运算法则¶

定理 1.4.4 (复合函数的极限运算法则) 设 \(\(\lim_{x \to x_0} g(x) = a\)\)，\(\(\lim_{u \to a} f(u) = A\)\)，且在 x₀ 的某个去心邻域内 g(x) ≠ a，则

\[\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \lim_{u \to a} f(u) = A\]

说明：

这个法则表明，在一定条件下，复合函数的极限可以通过变量替换来计算。
条件“在 x₀ 的某个去心邻域内 g(x) ≠ a”是为了保证在 x 趋近于 x₀ 的过程中，u = g(x) 能够取遍 a 附近的所有值 (除 a 外)，从而使得 f(u) 的极限存在。
如果把定理中的条件“在 x₀ 的某个去心邻域内 g(x) ≠ a”去掉，为了保证复合函数极限运算法则的结论成立，需要对函数 f(u) 加上 连续性 条件。

例 1.4.3 求 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}\)\)。

解: 令 u = 2*x*，则当 x→0 时，u→0。在 x = 0 的去心邻域内，2*x* ≠ 0。因此，

\(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\)\) (这个极限我们已经在附录中介绍)

1.4.4.2 函数的连续性¶

函数的连续性概念的引入：

在研究复合函数的极限运算法则时，我们发现当 \(\(\lim_{u \to a} f(u) = f(a)\)\) 时，即使 g(x) 在 x₀ 的某个去心邻域内存在 g(x) = a 的情况，即在不满足运算法则的充分条件时，复合函数的极限运算法则仍然成立。由此我们引入函数连续性的概念。

定义 1.4.5 (函数在一点连续) 设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个邻域内有定义。如果

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

则称函数 f(x) 在点 x₀ 连续。

说明:

函数 f(x) 在点 x₀ 连续，意味着以下三点成立：
1. f(x) 在点 x₀ 有定义，即 f(x₀) 存在。
2. \(\(\lim_{x \to x_0} f(x)\)\) 存在。
3. \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)\)，即极限值等于函数值。
从几何上看，函数 f(x) 在点 x₀ 连续意味着函数图像在点 x₀ 处没有断裂。

定义 1.4.6 (左连续和右连续) 如果

\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\]

则称函数 f(x) 在点 x₀ 左连续；如果

\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\]

则称函数 f(x) 在点 x₀ 右连续。

说明:

函数 f(x) 在点 x₀ 连续的充分必要条件是：f(x) 在点 x₀ 既左连续又右连续。

定义 1.4.7 (区间上的连续函数) 如果函数 f(x) 在区间 I 上的每一点都连续，则称 f(x) 是区间 I 上的**连续函数**。如果区间包含端点，则在端点处只考虑左连续或右连续。

说明:

对于闭区间，我们要求函数在该闭区间上每一点都连续，且在左端点右连续，在右端点左连续。
几何上看，如果一个函数在某个区间上是连续的，那么它的图像在该区间上是一条连续不断的曲线。

定义 1.4.8 (函数的间断点) 设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个去心邻域内有定义。如果 f(x) 在点 x₀ 不连续，则称 x₀ 是 f(x) 的**间断点**。

说明:

间断点有多种类型，常见的有以下几种：
1. 可去间断点: \(\(\lim_{x \to x_0} f(x)\)\) 存在，但 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\)\) 或 f(x) 在 x₀ 处无定义。例如 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处是可去间断点。
2. 跳跃间断点: \(\(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\)\) 和 \(\(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\)\) 都存在，但不相等。例如符号函数 sgn(x) 在 x = 0 处是跳跃间断点。
3. 无穷间断点: \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty\)\)，即函数在 x₀ 处趋于无穷大。例如 f(x) = 1/x 在 x = 0 处是无穷间断点。
4. 振荡间断点: 当 x 趋近于 x₀ 时，函数值在多个值之间无限次跳动。例如 f(x) = sin(1/x) 在 x = 0 处是振荡间断点。

例 1.4.4 讨论函数 f(x) = x 的连续性。

解: 对于任意 x₀ ∈ R，\(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} x = x_0 = f(x_0)\)\)。因此，f(x) = x 在 R 上处处连续。

例 1.4.5 讨论函数 \(\(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}\)\) 的连续性。

解: 当 x ≠ 0 时，f(x) = sin*x*/x。因为 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)\) (参见附录)，且 f(0) = 1，所以 \(\(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\)\)。因此，f(x) 在 x = 0 处连续。又因为 f(x) 在 x ≠ 0 时显然连续，所以 f(x) 在 R 上连续。

例 1.4.6 讨论函数 f(x) = sgn(x) 的连续性。

解: 当 x ≠ 0 时，f(x) 是常数函数 (1 或 -1)，因此是连续的。当 x = 0 时，\(\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1\)\)，\(\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\)\)。因此 \(\(\lim_{x \to 0} f(x)\)\) 不存在，所以 f(x) 在 x = 0 处不连续，x = 0 是 f(x) 的跳跃间断点。

1.4.4.3 关于连续函数的复合函数的极限运算法则¶

定理 1.4.5 设 \(\(\lim_{x \to x_0} g(x) = a\)\)，函数 f(u) 在 u = a 处连续，则

\[\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x)) = f(a)\]

证明: 由于 f(u) 在 u = a 处连续，所以 \(\(\lim_{u \to a} f(u) = f(a)\)\)。根据复合函数的极限运算法则 (定理 1.4.4 的推广，无需 g(x) ≠ a 的条件)，有

\[\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \lim_{u \to a} f(u) = f(a)\]

又因为 \(\(\lim_{x \to x_0} g(x) = a\)\)，所以

\[\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x))\]

说明:

这个定理表明，如果外层函数 f(u) 在 u = a 处连续，那么求复合函数 f(g(x)) 的极限时，可以先求内层函数 g(x) 的极限，再把这个极限值代入 f(u) 中。
这个定理对于简化复合函数的极限运算非常有用。

例 1.4.7 求 \(\(\lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \cos x}\)\)。

解: 设 f(u) = √u，g(x) = 1 + cos x。因为 \(\(\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} (1 + \cos x) = 2\)\)，且 f(u) = √u 在 u = 2 处连续，所以

\[\lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{\lim_{x \to 0} (1 + \cos x)} = \sqrt{2}\]

1.4.4.4 初等函数的连续性¶

定理 1.4.6 一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。

说明:

**定义区间**指的是包含在定义域内的区间。例如 y = √x 的定义域是 [0, +∞)，其定义区间可以是 [0, +∞) 上的任意一个子区间，如 [0, 1]，(0, 2) 等。
这个定理表明，初等函数在其定义区间内的每一点都是连续的。
这个定理的证明比较复杂，这里从略。

结论:

利用初等函数的连续性，可以简化许多极限的计算。如果 f(x) 是一个初等函数，且 x₀ 在 f(x) 的定义区间内，那么 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)\)。

1.4 极限的性质与运算法则