2.5 函数的微分

2.5 函数的微分¶

2.5.1 微分的定义¶

在 2.1 节中，我们介绍了导数的概念。导数 f'(x₀) 反映了函数 y = f(x) 在点 x₀ 处的瞬时变化率。当自变量 x 在 x₀ 处取得增量 Δ*x* 时，因变量的增量 Δ*y* 可以分解成两部分：

\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A\Delta x + o(\Delta x)\]

其中 A 是一个与 Δ*x* 无关的常数，o(Δx) 是比 Δ*x* 高阶的无穷小量。第一部分 AΔx 是 Δ*y* 的线性主部，它与 Δ*x* 成正比。第二部分 o(Δx) 是一个比 Δ*x* 更快趋于零的量。

定义 2.5.1 (微分) 设函数 y = f(x) 在点 x₀ 的某个邻域内有定义。如果函数在 x₀ 处的增量 Δ*y = f(x₀ + Δx) - f(x₀)* 可以表示为

\[\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)\]

其中 A 是不依赖于 Δ*x* 的常数，那么称函数 y = f(x) 在点 x₀ 处**可微**，并称 AΔx 为函数 y = f(x) 在点 x₀ 处相应于自变量增量 Δ*x* 的**微分**，记作 dy，即

\[dy = A\Delta x\]

说明:

如果函数在点 x 处可微，那么在点 x 处也连续。
通常把自变量 x 的增量 Δ*x* 称为自变量的微分，记作 dx，即 dx = Δx。于是，函数 y = f(x) 的微分又可记作

\[dy = f'(x)dx\]

当 Δ*x* 很小时，AΔx 是 Δ*y* 的主要部分 (线性主部)，可以用 AΔx 近似代替 Δ*y*，从而把非线性问题局部线性化。
函数 f(x) 在点 x₀ 可微的充分必要条件是函数 f(x) 在点 x₀ 可导，且当 f(x) 在点 x₀ 可微时，其微分一定是 dy = f'(x₀)Δx = f'(x₀)dx。
函数的增量 Δ*y* 与微分 dy 相差一个比 Δ*x* 高阶的无穷小量 o(Δx)。
微分 dy 是自变量增量 Δ*x* 的线性函数。

例 2.5.1 求函数 y = x² 在 x = 1 和 x = 2 处的微分。

解: 因为 y' = 2x，所以

当 x = 1 时，dy = 2xΔx|_x=1 = 2Δx = 2dx。

当 x = 2 时，dy = 2xΔx|_x=2 = 4Δx = 4dx。

例 2.5.2 求函数 y = sinx 的微分。

解: 因为 y' = cosx，所以

\[dy = \cos x dx\]

例 2.5.3 已知 y = x³ - x + 1，求 Δ*y* 和 dy 在 x = 2, Δ*x* = 0.01 时的值。

解: Δ*y* = f(x + Δx) - f(x) = f(2.01) - f(2) = (2.01³ - 2.01 + 1) - (2³ - 2 + 1) = 0.110601

因为 y' = 3x² - 1，所以 dy = (3x² - 1)dx。

当 x = 2, Δ*x* = 0.01 时，dy = (3 · 2² - 1) · 0.01 = 0.11。

2.5.2 微分的几何意义¶

我们知道，导数 f'(x₀) 的几何意义是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率。现在我们来看看微分的几何意义。

在直角坐标系中，设曲线 y = f(x) 在点 M(x₀, y₀) 处的切线为 MT，MQ 是 Δ*x*，RN 是 Δ*y*。过点 M 作 x 轴的平行线 MN，则 MN = Δx = dx。

由导数的几何意义可知，切线 MT 的斜率为 f'(x₀)，因此，切线 MT 的方程为

\[y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\]

当 x = x₀ + Δx 时，切线上对应的纵坐标为 y_T = y₀ + f'(x₀)Δx = f(x₀) + f'(x₀)dx。

于是，切线纵坐标的增量为

\[RT = y_T - y_0 = f'(x_0)dx = dy\]

