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3.7 方程的近似求解 (选学)

3.7 方程的近似求解 (选学)

在科学研究和工程技术中，经常会遇到方程求根的问题。对于一些简单的方程，例如一元二次方程，我们可以用公式求解。但是对于更复杂的方程，例如高次代数方程或者超越方程，往往不存在求根公式，或者求根公式非常复杂难以应用。这时就需要利用数值方法来求方程的近似解。

3.7.1 二分法

基本思想:

设 f(x) 在 [*a*, b] 上连续，且 f(a)f(b) < 0，根据零点定理，方程 f(x) = 0 在 (a, b) 内至少有一个实根。二分法的基本思想是：通过不断地将区间 [*a*, b] 分成两半，并判断根在哪一半，逐步缩小根所在的区间，从而得到一个近似解。

具体步骤:

  1. 取区间中点 x0 = (a + b)/2，并计算 f(x0)。
  2. 如果 f(x0) = 0，则 x0 就是方程的根。
  3. 如果 f(a)f(x0) < 0，则根在区间 (a, x0) 内，令 a1 = a, b1 = x0。
  4. 如果 f(a)f(x0) > 0，则根在区间 (x0, b) 内，令 a1 = x0, b1 = b。
  5. 对新区间 [*a1, *b1] 重复上述步骤，得到一系列区间 [*a*, b] ⊃ [*a1, *b1] ⊃ [*a2, *b2] ⊃ ... ⊃ [*an, *bn] ⊃ ...，且每个区间都是前一个区间的一半。
  6. 当区间的长度 bn - an 小于给定的精度 ε 时，取区间 [*an, *bn] 的中点 (an + bn)/2 作为方程的近似解。

说明:

  • 二分法是一种简单易行的求根方法，它对函数 f(x) 的要求不高，只要 f(x) 在 [*a*, b] 上连续即可。
  • 二分法的收敛速度比较慢，它是一种线性收敛的方法。
  • 二分法只能求方程的实根。

例 3.7.1 用二分法求方程 x3 - x - 1 = 0 在 (1, 1.5) 内的根，精确到 0.01。

解: 设 f(x) = x3 - x - 1，则 f(1) = -1 < 0, f(1.5) = 0.875 > 0。

取 a = 1, b = 1.5，则 x0 = (1 + 1.5)/2 = 1.25，f(1.25) = -0.296875 < 0。

由于 f(1.25)f(1.5) < 0，所以根在 (1.25, 1.5) 内。取 a1 = 1.25, b1 = 1.5，则 x1 = (1.25 + 1.5)/2 = 1.375，f(1.375) ≈ 0.2246 > 0。

由于 f(1.25)f(1.375) < 0，所以根在 (1.25, 1.375) 内。取 a2 = 1.25, b2 = 1.375，则 x2 = (1.25 + 1.375)/2 = 1.3125，f(1.3125) ≈ -0.0515 < 0。

以此类推，我们可以得到一系列区间：

n an bn xn f(xn)
0 1 1.5 1.25 -0.296875
1 1.25 1.5 1.375 0.224609
2 1.25 1.375 1.3125 -0.051514
3 1.3125 1.375 1.34375 0.082611
4 1.3125 1.34375 1.328125 0.014576
5 1.3125 1.328125 1.3203125 -0.018711
6 1.3203125 1.328125 1.32421875 -0.00212

当 n = 6 时，区间长度 b6 - a6 = 0.0078125 < 0.01，所以取 x6 = 1.32421875 作为方程的近似解，精确到 0.01。

3.7.2 切线法 (牛顿法)

基本思想:

切线法，也称牛顿法，是一种迭代法。它的基本思想是：利用函数 f(x) 在 x0 处的泰勒展开式的一次近似 f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) 来代替 f(x)，从而将非线性方程 f(x) = 0 的求根问题转化为线性方程 f(x0) + f'(x0)(x - x0) = 0 的求根问题。

具体步骤:

  1. 选取一个初始近似值 x0。
  2. 计算 f(x0) 和 f'(x0)。
  3. 如果 f'(x0) ≠ 0，则令 \(\(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)\)。
  4. 如果 f'(x0) = 0 或者 |x1 - x0| ≥ ε (ε 为给定的精度)，则停止迭代。
  5. 否则，令 x0 = x1，返回步骤 2。

几何解释:

x1 是曲线 y = f(x) 在点 (x0, f(x0)) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
    |
    |    f(x)
    |   ~~~~~~
    |  /
    | /
  f(x0)|/
    |/
    |--------x1-------x0--------> x
          切线与 x 轴的交点为 x1

说明:

  • 牛顿法是一种常用的求根方法，它的收敛速度比较快，通常具有平方收敛速度。
  • 牛顿法要求函数 f(x) 具有一阶连续导数。
  • 牛顿法的收敛性与初始值 x0 的选取有关，x0 必须取得充分靠近真解。

例 3.7.2 用牛顿法求方程 x3 - x - 1 = 0 在 (1, 1.5) 内的根，精确到 0.001。

解: 设 f(x) = x3 - x - 1，则 f'(x) = 3x2 - 1。

取 x0 = 1.5，则

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1.5 - 0.875/5.75 ≈ 1.347826

x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) ≈ 1.347826 - 0.100682/4.449975 ≈ 1.325200

x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) ≈ 1.325200 - 0.002058/4.268468 ≈ 1.324718

x4 = x3 - f(x3)/f'(x3) ≈ 1.324718 - 0.00000092/4.264633 ≈ 1.324718

由于 |x4 - x3| < 0.001，所以取 x4 = 1.324718 作为方程的近似解，精确到 0.001。

例 3.7.3 求 √2 的近似值 (精确到 0.00001)。

解: 求 √2 相当于求方程 x2 - 2 = 0 的正根。

设 f(x) = x2 - 2，则 f'(x) = 2x。取 x0 = 1.5，则

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1.5 - 0.25/3 ≈ 1.416667

x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) ≈ 1.416667 - 0.006945/2.833334 ≈ 1.414216

x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) ≈ 1.414216 - 0.000006/2.828432 ≈ 1.414214

由于 |x3 - x2| < 0.00001，所以取 x3 = 1.414214 作为 √2 的近似值，精确到 0.00001。