第二章：不定积分与换元积分法
2.1 不定积分的概念¶
2.1.1 原函数与不定积分的定义¶
在第一章中，我们学习了微积分基本定理，它告诉我们，如果 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 的一个原函数，那么：
这里，\(F(x)\) 称为 \(f(x)\) 的**原函数**。 那么，什么是原函数呢？
定义： 如果在区间 \(I\) 上，可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\)，即对任意 \(x \in I\)，都有 \(F'(x) = f(x)\)，那么称 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的一个**原函数**。
例 2.1.1 因为 \((\sin x)' = \cos x\)，所以 \(\sin x\) 是 \(\cos x\) 的一个原函数。
例 2.1.2 因为 \((\frac{1}{3}x^3)' = x^2\)，所以 \(\frac{1}{3}x^3\) 是 \(x^2\) 的一个原函数。
思考： 如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，那么 \(F(x) + C\) (\(C\) 为任意常数) 是否也是 \(f(x)\) 的原函数呢？
答案是肯定的。 因为 \((F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)\)。 这说明，如果一个函数存在原函数，那么它必定有无穷多个原函数，且这些原函数之间只相差一个常数。
定义： 在区间 \(I\) 上，函数 \(f(x)\) 的带有任意常数项的原函数称为 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的**不定积分**，记作：
其中，\(\int\) 称为**积分号**，\(f(x)\) 称为**被积函数**，\(x\) 称为**积分变量**，\(f(x)dx\) 称为**被积表达式**。
如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，那么 \(f(x)\) 的不定积分可以表示为：
其中 \(C\) 是任意常数，称为**积分常数**。
数学公式 (LaTeX):
2.1.2 不定积分的几何意义¶
从几何上看，函数 \(f(x)\) 的不定积分表示一族曲线，这族曲线对应于 \(f(x)\) 的所有原函数，它们之间只相差一个常数。 这意味着，这族曲线在 \(x\) 处的切线斜率都相同，都等于 \(f(x)\)。
图形描述： 想象一系列形状相同，但上下位置不同的曲线。 在 \(x\) 处，这些曲线的切线都相互平行，因为它们的斜率都等于 \(f(x)\)。 这一族曲线就代表了 \(f(x)\) 的不定积分。
(Obsidian 绘图建议：) 你可以尝试在 Obsidian 中使用 Excalidraw 插件绘制几条形状相同，但上下位置不同的曲线，并在每条曲线上选取 \(x\) 相同的位置，画出切线，验证它们的斜率是否相同。
2.1.3 不定积分与定积分的关系¶
- 联系： 牛顿-莱布尼茨公式 \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\) 表明，定积分可以通过不定积分 (原函数) 来计算。
- 区别：
- 不定积分是一个函数族，而定积分是一个确定的值。
- 不定积分 \(\int f(x) dx\) 中没有积分上下限，而定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 中有积分上下限。
- 不定积分的结果包含任意常数 \(C\)，而定积分的结果是一个确定的数值，与积分常数 \(C\) 无关。
2.2 基本积分表¶
正如乘法和除法互为逆运算一样，求导和求不定积分也互为逆运算。 我们可以利用已知的求导公式，得到相应的不定积分公式。
以下是一些基本的不定积分公式 (也称**基本积分表**)，这些公式需要熟练掌握：
| 序号 | 函数 | 不定积分 | 序号 | 函数 | 不定积分 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(k\) (常数) | \(kx + C\) | 9 | \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | ||
| 2 | \(x^\mu\) (\(\mu \neq -1\)) | \(\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C\) | 10 | \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | ||
| 3 | \(\frac{1}{x}\) | \(\ln x + C\) | 11 | \(\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\) | \(\tan x + C\) | ||
| 4 | \(e^x\) | \(e^x + C\) | 12 | \(\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\) | \(-\cot x + C\) | ||
| 5 | \(a^x\) (\(a > 0, a \neq 1\)) | \(\frac{a^x}{\ln a} + C\) | 13 | \(\sec x \tan x\) | \(\sec x + C\) | ||
| 6 | \(\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | 14 | \(\csc x \cot x\) | \(-\csc x + C\) | ||
