1.5 无穷小量与无穷大量
1.5 无穷小量与无穷大量¶
无穷小量和无穷大量是微积分学中两个非常重要的概念，它们与极限密切相关。
1.5.1 无穷小量¶
定义 1.5.1 如果函数 f(x) 当 x→x0 (或 x→∞) 时的极限为零，那么称函数 f(x) 为当 x→x0 (或 x→∞) 时的**无穷小量**，简称**无穷小**。
说明：
- 无穷小量是一个变量，它在自变量的某个变化过程中，极限为零。
- 不要将无穷小量与很小的数混淆。无穷小量是一个极限为零的变量，而很小的数是一个常数。
- 零是可以作为无穷小量的唯一的常数。
- 设 α = f(x), x→x0。问：α 是否是 x→x0 时的无穷小量？答案：不一定。只有当 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = 0\)\) 时，α 才是 x→x0 时的无穷小量。
例 1.5.1 函数 f(x) = x 当 x→0 时是无穷小量，因为 \(\(\lim_{x \to 0} x = 0\)\)。
例 1.5.2 函数 f(x) = 1/x 当 x→∞ 时是无穷小量，因为 \(\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)\)。
例 1.5.3 函数 f(x) = sin(x)/x 当 x→0 时是无穷小量，因为 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)\) (这个极限我们将在后面介绍)，且 \(\(\lim_{x \to 0} \sin x = 0\)\)。由于 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0\)\), f(x) = sin(x)/x 不是 x→0 时的无穷小。但是 g(x) = sin(x) 是 x→0 时的无穷小量。
1.5.2 无穷大量¶
定义 1.5.2 如果函数 f(x) 当 x→x0 (或 x→∞) 时，|f(x)| 无限增大，那么称函数 f(x) 为当 x→x0 (或 x→∞) 时的**无穷大量**，简称**无穷大**。记作
或
说明：
- 无穷大量是一个变量，它在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大。
- 不要将无穷大量与很大的数混淆。无穷大量是一个绝对值无限增大的变量，而很大的数是一个常数。
- 无穷大不是一个数，所以不能说“极限等于无穷大”，而只能说“极限不存在，为无穷大”。
- 设 f(x) 是 x→x0 时的无穷大量，问：能否说 x→x0 时，f(x) 的极限为 ∞？不能。习惯上，我们把 x→x0 时，f(x) 为无穷大量称为 f(x) 的极限不存在。
- 无穷大量有正无穷大 (+∞) 和负无穷大 (-∞) 之分。
例 1.5.4 函数 f(x) = 1/x 当 x→0 时是无穷大量，因为当 x→0 时，|1/x| 无限增大。
例 1.5.5 函数 f(x) = x2 当 x→∞ 时是无穷大量，因为当 x→∞ 时，|x2| 无限增大。
例 1.5.6 函数 f(x) = -ln(x) 当 x→0+ 时是正无穷大量，因为当 x 从右侧趋近于 0 时，-ln(x) 的值无限增大且为正数。
1.5.3 无穷小量与无穷大量的关系¶
定理 1.5.1 在自变量的同一变化过程中，如果 f(x) 为无穷大量，则 1/f(x) 为无穷小量；反之，如果 f(x) 为无穷小量，且 f(x) ≠ 0，则 1/f(x) 为无穷大量。
说明：
- 这个定理建立了无穷小量与无穷大量的倒数关系。
- “自变量的同一变化过程” 指的是 x→x0 或 x→∞ 的相同。
- 无穷大量的倒数是无穷小量，这里不需要加非零的条件。因为无穷大量本身有不为零的性质。
- 应用无穷小量与无穷大量的关系时，需要指明自变量的变化过程。只有在自变量的同一变化过程中，才能说无穷大量的倒数是无穷小量，或者非零无穷小量的倒数是无穷大量。
例 1.5.7 因为 x→0 时，x 是无穷小，且 x ≠ 0，所以 x→0 时，1/x 是无穷大。
1.5.4 无穷小量的运算性质¶
定理 1.5.2 有限个无穷小量的和也是无穷小量。
定理 1.5.3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论 1.5.1 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 推论 1.5.2 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量。
说明：
- “有限个” 指的是数量是确定的、有限的。
- 无穷多个无穷小量的和或积不一定是无穷小量。