即 dy 等于曲线 y = f(x) 的切线纵坐标的增量。而 Δ*y* 是曲线 y = f(x) 上点的纵坐标的增量。

图形描述：

画出曲线 y = f(x) 的示意图。
在曲线上取一点 M(x₀, f(x₀))。
过点 M 作曲线的切线 MT。
过点 M 作 x 轴的平行线。
在 x 轴上取 x₀ 右侧一点 x₀ + Δx，过该点作 x 轴的垂线，分别与 x 轴、曲线、切线交于点 Q, N, R。
MQ 的长度为 Δ*x*，也是 dx。
RN 的长度为 Δ*y*。
RT 的长度为 dy。

说明:

当 Δ*x* 很小时，Δ*y* ≈ dy，可以用切线段 RT 的长度近似代替曲线段 RN 的长度。
微分 dy 是曲线 y = f(x) 的切线纵坐标的增量，它是改变量 Δ*y* 的线性主部。

2.5.3 微分运算法则¶

由于微分 dy = f'(x)dx，且 dx 与 x 无关，因此，关于导数的运算法则可以推导出微分的运算法则。

1. 函数和、差、积、商的微分

设 u = u(x), v = v(x) 均可微，则

d(u ± v) = du ± dv
d(uv) = vdu + udv
d(u/v) = (vdu - udv)/v² (v ≠ 0)

2. 常数与函数的积的微分

设 C 为常数，u = u(x) 可微，则

d(Cu) = Cdu

3. 复合函数的微分

设 y = f(u), u = g(x) 均可微，则复合函数 y = f(g(x)) 的微分为

dy = f'(u)du = f'(g(x))g'(x)dx

说明:

复合函数的微分法则表明，无论 u 是自变量还是中间变量，微分形式 dy = f'(u)du 保持不变。这一性质称为**微分形式不变性**。
利用微分的运算法则，可以求出函数的微分。

例 2.5.4 求 y = x³ + 2x - 1 的微分。

解:

\[dy = d(x^3 + 2x - 1) = d(x^3) + d(2x) - d(1) = 3x^2 dx + 2dx = (3x^2 + 2)dx\]

例 2.5.5 求 y = xsinx 的微分。

解:

\[dy = d(x\sin x) = \sin x dx + x d(\sin x) = \sin x dx + x \cos x dx = (\sin x + x \cos x)dx\]

例 2.5.6 求 y = e^2x+1 的微分。

解: 令 u = 2x + 1，则 y = e^u。

\[dy = d(e^u) = e^u du = e^{2x+1} d(2x+1) = e^{2x+1} \cdot 2dx = 2e^{2x+1} dx\]

例 2.5.7 求 y = ln(1 + x²) 的微分。

解:

\[dy = d[\ln(1+x^2)] = \frac{1}{1+x^2} d(1+x^2) = \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x dx = \frac{2x}{1+x^2} dx\]

2.5.4 微分在近似计算中的应用¶

当 |Δ*x*| 很小时，有

\[\Delta y \approx dy\]

即

\[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \Delta x\]

从而有

\[f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x\]

这个公式称为**函数的近似公式**。

利用这个公式，我们可以进行一些近似计算。

例 2.5.8 求 √1.02 的近似值。

解: 设 f(x) = √x, x₀ = 1, Δ*x* = 0.02。因为 f'(x) = 1/(2√x)，所以

\[f(1.02) = f(1 + 0.02) \approx f(1) + f'(1) \cdot 0.02 = \sqrt{1} + \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot 0.02 = 1 + 0.01 = 1.01\]

即 √1.02 ≈ 1.01。

例 2.5.9 求 sin29° 的近似值。

解: 设 f(x) = sinx, x₀ = 30° = π/6, Δ*x* = -1° = -π/180。因为 f'(x) = cosx，所以

\[\sin 29^\circ = f(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{180}) \approx f(\frac{\pi}{6}) + f'(\frac{\pi}{6}) \cdot (-\frac{\pi}{180}) = \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6} \cdot (-\frac{\pi}{180}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.4848\]

说明:

利用近似公式进行近似计算时，x₀ 应取与 x₀ + Δx 接近且 f(x₀) 和 f'(x₀) 容易计算的值。
Δ*x* 的绝对值越小，近似程度越高。