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1.5 节 微积分基本定理 (牛顿 莱布尼茨公式)

1.5 微积分基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)

在前面的几节中，我们学习了定积分的概念和性质，但我们还没有解决一个关键的问题： 如何计算定积分？

虽然定积分的定义本身提供了一种计算定积分的方法，即通过 “分割、近似、求和、取极限” 四步来计算，但这种方法在实际应用中往往非常繁琐，甚至难以执行。

幸运的是，微积分基本定理 (也称为牛顿-莱布尼茨公式) 为我们提供了一种简便而有效的方法来计算定积分。 它揭示了定积分与不定积分 (原函数)之间的密切联系，从而将定积分的计算转化为寻找原函数的问题。

1.5.1 变上限积分函数及其导数

为了引入微积分基本定理，我们首先需要定义一个重要的概念： 变上限积分函数。

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上可积，对于任意 \(x \in [a, b]\)，定积分 \(\int_a^x f(t) dt\) 都存在。 由于积分值随着上限 \(x\) 的变化而变化，因此我们可以定义一个新的函数：

\[\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt, \quad x \in [a, b]\]

这个函数 \(\Phi(x)\) 称为 \(f(x)\) 的 变上限积分函数。

直观解释： 变上限积分函数 \(\Phi(x)\) 可以理解为从 \(a\) 开始，到 \(x\) 结束的这段区间上，\(f(t)\) 所对应的曲边梯形的面积 (考虑代数和)。 当 \(x\) 变化时，曲边梯形的面积也随之变化，从而形成了一个新的函数。

例 1.5.1 设 \(f(t) = t\)，则 \(\Phi(x) = \int_0^x t dt\) 表示从 0 到 \(x\) 的这段区间上，\(y=t\) 下方的三角形面积。 我们可以很容易地计算出 \(\Phi(x) = \frac{1}{2}x^2\)。

变上限积分函数的一个重要性质是：它的导数等于被积函数。

定理： 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，那么它的变上限积分函数 \(\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt\) 在 \([a, b]\) 上可导，且：

\[\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) dt \right) = f(x)\]

证明思路：

我们利用导数的定义来证明。 给 \(x\) 一个增量 \(\Delta x\)，则 \(\Phi(x)\) 的增量为：

\[\Delta \Phi = \Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) = \int_a^{x+\Delta x} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt = \int_x^{x+\Delta x} f(t) dt\]

根据积分中值定理，存在 \(\xi\) 介于 \(x\) 和 \(x + \Delta x\) 之间，使得：

\[\int_x^{x+\Delta x} f(t) dt = f(\xi) \Delta x\]

因此：

\[\frac{\Delta \Phi}{\Delta x} = f(\xi)\]

当 \(\Delta x \to 0\) 时，\(\xi \to x\)。 由于 \(f(x)\) 在 \(x\) 处连续，所以 \(f(\xi) \to f(x)\)。 因此：

\[\Phi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)\]

解释： 这个定理表明，变上限积分函数的导数等于被积函数本身。 这就好比，如果你知道了一个物体运动的速度 \(v(t)\)，那么你在某一时刻 \(t\) 累积的路程对时间的导数，就是该时刻的瞬时速度 \(v(t)\)。

1.5.2 牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用

现在，我们利用变上限积分函数的导数性质来推导微积分基本定理。

定理 (牛顿-莱布尼茨公式)： 如果函数 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的一个原函数，那么：

\[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

证明：

设 \(\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt\)。 根据前面的定理，我们知道 \(\Phi'(x) = f(x)\)。 这说明 \(\Phi(x)\) 也是 \(f(x)\) 的一个原函数。

由于 \(F(x)\) 和 \(\Phi(x)\) 都是 \(f(x)\) 的原函数，所以它们之间只相差一个常数，即：

\[\Phi(x) = F(x) + C\]

令 \(x = a\)，则 \(\Phi(a) = \int_a^a f(t) dt = 0\)。 因此：

\[0 = F(a) + C \Rightarrow C = -F(a)\]

所以：

\[\Phi(x) = F(x) - F(a)\]

令 \(x = b\)，则 \(\Phi(b) = \int_a^b f(t) dt\)。 因此：

\[\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)\]

将积分变量 \(t\) 换成 \(x\)，即得到牛顿-莱布尼茨公式：

\[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

数学公式 (LaTeX):

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\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

解释： 牛顿-莱布尼茨公式建立了定积分和原函数之间的联系。 它告诉我们，要计算一个连续函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分，只需要找到它的一个原函数 \(F(x)\)，然后计算原函数在区间端点的值的差 \(F(b) - F(a)\) 即可。

常用记号： 我们通常将 \(F(b) - F(a)\) 记作 \(F(x) \Big|_a^b\)，即：

\[F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)\]

因此，牛顿-莱布尼茨公式也可以写成：

\[\int_a^b f(x) dx = F(x) \Big|_a^b\]

例 1.5.2 计算 \(\int_0^1 x^2 dx\)。

解： 因为 \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\) 是 \(f(x) = x^2\) 的一个原函数，所以根据牛顿-莱布尼茨公式：

\[\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3}\]

例 1.5.3 计算 \(\int_1^2 \frac{1}{x} dx\)。

解： 因为 \(F(x) = \ln x\) 是 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 的一个原函数，所以根据牛顿-莱布尼茨公式：

\[\int_1^2 \frac{1}{x} dx = \ln x \Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\]

总结： 牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的核心定理之一，它将定积分的计算问题转化为了求原函数的问题，极大地简化了定积分的计算。

1.5.3 习题

  1. 计算下列定积分：

    • \(\int_0^{\pi/2} \sin x dx\)
    • \(\int_1^e \frac{1}{x} dx\)
    • \(\int_0^1 (x^3 + 2x - 1) dx\)
    • \(\int_{-1}^1 e^x dx\)

  2. 已知 \(F(x) = \int_0^x \sin t^2 dt\)，求 \(F'(x)\)。

  3. 证明：如果 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的奇函数，那么 \(\int_{-a}^a f(x) dx = 0\)；如果 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的偶函数，那么 \(\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx\)。