3.1 分部积分法

在本章中，我们将学习另一种重要的积分方法——分部积分法，以及如何利用它来求解一些特殊类型的积分，例如**有理函数的积分**。

3.1 分部积分法

3.1.1 分部积分公式的推导

分部积分法来源于导数的乘法法则。 设 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 是两个可导函数，根据导数的乘法法则，我们有：

\[(uv)' = u'v + uv'\]

移项得到：

\[uv' = (uv)' - u'v\]

对上式两边同时求不定积分，得到：

\[\int uv' dx = \int (uv)' dx - \int u'v dx\]

由于 \(\int (uv)' dx = uv + C\)，所以：

\[\int uv' dx = uv - \int u'v dx\]

这就是**分部积分公式**。

为了方便记忆，我们可以将公式写成微分的形式：

\[\int u dv = uv - \int v du\]

公式解释： 分部积分公式将一个积分 \(\int u dv\) 转化成了另一个积分 \(\int v du\)。 当 \(\int v du\) 比 \(\int u dv\)更容易计算时，分部积分法就非常有效。

数学公式 (LaTeX):

\int u dv = uv - \int v du

3.1.2 分部积分法的应用技巧 (反对幂指三)

分部积分法的关键在于如何选择 \(u\) 和 \(dv\)。 一般来说，我们需要选择一个 \(u\)，使得它的导数 \(u'\) 比 \(u\) 更简单；同时，我们需要选择一个 \(dv\)，使得它的原函数 \(v\) 容易求得。

一个常用的选择 \(u\) 的顺序是 “反对幂指三”，即：

• 反： 反三角函数 (arcsin, arccos, arctan)
• 对： 对数函数 (ln)
• 幂： 幂函数 (\(x^n\))
• 指： 指数函数 (\(e^x\), \(a^x\))
• 三： 三角函数 (sin, cos)

这个顺序**只是一个经验法则，并非绝对的**。 在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活选择 \(u\) 和 \(dv\)。

例 3.1.1 求 \(\int x \ln x dx\)。

解：

根据 “反对幂指三” 的原则，我们选择 \(u = \ln x\), \(dv = x dx\)。 那么：

\[du = \frac{1}{x} dx, \quad v = \frac{1}{2}x^2\]

应用分部积分公式：

\[\int x \ln x dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x dx\]

\[= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C\]

例 3.1.2 求 \(\int x e^x dx\)。

解：

根据 “反对幂指三” 的原则，我们选择 \(u = x\), \(dv = e^x dx\)。 那么：

\[du = dx, \quad v = e^x\]

应用分部积分公式：

\[\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C\]

例 3.1.3 求 \(\int x^2 \sin x dx\)。

解：

这个积分需要连续两次应用分部积分法。

首先，我们选择 \(u = x^2\), \(dv = \sin x dx\)。 那么：

\[du = 2x dx, \quad v = -\cos x\]

应用分部积分公式：

\[\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int (-\cos x) \cdot 2x dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx\]

接下来，我们对 \(\int x \cos x dx\) 应用分部积分法，选择 \(u = x\), \(dv = \cos x dx\)。 那么：

\[du = dx, \quad v = \sin x\]

\[\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C_1\]

将结果代回原积分，得到：

\[\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C\]

例 3.1.4 求 \(\int e^x \cos x dx\)。

解：

这个积分需要一些技巧。 我们首先选择 \(u = e^x\), \(dv = \cos x dx\)。 那么：

\[du = e^x dx, \quad v = \sin x\]

应用分部积分公式：

\[\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx\]

接下来，我们对 \(\int e^x \sin x dx\) 应用分部积分法，选择 \(u = e^x\), \(dv = \sin x dx\)。 那么：

\[du = e^x dx, \quad v = -\cos x\]

\[\int e^x \sin x dx = -e^x \cos x - \int (-\cos x) e^x dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx\]

将结果代回原积分，得到：

\[\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x dx) = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x dx\]

移项得到：

\[2 \int e^x \cos x dx = e^x \sin x + e^x \cos x + C_1\]

因此：

\[\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C\]

总结： 分部积分法是一种非常有效的积分方法，特别是对于包含乘积形式的被积函数。 应用分部积分法的关键在于正确选择 \(u\) 和 \(dv\)，这需要多加练习才能熟练掌握。 有时，我们需要多次应用分部积分法，或者将得到的式子与原式子联立，才能最终求出积分。