3.1 微分中值定理

3.1 微分中值定理¶

微分中值定理是微分学中的一系重要定理，它们建立了函数值与导数值之间的联系，是研究函数性质的重要工具。

3.1.1 罗尔定理¶

定理 3.1.1 (罗尔定理) 如果函数 f(x) 满足以下条件：

在闭区间 [a, b] 上连续；
在开区间 (a, b) 内可导；
在区间端点处的函数值相等，即 f(a) = f(b)；

那么在 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使得 f'(ξ) = 0。

证明: 由于 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，所以 f(x) 在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m。

情况 1: 若 M = m，则 f(x) 在 [a, b] 上恒为常数，从而对任意 x ∈ (a, b)，都有 f'(x) = 0。任取 ξ ∈ (a, b)，都有 f'(ξ) = 0。
情况 2: 若 M > m，因为 f(a) = f(b)，所以最大值 M 和最小值 m 至少有一个在 (a, b) 内取得。不妨设 f(x) 在 ξ ∈ (a, b) 处取得最大值 M，即 f(ξ) = M。

对于任意 x ∈ (a, b)，有 f(x) ≤ f(ξ)。
- 若 x > ξ，则 $\(\frac{f(x) - f(ξ)}{x - ξ} ≤ 0$\)，所以 $\(f'_+(ξ) = \lim_{x \to ξ^+} \frac{f(x) - f(ξ)}{x - ξ} ≤ 0$\)。
- 若 x < ξ，则 $\(\frac{f(x) - f(ξ)}{x - ξ} ≥ 0$\)，所以 $\(f'_-(ξ) = \lim_{x \to ξ^-} \frac{f(x) - f(ξ)}{x - ξ} ≥ 0$\)。
因为 f(x) 在 ξ 处可导，所以 f'₊(ξ) = f'_-(ξ) = f'(ξ)。从而必有 f'(ξ) = 0。同理可证 f(x) 在 ξ ∈ (a, b) 处取得最小值 m 的情形。

几何意义:

罗尔定理的几何意义是：如果一段连续光滑的曲线 y = f(x)，其两端点的高度相等，且除了端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，那么在这段曲线上至少有一点 C，曲线在 C 点处的切线是水平的 (参见下图)。

      |
      |    f(x)
      |   ~~~~~~
      |  /      \ 
  f(a)| /        \
      |/          \
      |------------o---------o-----> x
      a           ξ         b
      C 点处的切线水平

说明:

罗尔定理的三个条件缺一不可。
- 如果函数在 [a, b] 上不连续，例如： $\(f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases}$\) 在 [0, 1] 上不满足罗尔定理的结论。
- 如果函数在 (a, b) 内不可导，例如 f(x) = |x| 在 [-1, 1] 上不满足罗尔定理的结论。
- 如果 f(a) ≠ f(b)，例如 f(x) = x 在 [0, 1] 上不满足罗尔定理的结论。
罗尔定理中的 ξ 不一定唯一。例如 f(x) = sinx 在 [0, 2π] 上满足罗尔定理，且在 (0, 2π) 内有两点 ξ₁ = π/2 和 ξ₂ = 3π/2 使得 f'(ξ) = 0。
罗尔定理中的条件是充分的，但不是必要的。例如 f(x) = x³ 在 [-1, 1] 上不满足 f(a) = f(b)，但在 (-1, 1) 内存在 ξ = 0，使得 f'(ξ) = 0。

例 3.1.1 验证函数 f(x) = x² - 2x - 3 在区间 [-1, 3] 上满足罗尔定理，并求出定理中的 ξ。

解: f(x) 是多项式函数，在 [-1, 3] 上连续，在 (-1, 3) 内可导，且 f(-1) = f(3) = 0，所以 f(x) 在 [-1, 3] 上满足罗尔定理。

令 f'(x) = 2x - 2 = 0，解得 x = 1。因此，ξ = 1 ∈ (-1, 3)。

例 3.1.2 验证函数 f(x) = lnx - x + 1 在区间 [1, e] 上满足罗尔定理，并求出定理中的 ξ。

解: f(x) 在 [1, e] 上连续，在 (1, e) 内可导，且 f(1) = f(e) = 0，所以 f(x) 在 [1, e] 上满足罗尔定理。

令 f'(x) = 1/x - 1 = 0，解得 x = 1。但 x = 1 是区间端点。注意到 f(x) 在 [1, e] 上恒为 0 只能取到最大值和最小值 0，因此根据罗尔定理证明中情况 1 的讨论，任取 ξ ∈ (1, e) 均有 f'(ξ) = 0。

