2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
2.4.1 隐函数的导数
隐函数的概念:
在前面的讨论中，我们遇到的函数通常都是以 y = f(x) 的形式给出的，这种形式的函数称为**显函数**。但是，有时函数的自变量和因变量之间的关系是用一个方程 F(x, y) = 0 给出的，我们称这种形式的函数为**隐函数**。
说明:
- 隐函数不一定能化成显函数，例如方程 ey + xy = 1。
- 即使隐函数可以化成显函数，有时也比较困难，例如方程 x3 + y3 - 3axy = 0。
- 在实际问题中，很多函数的自变量和因变量之间的关系都是以隐函数的形式给出的。
隐函数求导方法:
如果方程 F(x, y) = 0 确定了一个隐函数 y = f(x)，我们可以用如下方法求出这个隐函数的导数：
- 方程两边同时对 x 求导。将 y 看作 x 的函数，应用复合函数求导法则。
- 解出 dy/dx。将 dy/dx 看作未知数，解方程得到 dy/dx 的表达式。
例 2.4.1 求由方程 x2 + y2 = a2 所确定的隐函数的导数。
解: 方程两边同时对 x 求导，得
\[2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\]
解出 dy/dx，得
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\]
例 2.4.2 求由方程 ey + xy = 1 所确定的隐函数的导数。
解: 方程两边同时对 x 求导，得
\[e^y \frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 0\]
解出 dy/dx，得
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{e^y + x}\]
例 2.4.3 求由方程 x3 + y3 - 3axy = 0 所确定的隐函数的导数。
解: 方程两边同时对 x 求导，得
\[3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3a(y + x\frac{dy}{dx}) = 0\]
解出 dy/dx，得
\[\frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}\]
例 2.4.4 求由方程 y = x + ln y 所确定的隐函数的导数。
解: 方程两边同时对 x 求导，得
\[\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}\]
解出 dy/dx，得
\[\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y - 1}\]
对数求导法:
对于幂指函数 y = u(x)v(x)，或者某些形式比较复杂的函数，我们可以先取对数，然后再利用隐函数求导法求出导数。这种方法称为**对数求导法**。
例 2.4.5 求 y = xsinx (x > 0) 的导数。
解: 两边取对数，得
\[\ln y = \sin x \ln x\]
两边同时对 x 求导，得
\[\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\]
解出 dy/dx，得
\[\frac{dy}{dx} = y(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}) = x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})\]
例 2.4.6 求 y = √(x(x-1)(x-2)/(x-3)) 的导数。
解: 两边取对数，得
\[\ln y = \frac{1}{2} [\ln x + \ln(x-1) + \ln(x-2) - \ln(x-3)]\]
两边同时对 x 求导，得
\[\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3})\]
解出 dy/dx，得
\[\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3}) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x(x-1)(x-2)}{x-3}} (\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3})\]
2.4.2 由参数方程确定的函数的导数
参数方程的概念:
如果变量 x 和 y 之间的关系是通过一个或几个参数 (例如 t) 来间接表示的，即 x 和 y 都是 t 的函数：
\[\begin{cases}
x = \varphi(t) \\
y = \psi(t)
\end{cases}\]
那么我们称这种表示方法为**参数方程**，其中 t 称为参数。
说明:
- 如果消去参数 t，则参数方程可以化成普通方程 F(x, y) = 0。
- 在某些情况下，将普通方程化成参数方程会给问题带来方便。例如，圆的普通方程为 x2 + y2 = a2，而它的参数方程为 \(\(\begin{cases}
x = a\cos t \\
y = a\sin t
\end{cases}\)\)
- 参数方程在几何和物理中都有广泛的应用。例如，在物理学中，物体的运动轨迹可以用参数方程来表示，其中时间 t 作为参数。
参数方程求导方法:
如果 \(\(\begin{cases}
x = \varphi(t) \\
y = \psi(t)
\end{cases}\)\) 确定了一个 y 与 x 之间的函数关系，且 φ(t) 和 ψ(t) 都可导，φ'(t) ≠ 0，那么
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\]
证明：
将 x = φ(t) 代入 y = f(x) 中，得到 y = f(φ(t))。根据复合函数求导法则，有
\[\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\]
由于 φ'(t) ≠ 0，所以 dx/dt ≠ 0，因此
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\]
说明:
- 即使从参数方程中消去参数 t 比较困难，我们也可以利用上述公式求出导数 dy/dx。
- 如果要求二阶导数，可以将 dy/dx 看作 t 的函数，再利用参数方程求导方法，即
\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}\]
例 2.4.7 设 \(\(\begin{cases}
x = at \\
y = bt^2
\end{cases}\)\) (a > 0, b > 0)，求 dy/dx。
解:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2bt}{a}\]
例 2.4.8 设 \(\(\begin{cases}
x = a\cos t \\
y = a\sin t
\end{cases}\)\) (a > 0)，求 dy/dx 和 d2y/dx2。
解:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a\cos t}{-a\sin t} = -\cot t\]
\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{d}{dt}(-\cot t)}{-a\sin t} = \frac{\csc^2 t}{-a\sin t} = -\frac{1}{a\sin^3 t}\]
例 2.4.9 设 \(\(\begin{cases}
x = \ln(1+t^2) \\
y = t - \arctan t
\end{cases}\)\)，求 dy/dx 和 d2y/dx2。
解:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 - \frac{1}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{\frac{t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{t}{2}\]
\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{t}{2})}{\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{1+t^2}{4t}\]
2.4.3 对数求导法 (补充)
对数求导法在 2.4.1 中已经简要介绍过，这里再补充一个例子进行说明。
例 2.4.10 求 y = xx (x > 0) 的导数。
解: 两边取对数，得
\[lny = xlnx\]
两边同时对 x 求导，得
\[\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = lnx + 1\]
解出 dy/dx，得
\[
\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1), \quad \text{其中} \ y = x^x
\]