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1.6 习题

1.6 习题

1.6.1 基础题

  1. 函数概念与表示

    • (a) 什么是函数的定义域和值域？
    • (b) 函数有哪些表示方法？请举例说明。
    • © 判断下列关系是否为函数，并说明理由：
      1. y2 = x
      2. y = |x|
      3. y = ±√(x - 1)
      4. y = x3 - 2*x* + 1, x ∈ [0, 5]

  2. 函数的性质

    • (a) 判断函数 f(x) = x2 - 2x + 1 的单调区间。
    • (b) 判断函数 f(x) = sinx 的奇偶性和周期性。
    • © 举例说明一个有界函数和一个无界函数。
    • (d) 证明函数 f(x) = 1/x 在 (0, 1) 上无界。

  3. 数列的极限

    • (a) 什么是数列的极限？
    • (b) 判断下列数列的敛散性，若收敛，求其极限：
      1. an = 2 + 1/n
      2. an = (-1)n
      3. n
      4. an = (2*n* + 1) / (n + 3)
      5. an = 1 + (-1)n / n

  4. 函数的极限

    • (a) 用 ε-δ 语言描述函数极限的定义。
    • (b) 求下列函数的极限：
      1. \[\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 4)\]
      2. \[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]
      3. \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\]
      4. \[\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3}\]

1.6.2 提高题

  1. 反函数与复合函数

    • (a) 求函数 f(x) = 2x - 3 的反函数。
    • (b) 设 f(x) = √x，g(x) = x + 2，求 f(g(x)) 和 g(f(x)) 的表达式及其定义域。
    • © 证明：如果 f(x) 和 g(x) 都是单调递增函数，则 f(g(x)) 也是单调递增函数。

  2. 数列极限的证明

    • (a) 用 ε-N 定义证明 \(\(\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{2n - 1} = \frac{3}{2}\)\)
    • (b) 证明：如果数列 {an} 收敛于 A，则数列 {|an|} 收敛于 |A|。

  3. 函数极限的证明

    • (a) 用 ε-δ 定义证明 \(\(\lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 2\)\)
    • (b) 用 ε-X 定义证明 \(\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + 1} = 1\)\)

  4. 无穷小量与无穷大量

    • (a) 证明：当 x→0 时，x*sin(1/*x) 是无穷小量。
    • (b) 举例说明：两个无穷小量的商不一定是无穷小量。
    • © 证明：如果 f(x) 当 x→x0 时是无穷大量，则 1/f(x) 当 x→x0 时是无穷小量。

  5. 函数连续性

  6. (a) 写出函数在一点连续的定义。
  7. (b) 讨论函数 f(x) = |x|/x 在 x = 0 处的连续性。
  8. © 设函数 f(x) 在 x = x0 处连续，g(x) 在 x = x0 处不连续，证明 f(x) + g(x) 在 x = x0 处不连续。

1.6.3 挑战题

  1. 数列极限的性质

    • (a) 证明：如果数列 {an} 收敛，则数列 {an} 有界。
    • (b) (夹逼定理) 设数列 {an}，{bn} 和 {cn} 满足：存在 N0 ∈ N，当 n > N0 时，有 an ≤ bn ≤ cn，且 \(\(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A\)\)，则 \(\(\lim_{n \to \infty} b_n = A\)\)。

  2. 函数极限的性质

    • (a) (夹逼定理) 设在 x0 的某个去心邻域内，有 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 \(\(\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A\)\)，则 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)\)。
    • (b) 利用夹逼定理证明 \(\(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)\)。

  3. 无穷小量的比较

    • (a) 证明：当 x→0 时，x - sin*x* 是 x 的三阶无穷小量。
    • (b) 设 α 和 β 是 x→x0 时的无穷小量，且 α ~ β。证明：α - β 是比 α (或 β) 高阶的无穷小量。

  4. 综合应用

  5. (a) 设 f(x) 在 [-a, a] 上连续，且 f(0) = 0。证明： \(\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(-x)}{x} = 0\)\).
  6. (b) 设 f(x) 在 x = 0 的某个邻域内有定义, 且 \(\(\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 1\)\), 证明: \(\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)\).