例 3.1.3 证明方程 x³ - 3x + c = 0 (c 为常数) 在 [0, 1] 上不可能有两个不同的实根。

证明: (反证法) 假设方程在 [0, 1] 上有两个不同的实根 x₁ 和 x₂，且 x₁ < x₂。令 f(x) = x³ - 3x + c，则 f(x) 在 [x₁, x₂] 上连续，在 (x₁, x₂) 内可导，且 f(x₁) = f(x₂) = 0。由罗尔定理，至少存在一点 ξ ∈ (x₁, x₂) ⊂ (0, 1)，使得 f'(ξ) = 3ξ² - 3 = 0。解得 ξ = ±1，这与 ξ ∈ (0, 1) 矛盾。因此，方程 x³ - 3x + c = 0 在 [0, 1] 上不可能有两个不同的实根。

3.1.2 拉格朗日中值定理¶

罗尔定理要求函数在区间的两个端点处的函数值相等，这是一个比较特殊的条件。如果去掉这个条件，我们便得到更具一般性的**拉格朗日中值定理**。

定理 3.1.2 (拉格朗日中值定理) 如果函数 f(x) 满足以下条件：

在闭区间 [a, b] 上连续；
在开区间 (a, b) 内可导；

那么在 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使得

\[f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

证明: 考虑如下辅助函数

\[g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\]

显然，g(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且

\[g(a) = f(a)\]

\[g(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) = f(a)\]

即 g(a) = g(b)。因此，g(x) 在 [a, b] 上满足罗尔定理的条件，所以在 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使得 g'(ξ) = 0。

由于

\[g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

所以

\[g'(ξ) = f'(ξ) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0\]

即

\[f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

几何意义:

拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一段连续光滑的曲线 y = f(x)，除了端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，那么在这段曲线上至少有一点 C，曲线在 C 点处的切线平行于两端点的连线 AB (参见下图)。

    |
    |    f(x)
    |   ~~~~~~
    |  /      \
  f(b)| /        \
    |/          \
f(a)|/            \
    |------------o---------o-----> x
    a           ξ         b
       C 点处的切线平行于 AB

说明:

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形 (当 f(a) = f(b) 时)。
拉格朗日中值定理中的 ξ 不一定唯一。
拉格朗日中值定理的条件是充分的，但不是必要的。
拉格朗日中值定理中的等式也可以改写成 $\(f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)$\) 或 $\(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta \Delta x) \Delta x$\) 其中 x₀ ∈ (a, b)，Δ*x* 是 x 的增量，θ 是一个介于 0 和 1 之间的数。

例 3.1.4 证明对任意 x₁, x₂ ∈ R，有 |sin*x₂* - sin*x₁| ≤ |*x₂ - x₁|。

证明: 设 f(x) = sinx，f(x) 在任意闭区间 [*x₁, *x₂] 上连续，在 (x₁, x₂) 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (x₁, x₂)，使得

\[f(x_2) - f(x_1) = f'(ξ)(x_2 - x_1)\]

即

\[\sin x_2 - \sin x_1 = \cos ξ (x_2 - x_1)\]

由于 |cos*ξ*| ≤ 1，所以

\[|\sin x_2 - \sin x_1| = |\cos ξ||x_2 - x_1| ≤ |x_2 - x_1|\]

例 3.1.5 设 a > b > 0，n > 1，证明：na^n-1(a-b) > aⁿ - bⁿ > nb^n-1(a-b)。

证明: 设 f(x) = xⁿ，则 f(x) 在 [b, a] 上连续，在 (b, a) 内可导，且 f'(x) = nx^n-1。由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (b, a)，使得

\[f(a) - f(b) = f'(ξ)(a - b)\]

即

\[a^n - b^n = nξ^{n-1}(a - b)\]

由于 a > ξ > b > 0 且 n > 1，所以 a^n-1 > ξ^n-1 > b^n-1，因此

\[na^{n-1}(a-b) > nξ^{n-1}(a-b) > nb^{n-1}(a-b)\]

