1.1 引言：从面积和路程谈起
1.1 引言：从面积和路程谈起 (修改版)¶
积分学是微积分的重要组成部分，它与微分学互为逆运算，共同构成了微积分学的基石。如果说微分学主要研究函数的变化率，那么积分学则主要研究函数的 累积效果。
积分的思想起源于古代人们对 面积、体积 等几何量的计算。在古希腊时期，数学家们就已经开始尝试用“穷竭法”来计算一些曲边图形的面积。这种方法的基本思想是将曲边图形分割成无数个小矩形，然后将这些小矩形的面积加起来，得到曲边图形面积的近似值。当分割无限加细时，这个近似值就趋近于曲边图形的真实面积。
想象一下，你有一块形状不规则的土地，如何计算它的面积呢？ 一种自然的想法是，将这块土地分割成许多小块，每一小块都近似于一个规则的图形，例如矩形或三角形，然后将这些小块的面积加起来，就得到了土地总面积的近似值。 分割得越细，近似值就越精确。
除了几何问题，积分在物理学中也有着重要的应用。 例如，如果已知一个物体运动的速度 \(v(t)\)，那么如何计算它在一段时间内行驶的路程呢？ 我们可以将这段时间分成许多小段，在每一小段内，物体的速度可以近似地看作常数，从而可以用速度乘以时间来近似计算这一小段的路程。 将所有小段的路程加起来，就得到了总路程的近似值。 同样地，当时间间隔无限缩小时，这个近似值就趋近于真实的路程。
上述两个问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变速直线运动的路程，看似毫不相关，但它们却有着相同的数学结构。 为了更好地理解这种结构的本质，我们需要引入定积分的概念。
1.1.1 曲边梯形的面积¶
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上非负且连续。由曲线 \(y = f(x)\)、直线 \(x = a\), \(x = b\) 以及 \(x\) 轴所围成的图形称为 曲边梯形。
图形描述： 想象一条平滑的曲线 \(y=f(x)\) 位于 \(x\) 轴上方，两条竖直的直线 \(x=a\) 和 \(x=b\) 分别立于区间 \([a,b]\) 的左右两端，这三条线与 \(x\) 轴一起围成了一个形状不规则的图形，这就是 曲边梯形。
如何计算曲边梯形的面积 \(A\) 呢？
我们可以将区间 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个小区间：
其中 \(a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b\)。
在每个小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上，我们任取一点 \(\xi_i\) (\(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\))，并以 \(f(\xi_i)\) 为高，以 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) 为底作一个小矩形。
图形描述： 想象在曲边梯形内部，沿着 \(x\) 轴的方向，将它切成 \(n\) 个窄窄的竖条。每个竖条都可以近似地看作一个矩形：它的底是 \(\Delta x_i\)，高等于竖条内任意一点对应的函数值 \(f(\xi_i)\)。
这个小矩形的面积为 \(f(\xi_i) \Delta x_i\)。
将所有这些小矩形的面积加起来，得到曲边梯形面积 \(A\) 的一个近似值：
这个和式称为 积分和，也叫 黎曼和。
数学公式 (LaTeX):
显然，分割越细，近似程度就越高。 当所有小区间长度的最大值 \(\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n\}\) 趋近于 0 时，这个近似值就趋近于曲边梯形的真实面积 \(A\)。
图形描述： 想象将曲边梯形分割成无限多个无限窄的竖条，每个竖条都无限接近于一个矩形。当你把所有这些无限窄的矩形的面积加起来，就得到了 曲边梯形 的精确面积。
1.1.2 变速直线运动的路程¶
设一个物体沿直线运动，其速度 \(v(t)\) 是时间 \(t\) 的连续函数，且 \(v(t) \geq 0\)。 求物体在时间区间 \([a, b]\) 内所经过的路程 \(s\)。
我们可以将区间 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个小区间：
其中 \(a = t_0 < t_1 < t_2 < ... < t_{n-1} < t_n = b\)。
在每个小区间 \([t_{i-1}, t_i]\) 上，我们任取一点 \(\tau_i\) (\(\tau_i \in [t_{i-1}, t_i]\))，并将这段时间内的速度近似地看作常数 \(v(\tau_i)\)。
图形描述： 想象一条表示速度 \(v(t)\) 随时间 \(t\) 变化的曲线。在时间区间 \([a,b]\) 内，可以将这条曲线下方的区域分割成许多窄窄的竖条。每个竖条的宽度为 \(\Delta t_i\)，高度约为 \(v(\tau_i)\)。
那么，物体在这一小段时间内经过的路程近似为 \(v(\tau_i) \Delta t_i\)。
将所有这些小段的路程加起来，得到总路程 \(s\) 的一个近似值：
这个和式也是一个**积分和** (黎曼和)。
数学公式 (LaTeX):
同样地，当所有小区间长度的最大值 \(\lambda = \max\{\Delta t_1, \Delta t_2, ..., \Delta t_n\}\) 趋近于 0 时，这个近似值就趋近于物体在时间区间 \([a, b]\) 内经过的真实路程 \(s\)。
1.1.3 总结¶
通过以上两个例子，我们可以看到，尽管问题本身不同，但它们的解决思路和数学表达式却非常相似。 这说明，积分和具有广泛的应用背景，它不仅仅可以用来计算面积，还可以用来计算各种累积量。
在下一节中，我们将正式定义定积分的概念，并研究它的性质。