3.10 习题

3.10 习题

3.10.1 基础题

1. 验证函数 f(x) = x² - 4x + 3 在区间 [1, 3] 上满足罗尔定理，并求出定理中的 ξ。
2. 验证函数 f(x) = ln(x+1) - x 在区间 [0, 1] 上满足拉格朗日中值定理，并求出定理中的 ξ。
3. 对函数 f(x) = sinx 和 g(x) = x 在区间 [0, π/2] 上验证柯西中值定理。

4. 利用洛必达法则求下列极限：

   1. \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}\]
   2. \[\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}\]
   3. \[\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\]
   4. \[\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x\]
   5. \[\lim_{x \to 1} (\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1})\]
   6. \[\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}\]

   7. 判定下列函数的单调性，并求出单调区间：

   8. f(x) = x³ - 3x² + 2

   9. f(x) = xe^-x
   10. f(x) = lnx/x

   11. 求下列函数的极值：

   12. f(x) = x⁴ - 4x³

   13. f(x) = e^x - x - 1
   14. f(x) = x²/lnx

   15. 判定下列函数的凹凸性，并求出拐点：

   16. f(x) = x³ - 3x² + 2

   17. f(x) = xe^-x
   18. f(x) = arctanx
   19. 求函数 f(x) = x² - 4x + 5 在 [-1, 3] 上的最值。
   20. 求函数 f(x) = |x-1| 在 [0, 2] 上的最值。
   21. 求曲线 y = xe^-x 的渐近线。

   22. 描绘下列函数的图形：

   23. y = x⁴ - 2x²

   24. y = x/(1+x²)
   25. y = e^-x2
   26. 求曲线 y = x² 在点 (1, 1) 处的曲率和曲率半径。
   27. 求曲线 \(\(\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases}\)\) 在 t = 1 处的曲率。
   28. 设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P，其中 P 为价格，Q 为需求量。求 P = 10 时的需求价格弹性。

3.10.2 提高题

1. 证明：方程 x⁵ + x - 1 = 0 只有一个正实根。
2. 设 f(x) 在 [*a*, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0, f'₊(a)f'_-(b) > 0。证明：存在 ξ ∈ (a, b)，使得 f'(ξ) = 0。
3. 设 f(x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，且 f(0) = 0, f(1) = 1。证明：存在 ξ, η ∈ (0, 1)，使得 f'(ξ) + f'(η) = 2。
4. 利用拉格朗日中值定理证明：当 x > 0 时，\(\(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x\)\)。
5. 利用泰勒公式求 \(\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3}\)\)。
6. 利用泰勒公式证明：e^x ≥ 1 + x 对任意 x ∈ R 成立。
7. 设 f(x) 在 x = 0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且 \(\(\lim_{x \to 0} (\frac{f(x)}{x^2} - \frac{1}{x}) = 0\)\)。求 f(0), f'(0) 和 f''(0)。
8. 求抛物线 y² = 2x 上的点到直线 x - y + 4 = 0 的最短距离。
9. 求内接于半径为 R 的球且底面为正方形的长方体的最大体积。
10. 描绘函数 y = x + lnx 的图形。
11. 用牛顿法求方程 x - 0.5sinx = 1 在 x₀ = 1.5 附近的根 (精确到 0.001)。
12. 某厂生产某种产品 x (百台) 的总成本 C(x) (万元) 是 x 的函数 C(x) = 100 + 4x + x²/2，产品的销售价格 P (万元/百台) 与 x 的关系为 P = 50 - x/2。求使该厂获得最大利润的产量。

3.10.3 挑战题

1. 设 f(x) 在 [*a*, b] 上二阶可导，且 f''(x) ≠ 0。证明：存在 ξ ∈ (a, b)，使得

   \(\(\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f'(a) + f'(b)}{2} + \frac{1}{2} f''(ξ)(b - a)^2\)\) 2. 设 f(x) 在 [*a*, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。证明：对任意实数 λ，存在 ξ ∈ (a, b)，使得

   \(\(f'(ξ) = λf(ξ)\)\) 3. 设 f(x) 在 [0, 1] 上二阶可导，且 f(0) = f(1) = 0，\(\(\min_{0≤x≤1} f(x) = -1\)\)。证明：

   \(\(\max_{0≤x≤1} f''(x) ≥ 8\)\) 4. 设函数 f(x) 和 g(x) 在 [*a*, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，且 f(a) = f(b) = g(a) = g(b) = 0。证明：存在 ξ ∈ (a, b)，使得

   \(\(f''(ξ)g(ξ) - 2f'(ξ)g'(ξ) + f(ξ)g''(ξ) = 0\)\) 5. 设 f(x) 在 [0, +∞) 上二阶可导，且 f(0) = 1, f'(0) = -1，f''(x) ≥ f(x) 对任意 x ≥ 0 成立。证明：当 x > 0 时，f(x) < e^-x。 6. 设 f(x) 在 [0, 1] 上具有连续的二阶导数，且 f(0) = f(1) = 0。证明：

   \[|\int_0^1 f(x) dx| ≤ \frac{1}{12} \max_{0≤x≤1} |f''(x)|\]