2.2 求导法则

2.2 求导法则

在 2.1 节中，我们介绍了导数的定义，并用定义计算了一些简单函数的导数。然而，如果每次都用定义来计算导数，将会非常繁琐。为了更方便地求导，我们需要掌握一些常用的求导法则。

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则

定理 2.2.1 如果函数 u(x) 和 v(x) 都在点 x 处可导，那么它们的和、差、积、商 (除分母为零的点外) 也在点 x 处可导，且

1. (和的导数) \(\((u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)\)\)
2. (差的导数) \(\((u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)\)\)
3. (积的导数) \(\((u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)\)
4. (商的导数) \(\((\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \quad (v(x) \neq 0)\)\)

证明：

只证明法则 3 和法则 4，法则 1 和法则 2 的证明类似。

法则 3 的证明：

设 y = u(x)v(x)，则 Δ*y* = u(x + Δx)v(x + Δx) - u(x)v(x)。为了便于书写，记 u = u(x), v = v(x), u₁ = u(x + Δx), v₁ = v(x + Δx)。则有

Δ*y* = u₁v₁ - uv = (u₁v₁ - uv₁) + (uv₁ - uv) = (u₁ - u)v₁ + u(v₁ - v) = Δ*u*·v₁ + u·Δ*v*

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x} \cdot v_1 + u \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x}\]

由于 u(x) 和 v(x) 可导，所以它们都连续。因此，当 Δ*x*→0 时，v₁→v。取极限，得

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v_1 + u \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}\]

即

\[y' = (uv)' = u'v + uv'\]

法则 4 的证明：

设 y = u(x)/v(x)，则 Δ*y* = u(x + Δx)/v(x + Δx) - u(x)/v(x)。仍记 u = u(x), v = v(x), u₁ = u(x + Δx), v₁ = v(x + Δx)。则有

Δ*y* = u₁/v₁ - u/v = (u₁v - uv₁) / (v₁v) = (u₁v - uv - uv₁ + uv) / (v₁v) = (vΔu - uΔv) / (v₁v)

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v \frac{\Delta u}{\Delta x} - u \frac{\Delta v}{\Delta x}}{v_1 v}\]

由于 u(x) 和 v(x) 可导，所以它们都连续。因此，当 Δ*x*→0 时，v₁→v。取极限，得

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} - u \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}}{\lim_{\Delta x \to 0} (v_1 v)}\]

即

\[y' = (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

说明：

• 法则 1 和法则 2 可以合并写成 (u(x) ± v(x) )' = u'(x) ± v'(x)。
• 法则 1 和法则 2 可以推广到有限个函数的情形：(u₁(x) ± u₂(x) ± ... ± u_n(x) )' = u'₁(x) ± u'₂(x) ± ... ± u'_n(x)。
• 法则 3 的文字描述：两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
• 法则 4 的文字描述：两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。

例 2.2.1 求 y = x³ 的导数。

解: y = x³ = x · x²，利用积的求导法则，

\[y' = (x)'x^2 + x(x^2)' = 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x = x^2 + 2x^2 = 3x^2\]

例 2.2.2 求 y = x⁴ 的导数。

解: y = x⁴ = x² · x²，利用积的求导法则，

\[y' = (x^2)'x^2 + x^2(x^2)' = 2x \cdot x^2 + x^2 \cdot 2x = 2x^3 + 2x^3 = 4x^3\]

例 2.2.3 求 y = tanx 的导数。

解: y = tanx = sinx/cosx，利用商的求导法则，

\[y' = \frac{(sinx)'cosx - sinx(cosx)'}{cos^2x}\]

由后面的公式可知 (sin*x*)' = cos*x*, (cos*x*)' = -sin*x*，则有

\[y' = \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot (-sin x)}{cos^2 x} = \frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x} = \frac{1}{cos^2 x} = sec^2 x\]

