1.4 可积条件
1.4 可积条件¶
在前面的讨论中，我们总是假设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上是可积的。 那么，什么样的函数是可积的呢？ 或者说，函数 \(f(x)\) 满足什么条件时，它在区间 \([a, b]\) 上的定积分一定存在呢？ 这就是本节要讨论的可积条件。
1.4.1 可积的必要条件¶
定理： 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上可积，那么 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上一定有界。
证明思路： 我们使用反证法。 假设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上无界，那么对于 \([a, b]\) 的任何一个分割，我们总可以在某个小区间 \([x_{k-1}, x_k]\) 上找到一点 \(\xi_k\)，使得 \(|f(\xi_k)|\) 充分大，从而使得积分和 \(\left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \right|\) 可以大于任意给定的正数。 这与 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积矛盾。
解释： 这个定理告诉我们，可积函数一定是有界的。 也就是说，如果一个函数在某个区间上无界，那么它在该区间上一定是不可积的。
需要注意的是： 有界性只是可积的必要条件，而不是充分条件。 也就是说，一个有界函数未必可积。
例 1.4.1 (狄利克雷函数) 考虑如下定义的狄利克雷 (Dirichlet) 函数：
其中 \(\mathbb{Q}\) 表示有理数集，\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) 表示无理数集。
这个函数在任何区间 \([a, b]\) 上都是有界的，因为 \(0 \leq D(x) \leq 1\)。 但是，可以证明，狄利克雷函数在任何区间 \([a, b]\) 上都是不可积的。 这是因为，无论如何分割区间 \([a, b]\)，我们总可以在每个小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上既取到有理数点 \(\xi_i\) (此时 \(D(\xi_i) = 1\))，又取到无理数点 \(\xi_i'\) (此时 \(D(\xi_i') = 0\))。 这样，对于同一个分割，我们可以得到两个完全不同的积分和，一个趋近于 \(b-a\)，另一个趋近于 0。 因此，当 \(\lambda \to 0\) 时，积分和的极限不存在。
1.4.2 可积的充分条件¶
为了给出可积的充分条件，我们需要引入一些新的概念。
(1) 振幅： 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上有界，记 \(M_i = \sup\{f(x) | x \in [x_{i-1}, x_i]\}\)，\(m_i = \inf\{f(x) | x \in [x_{i-1}, x_i]\}\)，称 \(\omega_i = M_i - m_i\) 为函数 \(f(x)\) 在小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上的 振幅。
(2) 振幅和： 称 \(S_\omega = \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i\) 为函数 \(f(x)\) 关于分割 \(T\) 的 振幅和。
直观解释： 振幅 \(\omega_i\) 反映了函数 \(f(x)\) 在小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上的波动程度。 如果函数在某个小区间上波动很大，那么它的振幅就很大；如果函数在某个小区间上接近于常数，那么它的振幅就很小。 振幅和 \(S_\omega\) 则反映了函数在整个区间 \([a, b]\) 上的总体波动程度。
定理 (可积的充要条件)： 函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上可积的充要条件是：对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，总存在一个分割 \(T\)，使得该分割下的振幅和 \(S_\omega < \epsilon\)。
证明思路： 这个定理的证明比较复杂，这里略去。
定理 (可积的充分条件)：
- (1) 连续函数： 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，那么 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上一定可积。
- (2) 单调函数： 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上单调，那么 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上一定可积。
- (3) 有限间断点： 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上只有有限个第一类间断点，那么 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上一定可积。
解释：
- 连续函数的可积性可以直观地理解为：连续函数的图像是一条连续的曲线，它与 \(x\) 轴围成的曲边梯形的面积是存在的。
- 单调函数的可积性可以理解为：单调函数的图像虽然可能有跳跃，但它的 “跳跃” 方向是一致的，不会来回振荡，因此它与 \(x\) 轴围成的图形的面积也是存在的。
- 有限间断点的可积性可以理解为：如果函数只有有限个 “跳跃点”，那么我们可以将积分区间分成若干个小区间，每个小区间上函数都是连续的或者单调的，因此函数在每个小区间上都可积。 再根据定积分的区间可加性，可知函数在整个区间上也可积。
例 1.4.2 函数 \(f(x) = \sin x\) 在区间 \([0, 2\pi]\) 上连续，因此它在该区间上可积。
例 1.4.3 函数 \(f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}\) 在区间 \([0, 2]\) 上单调递增然后单调递减，因此它在该区间上可积。
例 1.4.4 函数 \(f(x) = \text{sgn}(x)\) (符号函数) 在区间 \([-1, 1]\) 上只有 \(x=0\) 一个跳跃间断点，因此它在该区间上可积。
需要注意的是： 以上三个条件都是充分条件，而不是必要条件。 也就是说，存在一些函数，它们既不连续，也不单调，甚至有无限多个间断点，但它们仍然是可积的。
例 1.4.5 (黎曼函数) 考虑如下定义的黎曼函数：
这个函数在任何区间 \([a, b]\) 上都有无限多个间断点，但可以证明它是可积的，且 \(\int_a^b R(x) dx = 0\)。
1.4.3 总结¶
- 可积的必要条件：有界性。
- 可积的充要条件：任意给定的正数 \(\epsilon\)，总存在一个分割 \(T\)，使得该分割下的振幅和 \(S_\omega < \epsilon\)。
- 可积的充分条件：连续、单调、有限个第一类间断点。