2.1 导数的概念

2.1 导数的概念

2.1.1 问题的提出

导数的概念来源于实际问题中对**瞬时变化率**的刻画。其中，最典型的例子是物理学中的**瞬时速度**和几何学中的**切线斜率**问题。

(1) 瞬时速度

在物理学中，我们知道，如果一个物体做匀速直线运动，那么它的速度可以用位移与时间的比值来表示：

\[速度 = \frac{位移}{时间}\]

然而，在实际问题中，物体往往做的是变速直线运动，即速度的大小和方向都可能随着时间改变。这时，上述公式只能计算物体在一段时间内的**平均速度**。为了精确地描述物体在**某一时刻**的运动快慢，我们需要引入**瞬时速度**的概念。

例 2.1.1 考虑一个自由落体运动的物体，它的位移 s (单位：米) 与时间 t (单位：秒) 的关系为：

\[s = \frac{1}{2}gt^2\]

其中 g ≈ 9.8 米/秒² 是重力加速度。现在我们想知道，在 t = 1 秒这一时刻，物体的瞬时速度是多少？

我们可以先计算 t = 1 秒附近一段时间内的平均速度。例如，从 t = 1 秒到 t = 1.1 秒这段时间内，物体的平均速度为：

\[\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\frac{1}{2}g(1.1)^2 - \frac{1}{2}g(1)^2}{1.1 - 1} ≈ \frac{4.9(1.21 - 1)}{0.1} = 10.29 \text{ 米/秒}\]

如果我们把时间间隔取得更小一些，比如从 t = 1 秒到 t = 1.01 秒，那么平均速度为：

\[\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\frac{1}{2}g(1.01)^2 - \frac{1}{2}g(1)^2}{1.01 - 1} ≈ \frac{4.9(1.0201 - 1)}{0.01} = 9.849 \text{ 米/秒}\]

我们可以继续缩小时间间隔，计算出更多的平均速度：

时间区间 (秒)	位移差 Δs (米)	平均速度 (米/秒)
1 ~ 2	14.7	14.7
1 ~ 1.1	1.029	10.29
1 ~ 1.01	0.09849	9.849
1 ~ 1.001	0.0098049	9.8049
1 ~ 1.0001	0.000980049	9.80049

可以看出，当时间间隔不断缩小时，平均速度趋近于一个确定的值：9.8 米/秒。我们把这个值定义为物体在 t = 1 秒这一时刻的**瞬时速度**。

直观描述:

瞬时速度就是当时间间隔 Δ*t* 无限趋近于零时，平均速度 Δ*s*/Δ*t* 的极限：

\[瞬时速度 = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}\]

(2) 切线斜率

在几何学中，我们知道，一条直线的斜率可以用直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来表示：

\[斜率 = \frac{纵坐标之差}{横坐标之差}\]

然而，对于一条曲线，我们无法直接用这个公式来计算它在某一点的**切线的斜率**。

例 2.1.2 考虑曲线 y = x²，求它在点 (1, 1) 处的切线斜率。

我们可以先计算曲线在 (1, 1) 附近一点的**割线的斜率**。例如，取 (1, 1) 和 (2, 4) 两点，则割线的斜率为：

\[\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3\]

如果我们把第二个点取得更靠近 (1, 1)，比如取 (1.5, 2.25)，则割线的斜率为：

\[\frac{2.25 - 1}{1.5 - 1} = 2.5\]

我们可以继续让第二个点靠近 (1, 1)，计算出更多的割线斜率：

第二个点	割线斜率
(2, 4)	3
(1.5, 2.25)	2.5
(1.1, 1.21)	2.1
(1.01, 1.0201)	2.01
(1.001, 1.002001)	2.001

可以看出，当第二个点不断靠近 (1, 1) 时，割线斜率趋近于一个确定的值：2。我们把这个值定义为曲线 y = x² 在点 (1, 1) 处的**切线的斜率**。

图形描述:

画出函数 y = x² 的图像，它是一条抛物线。在图像上标出点 (1, 1)。

1. 在抛物线上 (1, 1) 的右侧取一系列点，例如 (2, 4), (1.5, 2.25), (1.1, 1.21) 等。
2. 画出 (1, 1) 与这些点之间的割线。
3. 可以观察到，当这些点逐渐靠近 (1, 1) 时，割线逐渐趋近于一条与抛物线在 (1, 1) 点相切的直线，即切线。
4. 这些割线的斜率趋近于切线的斜率。

直观描述:

切线的斜率就是当第二个点沿着曲线无限靠近第一个点时，割线斜率的极限。

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2.1.2 导数的定义

(1) 导数的定义

通过上一节的两个例子，我们可以看到，无论是计算瞬时速度还是切线斜率，都归结为一个求极限的问题。这个极限值反映了函数在某一点的瞬时变化率，在数学上，我们把它定义为函数在该点的**导数**。

