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2.3 高阶导数

2.3 高阶导数

2.3.1 高阶导数的定义

如果函数 f(x) 的导数 f'(x) 在点 x 处仍然可导，那么我们把 f'(x) 的导数称为函数 f(x) 在点 x 处的**二阶导数**，记作 f''(x) 或 y'' 或 \(\(\frac{d^2y}{dx^2}\)\)。即

\[f''(x) = (f'(x))'\]

类似地，如果二阶导数 f''(x) 仍然可导，那么 f''(x) 的导数称为 f(x) 的**三阶导数**，记作 f'''(x) 或 y''' 或 \(\(\frac{d^3y}{dx^3}\)\)。即

\[f'''(x) = (f''(x))'\]

一般地，如果函数 f(x) 的 n - 1 阶导数 f(n-1)(x) 在点 x 处仍然可导，那么 f(n-1)(x) 的导数称为 f(x) 在点 x 处的 n 阶导数，记作 f(n)(x) 或 y(n) 或 \(\(\frac{d^ny}{dx^n}\)\)。即

\[f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'\]

二阶及二阶以上的导数统称为**高阶导数**。相应地，函数 f(x) 的导数 f'(x) 称为**一阶导数**，函数 f(x) 本身称为**零阶导数**。

说明：

  • 求高阶导数就是多次求导。
  • 如果函数 f(x) 在区间 I 上存在 n 阶导数，则称 f(x) 在区间 I 上 n 阶可导。
  • 求函数的高阶导数时，需要逐阶求导，即先求一阶导数，再求二阶导数，依此类推。
  • 高阶导数的记号中，f(n)(x) 的括号不能省略，例如 f2(x) 通常表示 [f(x)]2。

例 2.3.1 求 f(x) = x3 - 2x2 + x - 1 的各阶导数。

解:

\[f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\]
\[f''(x) = 6x - 4\]
\[f'''(x) = 6\]
\[f^{(4)}(x) = 0\]

以及更高阶的导数均为 0。

例 2.3.2 设 f(x) = e2x，求 f(n)(x)。

解:

\[f'(x) = 2e^{2x}\]
\[f''(x) = 4e^{2x}\]
\[f'''(x) = 8e^{2x}\]

...

一般地，

\[f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}\]

2.3.2 高阶导数的运算法则

如果 u(x) 和 v(x) 都有 n 阶导数，那么

  1. (u ± v)(n) = u(n) ± v(n)
  2. (Cu)(n) = Cu(n) (C 为常数)
  3. (uv)(n) = u(n)v + Cn1u(n-1)v' + Cn2u(n-2)v'' + ... + Cnku(n-k)v(k) + ... + uv(n) (莱布尼茨公式)

其中，Cnk = n! / (k!(n-k)!) 为组合数。

说明：

  • 法则 1 和法则 2 可以推广到有限个函数的情形。
  • 莱布尼茨公式比较复杂，一般只在计算两个函数乘积的较高阶导数时才使用。

例 2.3.3 求 y = x2ex 的 6 阶导数。

解: 利用莱布尼茨公式，

\[y^{(6)} = (x^2)^{(6)}e^x + C_6^1(x^2)^{(5)}(e^x)' + C_6^2(x^2)^{(4)}(e^x)'' + C_6^3(x^2)'''(e^x)''' + C_6^4(x^2)''(e^x)^{(4)} + C_6^5(x^2)'(e^x)^{(5)} + (x^2)(e^x)^{(6)}\]

因为 (x2)(k) 当 k ≥ 3 时为 0，所以

\[y^{(6)} = C_6^4(x^2)''(e^x)^{(4)} + C_6^5(x^2)'(e^x)^{(5)} + (x^2)(e^x)^{(6)} = 15 \cdot 2 \cdot e^x + 6 \cdot 2x \cdot e^x + x^2 e^x = (x^2 + 12x + 30)e^x\]

2.3.3 几个常用高阶导数公式

  1. (xm)(n) = m(m-1)...(m-n+1)xm-n (m 为正整数，n ≤ m)
  2. (xm)(m) = m!
  3. (xm)(n) = 0 (m 为正整数，n > m)
  4. (ax)(n) = ax(lna)n (a > 0)
  5. (ex)(n) = ex
  6. (sinx)(n) = sin(x + nπ/2)
  7. (cosx)(n) = cos(x + nπ/2)
  8. (1/x)(n) = (-1)nn!/xn+1
  9. (lnx)(n) = (-1)n-1(n-1)!/xn

说明：

  • 这些公式可以直接使用，也可以作为练习题来推导。
  • 记住这些常用的高阶导数公式可以提高解题速度。

例 2.3.4 求 f(x) = sinx + cosx 的 100 阶导数。

解:

\[f^{(100)}(x) = (sinx)^{(100)} + (cosx)^{(100)} = \sin(x + 100\pi/2) + \cos(x + 100\pi/2) = \sin(x + 50\pi) + \cos(x + 50\pi) = \sin x + \cos x\]

例 2.3.5 求 f(x) = 1/(x+1) 的 n 阶导数。

解： f(x) = 1/(x+1) = (x+1)-1 f'(x) = -(x+1)-2 f''(x) = 2(x+1)-3 f'''(x) = -6(x+1)-4 ... f(n)(x) = (-1)nn!(x+1)-(n+1) = (-1)nn!/(x+1)n+1