2.6 习题+总结

2.6 习题¶

设 \(f(x) = x^3 - 2x + 1\)，求 \(f'(0)\)，\(f'(1)\)，\(f'(-1)\)。
求下列函数的导数：
1. \(y = 3x^2 + 5x - 2\)
2. \(y = \frac{1}{x^2}\)
3. \(y = \sqrt{x}\)
4. \(y = x^2 \sin x\)
5. \(y = \frac{x}{x^2 + 1}\)
6. \(y = \tan x - \cot x\)
求下列函数的导数：
1. \(y = \sin(3x)\)
2. \(y = \cos(x^2)\)
3. \(y = e^{-x}\)
4. \(y = \ln(1 + x)\)
5. \(y = \arctan(2x)\)
6. \(y = \arcsin(x/2)\)
求下列隐函数的导数 \(\frac{dy}{dx}\)：
1. \(x^2 + y^2 = 4\)
2. \(xy = e^{x+y}\)
3. \(\sin y = x^2 + y\)
求下列参数方程所确定的函数的导数 \(\frac{dy}{dx}\)：
1. \(\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} x = \sin t \\ y = \cos 2t \end{cases}\)
求下列函数的微分：
1. \(y = x^4 - 3x^2 + 2\)
2. \(y = e^x \cos x\)
3. \(y = \ln(x^2 + 1)\)
求曲线 \(y = x^3 - 2x\) 在点 (1, -1) 处的切线方程和法线方程。
利用微分求 \(\sqrt[3]{8.02}\) 的近似值。

设 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处可导，且 \(f(0) = 0\)，求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{x}\)。
求函数 \(y = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\) 的导数。
设 \(f(x)\) 可导，求下列函数的导数：
1. \(y = f(x^2)\)
2. \(y = f(\sin x)\)
3. \(y = f(e^x)\)
4. \(y = f(f(x))\)
求由方程 \(x^3 + y^3 - 3xy = 0\) 所确定的隐函数的导数 \(\frac{dy}{dx}\)。
设 \(\begin{cases} x = \ln(1+t^2) \\ y = t - \arctan t \end{cases}\)，求 \(\frac{dy}{dx}\) 和 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
求下列函数的高阶导数：
1. \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)，求 \(y^{(4)}\)
2. \(y = e^{-2x}\)，求 \(y^{(n)}\)
3. \(y = \sin x + \cos x\)，求 \(y^{(10)}\)
利用微分求 \(\sin 31^\circ\) 的近似值。

设 \(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\)，证明：\(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处可导，但 \(f'(x)\) 在 \(x = 0\) 处不连续。
设 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 的邻域内有定义，\(f(0) = 0\)，且 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1\)，证明：\(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处可导，且 \(f'(0) = 1\)。
设 \(u = f(x)\) 具有二阶导数，且 \(f''(x) \neq 0\)。又设 \(x = \varphi(u)\) 是 \(u = f(x)\) 的反函数，证明：\(\(\frac{d^2x}{du^2} = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}\)\)
利用对数求导法求下列函数的导数：
1. \(y = x^{\sqrt{x}}\)
2. \(y = (\sin x)^{\cos x}\)
证明：双曲线 \(xy = a^2\) 上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数。

本章我们学习了导数与微分的概念、性质和计算方法。导数反映了函数在某一点的瞬时变化率，微分是函数增量的线性主部。

2.1 导数的概念

问题的提出: 从瞬时速度和切线斜率两个实际问题引出导数的概念。
导数的定义: \(\(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)\)
单侧导数: 左导数和右导数。函数在一点可导的充要条件是左右导数存在且相等。
导数的几何意义: 曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率。
导数的物理意义: 表示因变量关于自变量的变化率。例如，位移关于时间的导数是瞬时速度。
可导与连续的关系: 可导必连续，但连续不一定可导。

2.2 求导法则

函数和、差、积、商的求导法则:
1. \((u \pm v)' = u' \pm v'\)
2. \((uv)' = u'v + uv'\)
3. \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) (v ≠ 0)
反函数的导数: \(\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}\)\)
复合函数的求导法则 (链式法则): \(\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)\)
基本初等函数的导数公式: 需要熟记 16 个基本初等函数的导数公式。

2.3 高阶导数

高阶导数的定义: 导数的导数称为二阶导数，依此类推。
高阶导数的运算法则:
1. \((u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}\)
2. \((Cu)^{(n)} = Cu^{(n)}\)
3. \((uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}\) (莱布尼茨公式)
几个常用高阶导数公式: 需要熟记几个常用函数的高阶导数公式。

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

隐函数的导数: 方程两边同时对 x 求导，然后解出 dy/dx。
对数求导法: 对于幂指函数或某些形式复杂的函数，可以先取对数，再利用隐函数求导法。
由参数方程确定的函数的导数: \(\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)\) \(\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}\)\)

2.5 函数的微分

学习建议