定义 2.1.1 (导数) 设函数 y = f(x) 在点 x₀ 的某个邻域内有定义。当自变量 x 在 x₀ 处取得增量 Δ*x* (点 x₀ + Δx 仍在邻域内) 时，相应地，因变量取得增量 Δ*y* = f(x₀ + Δx) - f(x₀)；如果 Δ*y* 与 Δ*x* 之比当 Δ*x*→0 时的极限存在，那么称函数 y = f(x) 在点 x₀ 处**可导**，并称这个极限为函数 y = f(x) 在点 x₀ 处的**导数**，记为 f'(x₀)，即

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

也可记作 y'|_x=x0 或 \(\(\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}\)\)

说明：

• 函数在点 x₀ 处可导也称函数在点 x₀ 处**可微**。
• 如果极限 \(\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)\) 不存在，则称函数 y = f(x) 在点 x₀ 处**不可导**。
• 为了方便，有时也把增量 Δ*x* 记为 h，即 Δ*x* = h。
• 如果函数 y = f(x) 在开区间 (a, b) 内的每一点都可导，那么称函数 f(x) 在开区间 (a, b) 内**可导**。
• 如果函数 y = f(x) 在开区间 (a, b) 内可导，且在区间端点 a 处的右导数和端点 b 处的左导数都存在，那么称函数 y = f(x) 在闭区间 [*a*, b] 上**可导**。
• 导数的定义中，为什么不写成 \(\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)\)？因为改为这种形式后，涵盖的信息减少了。导数的定义式中，Δ*y* 和 Δ*x* 分别表示函数值和自变量的改变量，这是一个重要的信息。当把定义中的 Δ*x* 写成 x - x₀ 后，虽然形式上更简洁了，但是却丢失了 Δ*x* 和 Δ*y* 这层含义。
• 导函数：如果一个函数 f(x) 在一个区间 I 上每一点都可导，那么对于区间 I 上每一个 x，都有一个对应的导数值 f'(x)，这样就构成了一个新的函数，我们把这个函数叫做函数 f(x) 的**导函数**，记作 f'(x)。
• 根据上述导函数的定义，可以得出：函数 f(x) 在点 x₀ 的导数 f'(x₀) 就是导函数 f'(x) 在点 x = x₀ 的函数值，即 f'(x₀) = f'(x) |_{x = x0}。

例 2.1.3 求函数 f(x) = C (C 为常数) 的导数。

解: 由于 Δ*y* = f(x + Δx) - f(x) = C - C = 0，所以

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0\]

因此，常数函数的导数为零。

例 2.1.4 求函数 f(x) = x 在点 x 处的导数。

解: Δ*y* = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx) - x = Δ*x*，所以

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1\]

因此，函数 f(x) = x 的导数为 1。

例 2.1.5 求函数 f(x) = x² 在点 x 处的导数。

解: Δ*y* = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)² - x² = 2*x*Δ*x* + (Δ*x*)²，所以

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x\]

因此，函数 f(x) = x² 的导数为 2*x*。

例 2.1.6 求函数 f(x) = 1/x 在点 x 处的导数 (x ≠ 0)。

解: Δ*y* = f(x + Δx) - f(x) = 1/(x + Δx) - 1/x = -Δx / (x(x + Δx))，所以

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} = -\frac{1}{x^2}\]

因此，函数 f(x) = 1/x 的导数为 -1/x²。

(2) 单侧导数

类似于函数的单侧极限，我们也可以定义函数的单侧导数。

定义 2.1.2 (左导数) 设函数 y = f(x) 在点 x₀ 的某个左邻域内有定义。如果极限

\[\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

存在，那么称此极限值为函数 y = f(x) 在点 x₀ 处的**左导数**，记作 f'_-(x₀)。

定义 2.1.3 (右导数) 设函数 y = f(x) 在点 x₀ 的某个右邻域内有定义。如果极限

\[\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

存在，那么称此极限值为函数 y = f(x) 在点 x₀ 处的**右导数**，记作 f'₊(x₀)。

说明：

• 左导数和右导数统称为**单侧导数**。
• 函数 f(x) 在点 x₀ 处可导的充分必要条件是左导数 f'_-(x₀) 和右导数 f'₊(x₀) 都存在且相等。
• 单侧导数对于研究分段函数在分段点处的可导性很有用。

例 2.1.7 讨论函数 $$ f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \ge 0 \ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases} $$ 在 x = 0 处的导数。

解:

• 考虑右导数：当 x > 0 时，f(x) = x，故

\[f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1\]