例 1.5.8 因为 \(\(\lim_{x \to 0} x = 0\)\)，且 sin(x) 在 R 上有界，所以
即 x→0 时，x·sin*x* 是无穷小量。
例 1.5.9 因为 \(\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)\)，且 cos(x) 在 R 上有界，所以
即 x→∞ 时，(1/x) · cos*x* 是无穷小量。
1.5.5 无穷小量的比较 (选学)¶
两个无穷小量虽然都趋于零，但它们趋于零的速度可能不同。例如，当 x→0 时，x, x2, sin*x* 都是无穷小量，但 x2 趋于零的速度比 x 快，而 sin*x* 与 x 趋于零的速度相当。为了比较无穷小量趋于零的速度，我们引入无穷小量阶的概念。
定义 1.5.3 设 α 和 β 都是同一个自变量变化过程中的无穷小量，且 α ≠ 0。
- 如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = 0\)\)，那么称 β 是比 α 高阶的无穷小量，记作 β = o(α)。
- 如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = ∞\)\)，那么称 β 是比 α 低阶的无穷小量。
- 如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = c \neq 0\)\)，那么称 β 与 α 是**同阶的无穷小量**。
- 如果 \(\(\lim \frac{β}{α} = 1\)\)，那么称 β 与 α 是**等价的无穷小量**，记作 α ~ β。
- 如果存在一个正数 k，使得 \(\(\lim \frac{β}{α^k} = c \neq 0\)\)，那么称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小量。
说明：
- o(α) 是比 α 高阶的无穷小量的统称。
- 无穷小量的比较，反映了无穷小量趋于零的速度快慢。
- 等价无穷小量可以互相替换，这在求极限时非常有用。
等价无穷小替换¶
1. 更详细的等价无穷小公式表格
当 x→0 时，下列函数是等价无穷小，可以互相替换：
| 函数 | 等价无穷小 | 备注 |
|---|---|---|
| sin*x* | x | |
| tan*x* | x | |
| arcsin*x* | x | |
| arctan*x* | x | |
| ln(1+x) | x | |
| ex - 1 | x | |
| 1 - cos*x* | \(\(\frac{1}{2}x^2\)\) | |
| (1 + x)a - 1 | a*x* | a 为常数 |
| x - sin*x* | \(\(\frac{1}{6}x^3\)\) | |
| tan*x* - x | \(\(\frac{1}{3}x^3\)\) | |
| tan*x* - sin*x* | \(\(\frac{1}{2}x^3\)\) | |
| x - ln(1 + x) | \(\(\frac{1}{2}x^2\)\) | |
| arcsin*x* - x | \(\(\frac{1}{6}x^3\)\) | |
| arctan*x* - x | \(\(-\frac{1}{3}x^3\)\) | |
| sinh*x* | x | sinh*x* = (ex - e-x) / 2 |
| tanh*x* | x | tanh*x* = (ex - e-x) / (ex + e-x) |
| arcsinh*x* | x | arcsinh*x* = ln(x + √(x2 + 1)) |
| arctanh*x* | x | arctanh*x* = (½)ln((1+x)/(1-x)) |
| ax - 1 | x*ln*a | a > 0 且 a ≠ 1 |
| loga(1+x) | x/ln*a* | a > 0 且 a ≠ 1 |
| n√1 + x - 1 | x/n | n 为正整数 |
2. 等价无穷小替换的原理
等价无穷小替换的本质是基于极限的定义和性质。当 x→x0 时，如果两个函数 f(x) 和 g(x) 都是无穷小量，且 \(\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)\)，那么我们称 f(x) 和 g(x) 在 x→x0 时是等价无穷小，记作 f(x) ~ g(x)。
这个定义的含义是，当 x 足够接近 x0 时，f(x) 和 g(x) 的比值无限接近于 1，也就是说，f(x) 和 g(x) 在极限过程中可以近似地看作相等。因此，在求极限时，我们可以用一个等价无穷小来替换另一个等价无穷小，从而简化计算。