即

\[na^{n-1}(a-b) > a^n - b^n > nb^{n-1}(a-b)\]

例 3.1.6 (用拉格朗日中值定理证明函数单调性的一个例子) 证明：当 x > 1 时，e^x > ex。

证明: 令 f(t) = e^t - et，则 f(1) = 0。当 t > 1 时，由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (1, t)，使得

\[f(t) - f(1) = f'(ξ)(t-1)\]

即

\[e^t - et - 0 = (e^ξ - e)(t-1)\]

由于 ξ > 1，e^ξ > e，又 t > 1，所以 (e^ξ - e)(t-1) > 0。

因此，当 t > 1 时，e^t - et > 0，即 e^t > et。将 t 换成 x，即得当 x > 1 时，e^x > ex。

3.1.3 柯西中值定理¶

拉格朗日中值定理将函数值的差 f(b) - f(a) 与导数值 f'(ξ) 联系起来。如果我们将两个函数值的差相比，是否能得到类似的结论呢？答案是肯定的，这就是我们要介绍的**柯西中值定理**。

定理 3.1.3 (柯西中值定理) 如果函数 f(x) 及 g(x) 满足以下条件：

在闭区间 [a, b] 上连续；
在开区间 (a, b) 内可导；
对任意 x ∈ (a, b)，g'(x) ≠ 0；

那么在 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使得

\[\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}\]

证明: 考虑如下辅助函数

\[F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[g(x) - g(a)]\]

首先，由 g'(x) ≠ 0 以及拉格朗日中值定理可知 g(b) - g(a) = g'(η)(b-a) ≠ 0，所以 F(x) 的定义式是有意义的。

显然，F(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且

\[F(a) = f(a)\]

\[F(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[g(b) - g(a)] = f(a)\]

即 F(a) = F(b)。因此，F(x) 在 [a, b] 上满足罗尔定理的条件，所以在 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使得 F'(ξ) = 0。

由于

\[F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g'(x)\]

所以

\[F'(ξ) = f'(ξ) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g'(ξ) = 0\]

由于 g'(ξ) ≠ 0，所以

\[\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}\]

说明:

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。当 g(x) = x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
柯西中值定理中的 ξ 不一定唯一。
柯西中值定理的条件是充分的，但不是必要的。
柯西中值定理中的等式表明：两个函数增量之比等于它们导数之比，且是在同一点 ξ 处取值。

几何意义:

可以将函数 f(x) 和 g(x) 看作一个参数方程

\[\begin{cases} x = g(t) \\ y = f(t) \end{cases}\]

其中 t ∈ [a, b]。那么柯西中值定理的几何意义是：在曲线 $\(\begin{cases} x = g(t) \\ y = f(t) \end{cases}$\) 上至少存在一点 (g(ξ), f(ξ))，该点处的切线斜率 $\(\frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}$\) 等于连接曲线两端点 (g(a), f(a)) 和 (g(b), f(b)) 的弦的斜率 $\(\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$\)。

例 3.1.7 设 f(x) 和 g(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，证明：存在 ξ ∈ (a, b)，使得

\[f'(ξ)[g(b) - g(a)] = g'(ξ)[f(b) - f(a)]\]

证明: 若 g(b) = g(a)，则由罗尔定理，存在 ξ ∈ (a, b)，使得 g'(ξ) = 0，此时命题显然成立。

若 g(b) ≠ g(a)，则由柯西中值定理，存在 ξ ∈ (a, b)，使得

\[\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}\]

由于 g(b) ≠ g(a)，所以 g'(ξ) ≠ 0。因此，

\[f'(ξ)[g(b) - g(a)] = g'(ξ)[f(b) - f(a)]\]

例 3.1.8 设函数 f(x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，且 f(0) = 0, f(1) = 1。证明：对于任意正数 a 和 b，存在 ξ, η ∈ (0, 1)，使得

\[\frac{a}{f'(ξ)} + \frac{b}{f'(η)} = a + b\]

证明: 令 g(x) = ax + b(1-x)，则 g(0) = b > 0, g(1) = a > 0。由题意和拉格朗日中值定理，有：

\[f(1) - f(0) = f'(η)(1-0) = 1\]

\[η ∈ (0, 1)\]