| 7 | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | 15 | \(\tan x\) | \(-\ln \cos x + C\) | ||
| 8 | \(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin \frac{x}{a} + C\) | 16 | \(\cot x\) | \(\ln \sin x + C\) | ||
| 17 | \(\sec x\) | \(\ln \sec x + \tan x + C\) | |||||
| 18 | \(\csc x\) | \(\ln \csc x - \cot x + C\) |
表格说明：
- 上述公式中，\(C\) 都是积分常数。
- 公式 2 对 \(\mu\) 的限制是必要的，因为当 \(\mu = -1\) 时，分母为 0。
- 公式 8 可以通过公式 7 的变量代换推导得到。
- 公式 15-18 需要通过后续学习的换元积分法或分部积分法推导得出，这里先列出来供参考。
记忆技巧： 熟记这些基本积分公式，最好的办法是通过大量的练习。 可以尝试自己推导这些公式，或者制作积分卡片，随时记忆。
2.3 换元积分法¶
掌握了基本积分表，我们只能求解一些简单的函数的不定积分。 对于更复杂的函数，我们需要使用一些积分技巧，其中最重要的就是**换元积分法**。
换元积分法的基本思想是：通过变量代换，将一个复杂的积分转化为一个简单的积分，从而使问题得到解决。
换元积分法分为两类：第一类换元法 (凑微分法) 和 第二类换元法 (变量代换法)。
2.3.1 第一类换元法 (凑微分法)¶
第一类换元法的核心思想是 “凑微分”。 通过观察被积表达式，将其中一部分 “凑” 成某个函数的微分，从而将积分变量转化为该函数。
定理： 设 \(f(u)\) 具有原函数 \(F(u)\)，即 \(\int f(u) du = F(u) + C\)，\(u = \phi(x)\) 可导，则：
公式解释：
- 左边的被积表达式中，\(\phi'(x) dx\) 恰好是 \(u = \phi(x)\) 的微分，即 \(du = \phi'(x) dx\)。
- 通过将 \(\phi(x)\) 替换成 \(u\)，\(\phi'(x) dx\) 替换成 \(du\)，我们就将关于 \(x\) 的积分转化成了关于 \(u\) 的积分。
- 求出 \(\int f(u) du = F(u) + C\) 后，再将 \(u\) 换回 \(\phi(x)\)，就得到了最终的结果。
步骤：
- 观察被积表达式，找到合适的 \(u = \phi(x)\)，并计算 \(du = \phi'(x) dx\)。
- 将 \(x\) 和 \(dx\) 换成 \(u\) 和 \(du\)，得到关于 \(u\) 的积分 \(\int f(u) du\)。
- 求出 \(\int f(u) du\)。
- 将 \(u\) 换回 \(\phi(x)\)，得到最终结果。
例 2.3.1 求 \(\int \sin(2x+1) dx\)。
解：
设 \(u = 2x + 1\)，则 \(du = 2 dx\)，即 \(dx = \frac{1}{2} du\)。
将 \(u = 2x + 1\) 代回，得到：
例 2.3.2 求 \(\int \frac{x}{1+x^2} dx\)。
解：
设 \(u = 1 + x^2\)，则 \(du = 2x dx\)，即 \(x dx = \frac{1}{2} du\)。
将 \(u = 1 + x^2\) 代回，得到：
例 2.3.3 求 \(\int \tan x dx\)。
解：
设 \(u = \cos x\)，则 \(du = -\sin x dx\)。
将 \(u = \cos x\) 代回，得到：
技巧： 凑微分法的关键在于观察被积表达式，找出合适的 \(u = \phi(x)\)。 通常，我们需要将 \(f(\phi(x))\) 中的 \(\phi(x)\) 看作一个整体，并尝试将 \(\phi'(x) dx\) 凑成 \(du\)。 多加练习，才能熟练掌握凑微分的技巧。
2.3.2 第二类换元法 (变量代换法)¶
与第一类换元法 (凑微分法) 不同，第二类换元法是通过引入一个新的变量 \(x = \psi(t)\)，将原来的积分变量 \(x\) 替换成新变量 \(t\) 的函数，从而将积分化简。
定理： 设 \(x = \psi(t)\) 是单调的、可导的函数，并且 \(\psi'(t) \neq 0\)。 又设 \(f[\psi(t)]\psi'(t)\) 具有原函数 \(\Phi(t)\)，则：
其中 \(\psi^{-1}(x)\) 是 \(x = \psi(t)\) 的反函数。
公式解释：
- 我们引入一个新的变量 \(t\)，并令 \(x = \psi(t)\)。
- 将 \(x\) 换成 \(\psi(t)\)，将 \(dx\) 换成 \(\psi'(t)dt\)，从而得到关于 \(t\) 的积分 \(\int f[\psi(t)]\psi'(t) dt\)。
- 求出 \(\int f[\psi(t)]\psi'(t) dt = \Phi(t) + C\)。
- 由于 \(x = \psi(t)\) 单调，所以存在反函数 \(t = \psi^{-1}(x)\)。 将 \(t\) 换回 \(\psi^{-1}(x)\)，得到最终结果。
步骤：
- 选择合适的变量代换 \(x = \psi(t)\)，并计算 \(dx = \psi'(t) dt\)。
- 将 \(x\) 和 \(dx\) 换成 \(t\) 和 \(dt\)，得到关于 \(t\) 的积分 \(\int f[\psi(t)]\psi'(t) dt\)。
- 求出 \(\int f[\psi(t)]\psi'(t) dt\)。
- 将 \(t\) 换回 \(\psi^{-1}(x)\)，得到最终结果。