从泰勒级数的角度也可以理解等价无穷小替换。一个函数在某一点的泰勒展开式，可以看作是对该函数在该点附近的近似表示。等价无穷小实际上是泰勒展开式的第一项，也就是线性主部。当 x→0 时，高阶项的影响可以忽略不计，因此可以用线性主部来代替原函数。
3. 使用等价无穷小替换的注意事项：
- 自变量的变化过程必须相同。 必须确保被替换的两个无穷小量是在同一个自变量变化过程中等价的。例如，只有当 x→0 时，sin*x* 与 x 才等价；如果 x→∞，则 sin*x* 与 x 不是等价无穷小。
- 等价无穷小替换通常只适用于乘除运算，不适用于加减运算。
- 乘除运算中可以替换： 当等价无穷小作为因子或除数时，可以使用等价无穷小替换。这是因为极限的运算性质允许我们将乘积或商的极限转化为极限的乘积或商。例如： \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\)\) \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\)\)
- 加减运算中一般不能替换： 当等价无穷小出现在加减运算中时，通常不能直接替换。这是因为加减运算的极限性质要求每一项都分别存在极限，而替换后可能会改变原式的极限值。例如： \(\(\lim_{x \to 0} (x - \sin x) \neq \lim_{x \to 0} (x - x) = 0\)\) 因为 sin*x* 不是因子，而是被减数。正确的做法是使用 \(\(\lim_{x \to 0} (x - \sin x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{6}x^3 = 0\)\)，或者使用洛必达法则。
- 加减运算替换的特殊情况：如果加减项中，一个无穷小量是另一个无穷小量的高阶无穷小，那么可以忽略高阶无穷小。例如： \(\(\lim_{x \to 0} (x^2 + x) = \lim_{x \to 0} x = 0\)\) 因为 x2 是比 x 高阶的无穷小，在求极限时可以忽略不计。
- 替换后要保证极限类型不变。 例如，不能将 0/0 型的极限替换成 ∞/∞ 型的极限。
例题解析¶
例 1.5.10 当 x→0 时，x2 是比 x 高阶的无穷小量，因为 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0\)\)。
例 1.5.11 当 x→0 时，x 是比 x2 低阶的无穷小量，因为 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty\)\)。
例 1.5.12 当 x→0 时，2x 与 x 是同阶的无穷小量，因为 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2 \neq 0\)\)。
例 1.5.13 当 x→0 时，1 - cos*x* 是关于 x 的 2 阶无穷小量，因为 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \neq 0\)\) (这个极限我们将在后面介绍)。
例 1.5.14 求 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x}\)\)。
解题步骤：
- 确定自变量变化过程： 题目中 x→0。
- 识别无穷小量： 当 x→0 时，tan*x* 和 sin*x* 都是无穷小量。
- 查找等价无穷小： 在 x→0 时，tan*x* ~ x，sin*x* ~ x (参考等价无穷小公式表格)。
- 进行替换： 因为 tan*x* 和 sin*x* 都是因子，所以可以用 x 替换 tan*x* 和 sin*x*。
- 计算极限： \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\)\)
例 1.5.15 求 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{\sin x}\)\)。
解题步骤：
- 确定自变量变化过程： 题目中 x→0。
- 识别无穷小量： 当 x→0 时，ln(1+2*x*) 和 sin*x* 都是无穷小量。
- 查找等价无穷小： 在 x→0 时，ln(1+2*x*) ~ 2*x*，sin*x* ~ x (参考等价无穷小公式表格)。
- 进行替换： 因为 ln(1+2*x*) 和 sin*x* 都是因子，所以可以用 2*x* 替换 ln(1+2*x*)，用 x 替换 sin*x*。
- 计算极限： \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2\)\)