• 考虑左导数：当 x < 0 时，f(x) = -x，故

\[f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1\]

因为 f'₊(0) ≠ f'_-(0)，所以 f(x) = |x| 在 x = 0 处不可导。

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2.1.3 导数的几何意义

在 2.1.1 节中，我们从切线斜率问题引出了导数的概念。事实上，导数的几何意义就是**曲线的切线的斜率**。

几何解释：

设曲线 y = f(x) 在点 M(x₀, f(x₀)) 处有切线 MT。MN 是曲线的割线，MN 的斜率为

\[tan \varphi = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

其中 φ 是 MN 的倾角。当 Δ*x*→0 时，点 N 沿着曲线趋近于点 M，割线 MN 的极限位置就是切线 MT。如果导数 f'(x₀) 存在，则割线 MN 的斜率的极限存在，且等于切线 MT 的斜率 tan α (其中 α 是切线 MT 的倾角)，即

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \tan \alpha\]

因此，函数 y = f(x) 在点 x₀ 处的导数 f'(x₀) 的几何意义就是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的**切线的斜率**。

说明：

• 如果 f'(x₀) > 0，则切线 MT 的倾角 α 是锐角，表示曲线在点 x₀ 处是上升的。
• 如果 f'(x₀) < 0，则切线 MT 的倾角 α 是钝角，表示曲线在点 x₀ 处是下降的。
• 如果 f'(x₀) = 0，则切线 MT 平行于 x 轴，表示曲线在点 x₀ 处有水平切线。
• 如果 f'(x₀) 不存在，则曲线在点 x₀ 处可能没有切线，或者切线垂直于 x 轴 (此时切线斜率不存在)。

例 2.1.8 求曲线 y = x² 在点 (1, 1) 处的切线方程。

解: 由例 2.1.5 知，f'(x) = 2x，所以曲线在点 (1, 1) 处的切线斜率为 f'(1) = 2。由点斜式方程可知，切线方程为

\[y - 1 = 2(x - 1)\]

即

\[y = 2x - 1\]

例 2.1.9 求曲线 y = sinx 在点 (π, 0) 处的切线方程和法线方程 (法线是过切点且与切线垂直的直线)。

解: 后续例题将会证明 f'(x) = cosx，因此 f'(π) = cosπ = -1。 故切线斜率为 -1，切线方程为

\[y - 0 = -1(x - \pi)\]

即

\[y = -x + \pi\]

由于法线与切线垂直，所以法线斜率为 1。由点斜式方程可知，法线方程为

\[y - 0 = 1(x - \pi)\]

即

\[y = x - \pi\]

2.1.4 导数的物理意义

在 2.1.1 节中，我们从瞬时速度问题引出了导数的概念。事实上，导数可以表示任何一个因变量关于自变量的变化率。在物理学中，导数有着广泛的应用。

如果 s = f(t) 表示做变速直线运动的物体的位移关于时间的函数，那么 f'(t₀) 就表示物体在时刻 t₀ 的**瞬时速度**。

如果 Q = Q(t) 表示某物质的质量关于时间的函数，那么 Q'(t₀) 就表示该物质在时刻 t₀ 的**质量变化率**。

如果 I = I(t) 表示电路中的电流关于时间的函数，那么 I'(t₀) 就表示电路中在时刻 t₀ 的**电流变化率**，即电流强度对时间的导数。

如果 V = V(P) 表示一定温度下气体的体积关于压强的函数 (玻意耳定律)，那么 V'(P₀) 就表示当压强为 P₀ 时，气体体积关于压强的**变化率**。

总之，如果一个函数表示某种物理量关于某个自变量的依赖关系，那么该函数的导数就表示这个物理量关于自变量的**变化率**。

2.1.5 可导与连续的关系

前面我们介绍了导数的概念，也介绍了连续的概念 (将在后面的章节中详细介绍)。现在我们来讨论函数的可导性与连续性之间的关系。

定理 2.1.1 如果函数 y = f(x) 在点 x₀ 处可导，那么函数在该点处必连续。

证明: 设 y = f(x) 在点 x₀ 处可导，即

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)\]

存在。由于

\[\Delta y = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x\]

所以

\[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} (\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x = f'(x_0) \cdot 0 = 0\]

即

\[\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0\]

\[\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)\]

令 x = x₀ + Δx，则 x→x₀，所以

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

因此，函数 y = f(x) 在点 x₀ 处连续。

说明：

• 定理的逆命题不成立，即如果函数 y = f(x) 在点 x₀ 处连续，它在该点处不一定可导。例如，函数 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续，但在该点处不可导 (见例 2.1.7)。
• 可导必连续，但连续不一定可导。
• 函数在某点处的连续性是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件。

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