例 2.3.4 求 \(\int \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx\)。
解：
设 \(\sqrt{x} = t\)，则 \(x = t^2\)， \(dx = 2t dt\)。
将 \(t = \sqrt{x}\) 代回，得到：
例 2.3.5 求 \(\int \sqrt{a^2 - x^2} dx\) (\(a > 0\))。
解：
设 \(x = a\sin t\)，\(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)，则 \(\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos t\), \(dx = a\cos t dt\)。
将 \(t = \arcsin \frac{x}{a}\) 代回，并注意到 \(\sin t = \frac{x}{a}\)，\(\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}\)，得到：
常用的变量代换：
-
三角代换：
- 当被积函数中含有 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 时，可令 \(x = a\sin t\) 或 \(x = a\cos t\)。
- 当被积函数中含有 \(\sqrt{a^2 + x^2}\) 时，可令 \(x = a\tan t\)。
- 当被积函数中含有 \(\sqrt{x^2 - a^2}\) 时，可令 \(x = a\sec t\)。
-
根式代换： 当被积函数中含有 \(\sqrt[n]{ax+b}\) 时，可令 \(t = \sqrt[n]{ax+b}\)。
-
倒代换： 当被积函数中含有 \(x^n\) (\(n\) 较大) 且分母的次数较高时，可令 \(t = \frac{1}{x}\)。
例 2.3.6 求 \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1+x^2}} dx\)。
解：
设 \(x = \tan t\)，则 \(\sqrt{1+x^2} = \sec t\), \(dx = \sec^2 t dt\)。
例 2.3.7 求 \(\int \frac{1}{x^4 \sqrt{1+x^2}} dx\)
解： 令 \(x = \frac{1}{t}\), 则 \(dx = -\frac{1}{t^2}dt\) \(\(\int \frac{1}{x^4 \sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{t^4}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}}(-\frac{1}{t^2})dt = -\int \frac{t^3}{\sqrt{t^2+1}}dt\)\) 再令 \(u = \sqrt{t^2+1}\)， 则 \(t^2 = u^2 - 1, tdt = udu\) \(\(-\int \frac{t^3}{\sqrt{t^2+1}}dt = -\int \frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}tdt = -\int \frac{u^2-1}{u}udu = -\int (u - \frac{1}{u})du\)\) $$ = -(\frac{1}{2}u^2 - \ln|u|) + C = -\frac{1}{2}(t^2+1) + \ln|\sqrt{t^2+1}| + C$$ 将 \(t = \frac{1}{x}\) 代回 $$ = -\frac{1}{2}(\frac{1}{x^2} + 1) + \frac{1}{2}\ln|\frac{1}{x^2} + 1| + C$$
2.3.3 总结¶
- 第一类换元法 (凑微分法)： 主要针对被积表达式中可以凑成某个函数微分的情况。
- 第二类换元法 (变量代换法)： 主要针对被积表达式中含有根式、三角函数等可以通过变量代换化简的情况。
换元积分法是积分学中非常重要的技巧，需要通过大量的练习才能熟练掌握。 在选择换元方法时，需要仔细观察被积函数的特点，选择合适的换元方法，才能使积分得到化简。
2.4 习题¶
-
使用第一类换元法 (凑微分法) 求下列不定积分：
- (a) \(\int \cos(3x) dx\)
- (b) \(\int xe^{-x^2} dx\)
- © \(\int \frac{1}{2x+1} dx\)
- (d) \(\int \frac{\ln x}{x} dx\)
- (e) \(\int \frac{e^x}{1+e^x} dx\)
-
使用第二类换元法 (变量代换法) 求下列不定积分：
- (a) \(\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx\)
- (b) \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx\)
- © \(\int \sqrt{1+\sqrt{x}} dx\)
- (d) \(\int \frac{1}{x^2+2x+5} dx\) (提示：配方)
-
综合运用换元法求下列不定积分：
- (a) \(\int \sin^3 x \cos x dx\)
- (b) \(\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx\)
- © \(\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx\)
以上是**第二章 不定积分与换元积分法** 的内容，重点介绍了不定积分的概念、基本积分表以及两种重要的换元积分法。 接下来的章节，我们将学习 分部积分法与有理函数积分。