例 2.2.4 求 y = 3x² + 2x - 5 的导数。

解: 利用和差的求导法则，以及常数与函数的积的求导法则，

\[y' = (3x^2)' + (2x)' - (5)' = 3(x^2)' + 2(x)' - 0 = 3 \cdot 2x + 2 \cdot 1 = 6x + 2\]

例 2.2.5 求 y = (x + 1)(x - 1) 的导数。

解： 利用积的求导法则， \(\(y' = (x+1)'(x-1) + (x+1)(x-1)' = 1 \cdot (x-1) + (x+1) \cdot 1 = x -1 + x + 1 = 2x\)\)

2.2.2 反函数的导数

定理 2.2.2 如果函数 x = f^-1(y) 在区间 I_y 内单调、可导且 f'^-1(y) ≠ 0，那么它的反函数 y = f(x) 在区间 I_x = {x | x = f^-1(y), y ∈ I_y} 内也可导，且

\[[f(x)]' = \frac{1}{f^{-1}(y)}\]

或

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\]

证明： 因为 x = f^-1(y) 单调、可导，所以它连续。根据反函数的性质，它的反函数 y = f(x) 也在区间 I_x 内单调、连续。

给 x 以增量 Δ*x* (Δ*x* ≠ 0)，则对应的函数 y = f(x) 有增量 Δ*y*，由反函数的单调性可知 Δ*y* ≠ 0。于是

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}\]

由于 y = f(x) 连续，所以 Δ*x*→0 时，Δ*y*→0。取极限，得

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}\]

由 f'^-1(y) ≠ 0 可知，\(\(\frac{dx}{dy}\)\) ≠ 0，所以 \(\(\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)\) 有意义。故有

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta y}}\]

即

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\]

或

\[f'(x) = \frac{1}{f^{-1}(y)}\]

说明:

• 反函数的导数等于原函数导数的倒数。
• 这个公式在计算一些反函数的导数时非常有用。

例 2.2.6 求反三角函数 y = arcsin x 的导数。

解: x = sin y 在区间 (-π/2, π/2) 上单调、可导，且 (sin*y*)' = cos*y* ≠ 0，由反函数的求导法则，

\[\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\frac{d}{dy} \sin y} = \frac{1}{\cos y}\]

因为 y ∈ (-π/2, π/2)，所以 cos*y* > 0，cos*y* = √(1 - sin²y) = √(1 - x²)。故

\[(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\]

例 2.2.7 求反三角函数 y = arctan x 的导数。

解: x = tan y 在区间 (-π/2, π/2) 上单调、可导，且 (tan*y*)' = sec²y ≠ 0，由反函数的求导法则，

\[\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{\frac{d}{dy} \tan y} = \frac{1}{\sec^2 y}\]

因为 sec²y = 1 + tan²y = 1 + x²，故

\[(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}\]

2.2.3 复合函数的求导法则 (链式法则)

定理 2.2.3 (链式法则) 如果 u = g(x) 在点 x 可导，而 y = f(u) 在点 u = g(x) 可导，那么复合函数 y = f(g(x)) 在点 x 可导，且其导数为

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

或

\[[f(g(x))]' = f'(u)g'(x) = f'(g(x))g'(x)\]

证明： 因为 y = f(u) 在点 u 可导，所以

\[\lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u)\]

即

\[\frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u) + α\]

其中 α→0 (当 Δ*u*→0)。从而有

Δ*y* = f'(u)Δu + αΔu

上式两边同除以 Δ*x* (Δ*x* ≠ 0)，得

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x} + \alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}\]

由于 u = g(x) 在点 x 可导，所以 u = g(x) 在点 x 连续，因此当 Δ*x*→0 时，有 Δ*u*→0，从而 α→0。取极限，得

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} [f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x} + \alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}] = f'(u) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \alpha \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = f'(u) \cdot g'(x) + 0 \cdot g'(x) = f'(u)g'(x)\]

即

\[\frac{dy}{dx} = f'(u)g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

说明:

• 链式法则表明，复合函数的导数等于外层函数关于内层函数的导数乘以内层函数关于自变量的导数。
• 链式法则可以推广到多个函数复合的情形。例如，如果 y = f(u), u = g(v), v = h(x)，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = f'(u) \cdot g'(v) \cdot h'(x)\]

例 2.2.8 求 y = sin(2x) 的导数。

解: 令 y = sinu, u = 2x，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (\sin u)' \cdot (2x)' = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x)\]

例 2.2.9 求 y = ln(1 + x²) 的导数。

解: 令 y = lnu, u = 1 + x²，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (\ln u)' \cdot (1 + x^2)' = \frac{1}{u} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^2}\]

例 2.2.10 求 y = (x² + 1)¹⁰ 的导数。

解: 令 y = u¹⁰, u = x² + 1，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (u^{10})' \cdot (x^2 + 1)' = 10u^9 \cdot 2x = 20x(x^2 + 1)^9\]

例 2.2.11 求 y = √(1 + cos(2x)) 的导数。

解: 令 y = √u, u = 1 + cosv, v = 2x，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = (\sqrt{u})' \cdot (1 + \cos v)' \cdot (2x)' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-\sin v) \cdot 2 = -\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1 + \cos(2x)}}\]

2.2.4 基本初等函数的导数公式

利用定义、反函数的求导法则和链式法则，我们可以推导出所有基本初等函数的导数公式。这里直接给出这些公式 (可以作为附录放到书的最后)。

1. (C)' = 0 (C 为常数)
2. (x^μ)' = μx^μ-1 (μ 为任意实数)
3. (sinx)' = cosx
4. (cosx)' = -sinx
5. (tanx)' = sec²x
6. (cotx)' = -csc²x
7. (secx)' = secxtanx
8. (cscx)' = -cscxcotx
9. (a^x)' = a^xlna (a > 0, a ≠ 1)
10. (e^x)' = e^x
11. (log_ax)' = 1/(xlna) (a > 0, a ≠ 1)
12. (lnx)' = 1/x
13. (arcsinx)' = 1/√(1 - x²)
14. (arccosx)' = -1/√(1 - x²)
15. (arctanx)' = 1/(1 + x²)
16. (arccotx)' = -1/(1 + x²)

说明:

• 这些公式必须熟记，它们是求导运算的基础。
• 利用这些基本初等函数的导数公式和求导法则，可以求出所有初等函数的导数。

2.2.5 例题选讲

例 2.2.12 求 y = x⁵ + 2^x - lnx 的导数。

解:

\[y' = (x^5)' + (2^x)' - (\ln x)' = 5x^4 + 2^x \ln 2 - \frac{1}{x}\]

例 2.2.13 求 y = x²sinx 的导数。

解:

\[y' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x\]

例 2.2.14 求 y = e^-3x 的导数。

解: 令 y = e^u, u = -3x，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (e^u)' \cdot (-3x)' = e^u \cdot (-3) = -3e^{-3x}\]

例 2.2.15 求 y = ln(cos(x²)) 的导数。

解: 令 y = lnu, u = cosv, v = x²，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = (\ln u)' \cdot (\cos v)' \cdot (x^2)' = \frac{1}{u} \cdot (-\sin v) \cdot 2x = -\frac{2x \sin(x^2)}{\cos(x^2)} = -2x \tan(x^2)\]

例 2.2.16 求 y = x^sinx (x > 0) 的导数。

解: 先将函数改写为 y = e^ln(xsinx) = e^{sinx · lnx}。

令 y = e^u, u = sinx · lnx，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (e^u)' \cdot (\sin x \cdot \ln x)' = e^u \cdot [(\sin x)' \ln x + \sin x (\ln x)'] = x^{\sin x} \cdot (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})\]

例 2.2.17 设 f(x) 可导，求 y = f(e^x) 的导数。

解: 令 y = f(u), u = e^x，则

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (e^x)' = f'(e^x) \cdot e^x = e^x f'(e^x)\]