3.9 导数在经济学中的应用简介 (选学)

3.9 导数在经济学中的应用简介 (选学)

导数作为一种数学工具，在经济学中有着广泛的应用。它可以用来分析经济变量之间的关系，例如成本、收益、利润、需求、供给等等。本节将介绍导数在经济学中的两个重要应用：边际分析和弹性分析。

3.9.1 边际分析

边际的概念:

在经济学中，“边际” 通常指定义在某一范围内的某个经济变量的改变量与引起这一改变的另一经济变量的改变量的比率，或者说是后一个经济变量每改变一个单位时，前一个经济变量的改变量。在数学上，如果两个经济变量之间存在函数关系 y = f(x)，那么 y 关于 x 的边际就是函数 f(x) 的导数 f'(x)。例如边际成本、边际收益、边际利润等等。

1. 边际成本

设某产品的总成本 C(Q) 是产量 Q 的函数，则边际成本 MC 定义为产量增加一个单位时总成本的增量，即

\[MC = \lim_{\Delta Q \to 0} \frac{C(Q + \Delta Q) - C(Q)}{\Delta Q} = C'(Q)\]

边际成本 C'(Q) 表示当产量为 Q 时，再生产一个单位产品所需要增加的总成本。

例 3.9.1 设某产品的总成本函数为 C(Q) = Q² + 5Q + 100，其中 Q 是产量。求 Q = 10 时的边际成本。

解: 边际成本为 MC = C'(Q) = 2Q + 5。

当 Q = 10 时，MC = C'(10) = 2 × 10 + 5 = 25。

这表示当产量为 10 个单位时，再生产一个单位产品，总成本将增加 25 个单位。

2. 边际收益

设某产品的总收益 R(Q) 是销售量 Q 的函数，则边际收益 MR 定义为销售量增加一个单位时总收益的增量，即

\[MR = \lim_{\Delta Q \to 0} \frac{R(Q + \Delta Q) - R(Q)}{\Delta Q} = R'(Q)\]

边际收益 R'(Q) 表示当销售量为 Q 时，再销售一个单位产品所能增加的总收益。

例 3.9.2 设某产品的需求函数为 P = 100 - 2Q，其中 P 是价格，Q 是需求量。求 Q = 20 时的边际收益。

解: 总收益函数为 R(Q) = PQ = (100 - 2Q)Q = 100Q - 2Q²。

边际收益为 MR = R'(Q) = 100 - 4Q。

当 Q = 20 时，MR = R'(20) = 100 - 4 × 20 = 20。

这表示当销售量为 20 个单位时，再销售一个单位产品，总收益将增加 20 个单位。

3. 边际利润

设某产品的利润 L(Q) 是销售量 Q 的函数，则边际利润 ML 定义为销售量增加一个单位时利润的增量，即

\[ML = \lim_{\Delta Q \to 0} \frac{L(Q + \Delta Q) - L(Q)}{\Delta Q} = L'(Q)\]

边际利润 L'(Q) 表示当销售量为 Q 时，再销售一个单位产品所能增加的利润。

由于利润等于收益减去成本，即 L(Q) = R(Q) - C(Q)，所以边际利润也等于边际收益减去边际成本，即

\[ML = L'(Q) = R'(Q) - C'(Q) = MR - MC\]

例 3.9.3 设某产品的总成本函数为 C(Q) = Q² + 5Q + 100，需求函数为 P = 50 - Q。求使利润最大化的产量和最大利润。

解: 总收益函数为 R(Q) = PQ = (50 - Q)Q = 50Q - Q²。

利润函数为 L(Q) = R(Q) - C(Q) = (50Q - Q²) - (Q² + 5Q + 100) = -2Q² + 45Q - 100。

边际利润为 ML = L'(Q) = -4Q + 45。

令 ML = 0，解得 Q = 11.25。

由于 L''(Q) = -4 < 0，所以当 Q = 11.25 时，利润最大。

最大利润为 L(11.25) = -2(11.25)² + 45 × 11.25 - 100 = 153.125。

3.9.2 弹性分析

弹性的概念:

在经济学中，**弹性**用于描述一个经济变量对另一个经济变量变化的敏感程度。如果两个经济变量之间存在函数关系 y = f(x)，那么 y 关于 x 的弹性定义为：y 的相对变化率与 x 的相对变化率之比，即

\[E = \frac{\frac{\Delta y}{y}}{\frac{\Delta x}{x}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{x}{y}\]

当 Δ*x*→0 时，弹性为

\[E = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{x}{y} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y} = \frac{f'(x)x}{f(x)}\]

说明:

• 弹性可以理解为：当 x 变化 1% 时，y 大约变化 E%。
• 弹性通常与一定的 x 的取值相对应。

1. 需求弹性

**需求价格弹性**衡量当商品价格发生变动时，需求量相应变动的敏感程度。

设某商品的需求量 Q 是价格 P 的函数 Q = f(P)，则需求价格弹性 E_d 为

\[E_d = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = \frac{f'(P)P}{f(P)}\]

由于需求量通常随着价格的上涨而减少，所以 f'(P) < 0，因此 E_d 通常为负数。为了方便，有时也取绝对值，将需求价格弹性定义为

\[E_d = -\frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = -\frac{f'(P)P}{f(P)}\]

说明:

• |E_d| > 1 时，称需求是**富有弹性**的，表示需求量变动的百分比大于价格变动的百分比。这时降低价格可以增加收益。
• |E_d| < 1 时，称需求是**缺乏弹性**的，表示需求量变动的百分比小于价格变动的百分比。这时提高价格可以增加收益。
• |E_d| = 1 时，称需求是**单位弹性**的，表示需求量变动的百分比等于价格变动的百分比。

例 3.9.4 设某商品的需求函数为 Q = 100 - 2P，求当 P = 10 和 P = 40 时的需求价格弹性。

解: dQ/dP = -2。

当 P = 10 时，Q = 100 - 2 × 10 = 80，所以

\[E_d = -\frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = -(-2) \cdot \frac{10}{80} = 0.25\]

需求缺乏弹性。

当 P = 40 时，Q = 100 - 2 × 40 = 20，所以

\[E_d = -\frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = -(-2) \cdot \frac{40}{20} = 4\]

需求富有弹性。

2. 供给弹性

**供给价格弹性**衡量当商品价格发生变动时，供给量相应变动的敏感程度。

设某商品的供给量 Q 是价格 P 的函数 Q = g(P)，则供给价格弹性 E_s 为

\[E_s = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = \frac{g'(P)P}{g(P)}\]

由于供给量通常随着价格的上涨而增加，所以 g'(P) > 0，因此 E_s 通常为正数。

说明:

• 供给弹性的应用不如需求弹性广泛。

例 3.9.5 设某商品的供给函数为 Q = -10 + 5P，求当 P = 6 时的供给价格弹性。

解: dQ/dP = 5。

当 P = 6 时，Q = -10 + 5 × 6 = 20，所以

\[E_s = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} = 5 \cdot \frac{6}{20} = 1.5\]