取 x₀ ∈ (0, 1) 使得 g(x₀) = ax₀ + b(1-x₀) ∈ (0, 1)，即 0 < ax₀ + b(1-x₀) < 1。由于 f(x) 在 [0, x₀] 和 [x₀, 1] 上连续，在 (0, x₀) 和 (x₀, 1) 内可导，于是由柯西中值定理，分别存在 ξ ∈ (0, x₀) 和 η ∈ (x₀, 1)，使得

\[\frac{f(x_0) - f(0)}{g(x_0) - g(0)} = \frac{f'(ξ)}{g'(ξ)} \Rightarrow \frac{f(x_0)}{ax_0} = \frac{f'(ξ)}{a-b}$$ $$\frac{f(1) - f(x_0)}{g(1) - g(x_0)} = \frac{f'(η)}{g'(η)} \Rightarrow \frac{1-f(x_0)}{b(1-x_0)} = \frac{f'(η)}{a-b}\]

两式相加，得到： $\(\frac{f(x_0)}{ax_0} + \frac{1-f(x_0)}{b(1-x_0)} = \frac{f'(ξ)}{a-b} + \frac{f'(η)}{a-b}$\)

化简得到：

$\(\frac{a}{f'(ξ)} + \frac{b}{f'(η)} = a+b$\)¶

3.1.4 泰勒中值定理 (选学)¶

引言:

泰勒中值定理是微分学中的一个重要定理，它将函数在一个点的某个邻域内的值与该点处的函数值及其各阶导数值联系起来。可以认为泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。泰勒公式也是数学分析中一个常用的工具，在近似计算、数值分析、极限计算等方面都有广泛的应用。

定理 3.1.4 (泰勒中值定理) 如果函数 f(x) 在 x₀ 的某个邻域 U(x₀) 内具有 n + 1 阶导数，那么对任意 x ∈ U(x₀)，存在 x₀ 与 x 之间的一个数 ξ，使得

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)\]

其中

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}\]

称为**拉格朗日余项**。

说明:

上述公式称为 f(x) 在 x₀ 处的 n 阶泰勒公式。
如果令 x - x₀ = h，则泰勒公式可写成

\[f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n + \frac{f^{(n+1)}(x_0 + θh)}{(n+1)!}h^{n+1}\]

其中 0 < θ < 1。 * 当 n = 0 时，泰勒公式退化成拉格朗日中值定理的形式：

\[f(x) = f(x_0) + f'(ξ)(x - x_0)\]

即

$\(f(x) - f(x_0) = f'(ξ)(x - x_0)$\) * 当 n = 1 时，泰勒公式为：

$\(f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(ξ)}{2!}(x - x_0)^2$\) * 当 x₀ = 0 时，泰勒公式变成

\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(θx)}{(n+1)!}x^{n+1}\]

这个公式称为 麦克劳林公式。

余项的几种不同形式:

除了拉格朗日余项外，还有其他几种常用的余项形式：

佩亚诺余项: 如果 f(x) 在 x₀ 处有 n 阶导数，那么泰勒公式可以写成

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)\]

其中 o((x - x₀)ⁿ) 是比 (x - x₀)ⁿ 高阶的无穷小量。
柯西余项:

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + θ(x-x_0))}{n!}(1 - θ)^n (x - x_0)^{n+1}\]

其中 0 < θ < 1。
积分余项:

\[R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt\]

说明:

不同的余项形式适用于不同的场合。在近似计算中，拉格朗日余项可以用来估计误差；在极限计算中，佩亚诺余项比较方便；在理论研究中，积分余项也有重要的作用。

泰勒公式的证明 (利用多次柯西中值定理):

为方便起见，我们证明 x > x₀ 的情形，x < x₀ 的情形可类似证明。

考虑函数

\[F(t) = f(x) - f(t) - f'(t)(x-t) - \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2 - ... - \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n\]

和

\[G(t) = (x-t)^{n+1}\]

则 F(x) = 0, G(x) = 0。F(t) 和 G(t) 在 [x₀, x] 上满足柯西中值定理的条件，因此存在 ξ₁ ∈ (x₀, x)，使得

\[\frac{F(x) - F(x_0)}{G(x) - G(x_0)} = \frac{F'(ξ_1)}{G'(ξ_1)}\]

