3.6 函数图形的描绘

3.6 函数图形的描绘

利用前面几节学过的工具，我们可以更准确地描绘出函数的图形。

3.6.1 渐近线

渐近线的概念:

当曲线上的一动点沿着曲线无限远离原点时，如果它与一条定直线的距离趋于零，那么这条定直线就称为这条曲线的**渐近线**。

渐近线的类型:

1. 水平渐近线: 如果 \(\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = b\)\) 或 \(\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = b\)\)，那么直线 y = b 是曲线 y = f(x) 的一条水平渐近线。
2. 铅直渐近线: 如果 \(\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty\)\) 或 \(\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty\)\)，那么直线 x = x₀ 是曲线 y = f(x) 的一条铅直渐近线。
3. 斜渐近线: 如果 \(\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0\)\) 且 \(\(\lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = b\)\)，那么直线 y = ax + b 是曲线 y = f(x) 的一条斜渐近线。

说明:

• 一个函数的图形可以有多条渐近线。
• 如果 \(\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0\)\) 存在，但 \(\(\lim_{x \to \infty} [f(x) - ax]\)\) 不存在，那么 y = f(x) 没有斜渐近线。
• 如果 \(\(\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty\)\)，那么 x = x₀ 是铅直渐近线。

例 3.6.1 求函数 f(x) = 1/x 的渐近线。

解: \(\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\)\)，\(\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\)\)，所以 x = 0 是铅直渐近线。

\(\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)\)，\(\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)\)，所以 y = 0 是水平渐近线。

例 3.6.2 求函数 f(x) = (x² + 1)/x 的渐近线。

解: \(\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\)\)，\(\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\)\)，所以 x = 0 是铅直渐近线。

\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1\]

\[\lim_{x \to \infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 + 1}{x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\]

所以 y = x 是斜渐近线。

例 3.6.3 求函数 f(x) = x + 1/x + e^-x 的渐近线。

解: \(\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\)\)，\(\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\)\)，所以 x = 0 是铅直渐近线。

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$，$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x^2} - \frac{e^{-x}}{x}) = 1\]

\[\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{x} + e^{-x}) = 0\]

所以 y = x 是当 x→+∞ 时的斜渐近线。

\[\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x^2} - \frac{e^{-x}}{x}) = -\infty\]

所以当 x→-∞ 时没有斜渐近线。

3.6.2 函数作图的一般步骤

1. 确定函数的定义域 D，并考察其奇偶性、周期性等。
2. 求出 f'(x) 和 f''(x)。
3. 求出 f'(x) = 0 的根 (驻点) 和 f''(x) = 0 的根，以及 f'(x) 和 f''(x) 不存在的点。
4. 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点 (通常列表进行)。
5. 确定渐近线。
6. 计算一些特殊点 (例如与坐标轴的交点，渐近线相关的点) 的函数值。
7. 作图。

例 3.6.4 作函数 f(x) = x³ - 3x 的图形。

解:

1. 定义域为 R，且 f(x) 是奇函数。
2. f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1), f''(x) = 6x。
3. 令 f'(x) = 0，解得 x₁ = -1, x₂ = 1；令 f''(x) = 0，解得 x = 0。
4. 列表讨论：

x	(-∞, -1)	-1	(-1, 0)	0	(0, 1)	1	(1, +∞)
f'(x)	+	0	-		-	0	+
f''(x)	-		-	0	+		+
f(x)	↗ 凹	极大值 2	↘ 凹	拐点 (0, 0)	↘ 凸	极小值 -2	↗ 凸

1. f(x) 没有渐近线。
2. f(0) = 0, f(-1) = 2, f(1) = -2。

作图 (略)。

例 3.6.5 作函数 f(x) = x + 1/x 的图形。

解:

1. 定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。f(x) 是奇函数。
2. f'(x) = 1 - 1/x² = (x - 1)(x + 1)/x², f''(x) = 2/x³。
3. 令 f'(x) = 0，解得 x₁ = -1, x₂ = 1；x = 0 是 f(x), f'(x), f''(x) 的无定义点。
4. 列表讨论：

x	(-∞, -1)	-1	(-1, 0)	0	(0, 1)	1	(1, +∞)
f'(x)	+	0	-		-	0	+
f''(x)	-		-		+		+
f(x)	↗ 凹	极大值 -2	↘ 凹		↘ 凸	极小值 2	↗ 凸

1. x = 0 是铅直渐近线，y = x 是斜渐近线。
2. f(-1) = -2, f(1) = 2。

作图 (略)。