即

\[\frac{-F(x_0)}{-(x-x_0)^{n+1}} = \frac{F'(ξ_1)}{-(n+1)(x-ξ_1)^n}\]

化简得

\[F(x_0) = \frac{F'(ξ_1)}{(n+1)}(x-x_0)^{n+1} (x-ξ_1)^{-n}\]

由于

\[F'(t) = - \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^n\]

所以

\[F(x_0) = \frac{f^{(n+1)}(ξ_1)}{(n+1)n!}(x-x_0)^{n+1} (x-ξ_1)^{-n} (x-ξ_1)^n = \frac{f^{(n+1)}(ξ_1)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]

注意到 F(x₀) = R_n(x)，所以

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ_1)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]

取 ξ = ξ₁，即得拉格朗日余项。

泰勒公式的应用:

1. 近似计算

利用泰勒公式 (通常取前几项)，可以近似计算函数值。

例 3.1.9 求 e 的近似值，精确到 10^-6。

解: 取 f(x) = e^x，在 x₀ = 0 处展开，得到麦克劳林公式：

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^{θx}}{(n+1)!}x^{n+1}\]

令 x = 1，则

\[e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} + \frac{e^θ}{(n+1)!}\]

余项为

\[R_n(1) = \frac{e^θ}{(n+1)!}\]

由于 0 < θ < 1，所以 e^θ < e < 3，因此

\[|R_n(1)| < \frac{3}{(n+1)!}\]

要使 |R_n(1)| < 10^-6，只需

\[\frac{3}{(n+1)!} < 10^{-6}\]

即

\[(n+1)! > 3 \times 10^6\]

取 n = 9 即可。此时

\[e ≈ 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{9!} ≈ 2.7182815\]

例 3.1.10 求 sin1 的近似值，精确到 0.005。

解: 取 f(x) = sinx，在 x₀ = 0 处展开，得到麦克劳林公式：

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + R_{2n}(x)\]

其中

\[R_{2n}(x) = \frac{\sin(θx + (2n+1)\pi/2)}{(2n+1)!} x^{2n+1}\]

由于 |sin(θx + (2*n*+1)π/2)| ≤ 1，所以

\[|R_{2n}(x)| ≤ \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\]

令 x = 1，则

\[|R_{2n}(1)| ≤ \frac{1}{(2n+1)!}\]

要使 |R_2n(1)| < 0.005，只需

\[\frac{1}{(2n+1)!} < 0.005\]

即

\[(2n+1)! > 200\]

取 n = 3 即可。此时

\[\sin 1 ≈ 1 - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} = 1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} ≈ 0.84167\]

2. 求极限

利用带有佩亚诺余项的泰勒公式，可以求一些复杂函数的极限。

例 3.1.11 求 $\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$\)。

解: 将 e^x 在 x₀ = 0 处展开到二阶，得到

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\]

所以

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2}) = \frac{1}{2}\]

例 3.1.12 求 $\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$\)。

解: 将 sin*x* 在 x₀ = 0 处展开到三阶，得到

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)\]

所以

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} (-\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3}) = -\frac{1}{6}\]

3. 研究函数的性质

利用泰勒公式，可以研究函数的单调性、凹凸性、极值等性质。

4. 证明不等式

利用泰勒公式，可以证明一些不等式。

例 3.1.13 证明：当 x > 0 时，ln(1 + x) < x。

证明: 设 f(x) = ln(1 + x)，在 x₀ = 0 处展开到一阶，得到

\[\ln(1+x) = \ln(1+0) + \frac{1}{1+0}(x-0) + \frac{f''(ξ)}{2!}x^2 = x + \frac{f''(ξ)}{2}x^2\]

其中 ξ 介于 0 和 x 之间。由于 f''(x) = -1/(1+x)²，所以 f''(ξ) = -1/(1+ξ)² < 0。

当 x > 0 时，R₁(x) = f''(ξ)x²/2 < 0，因此

\[\ln(1+x) = x + R_1(x) < x\]

几个常用的麦克劳林公式:

在结束本节之前，我们列出几个常用的麦克劳林公式 (带佩亚诺余项)，它们可以直接使用：

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)\]
\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n})\]
\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})\]
\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)\]
\[(1+x)^α = 1 + αx + \frac{α(α-1)}{2!}x^2 + ... + \frac{α(α-1)...(α-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)\]

3.1 微分中值定理