3.2 有理函数的积分
3.2 有理函数的积分¶
**有理函数**是指可以表示成两个多项式之比的函数，即形如 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的函数，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 都是多项式。
有理函数的积分在微积分中占有重要的地位，因为许多其他类型的函数可以通过变量代换转化为有理函数的积分。
3.2.1 有理函数的分解¶
有理函数可以分为**真分式**和**假分式**两种：
- 如果 \(P(x)\) 的次数小于 \(Q(x)\) 的次数，则称 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 为**真分式**。
- 如果 \(P(x)\) 的次数大于或等于 \(Q(x)\) 的次数，则称 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 为**假分式**。
对于假分式，我们可以通过多项式除法将其化为一个多项式和一个真分式之和。 由于多项式的积分比较容易计算，因此我们主要讨论真分式的积分。
例如： \(\frac{x}{x^2+1}\) 是真分式，而 \(\frac{x^3}{x^2+1}\) 是假分式。 我们可以将后者化为：
其中 \(x\) 是多项式，\(\frac{x}{x^2+1}\) 是真分式。
定理： 任何一个真分式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 都可以分解成若干个**部分分式**之和，其中每个部分分式的分母是 \(Q(x)\) 的因式的一次幂或二次幂。
分解规则：
- 因式分解： 将分母 \(Q(x)\) 分解成若干个不可约因式的乘积。
-
部分分式：
-
如果 \(Q(x)\) 包含因式 \((x-a)^k\)，那么分解式中包含 \(k\) 个部分分式：
\[\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x-a)^k}\] -
如果 \(Q(x)\) 包含因式 \((x^2 + px + q)^k\) (其中 \(p^2 - 4q < 0\))，那么分解式中包含 \(k\) 个部分分式：
\[\frac{B_1x + C_1}{x^2 + px + q} + \frac{B_2x + C_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{B_kx + C_k}{(x^2 + px + q)^k}\]
其中 \(A_i, B_i, C_i\) 都是待定常数。
-
例 3.2.1 将 \(\frac{x^2 + 1}{(x-1)(x+2)(x-3)}\) 分解成部分分式。
解：
由于分母已经分解成三个一次因式的乘积，所以我们可以设：
通分并比较分子，得到：
令 \(x = 1\), \(x = -2\), \(x = 3\)，分别得到：
解得 \(A = -\frac{1}{3}\), \(B = \frac{1}{3}\), \(C = 1\)。
因此：
例 3.2.2 将 \(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\) 分解成部分分式。
解：
由于分母包含一个一次因式 \(x-1\) 和一个二次不可约因式 \(x^2 + 1\)，所以我们可以设：
通分并比较分子，得到：
令 \(x = 1\)，得到 \(1 = 2A\)，解得 \(A = \frac{1}{2}\)。
比较 \(x^2\) 的系数和常数项，得到：
解得 \(B = -\frac{1}{2}\), \(C = \frac{1}{2}\)。
因此：
例 3.2.3 将 \(\frac{1}{x^2(x-1)}\) 分解成部分分式。
解：
由于分母包含一个二重因式 \(x^2\) 和一个一次因式 \(x-1\)，所以我们可以设：
通分并比较分子，得到：
令 \(x = 0\)，得到 \(1 = -B\)，解得 \(B = -1\)。
令 \(x = 1\)，得到 \(1 = C\)，解得 \(C = 1\)。
比较 \(x^2\) 的系数，得到 \(0 = A + C\)，解得 \(A = -1\)。
因此：
3.2.2 部分分式的积分¶
将有理函数分解成部分分式后，我们就可以分别对每个部分分式进行积分。
以下是一些常见的部分分式的积分公式：
- \(\int \frac{1}{x-a} dx = \ln |x-a| + C\)
- \(\int \frac{1}{(x-a)^k} dx = \frac{1}{1-k} (x-a)^{1-k} + C\) (\(k \neq 1\))
- \(\int \frac{x}{x^2+px+q} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2+px+q) - \frac{p}{2} \int \frac{1}{x^2+px+q} dx\) (通过配方可以化为 \(\int \frac{1}{u^2+a^2} du\) 或 \(\int \frac{1}{u^2-a^2} du\) 的形式)
- \(\int \frac{1}{x^2+px+q} dx\) 可以通过配方化为 \(\int \frac{1}{u^2+a^2} du\) 或 \(\int \frac{1}{u^2-a^2} du\) 的形式，然后利用基本积分表中的公式求解。
- \(\int \frac{1}{(x^2+px+q)^k} dx\) 的积分比较复杂，通常需要使用递推公式或者数值方法求解。
例 3.2.4 求 \(\int \frac{x^2 + 1}{(x-1)(x+2)(x-3)} dx\)。
解：
利用例 3.2.1 的结果，我们有：
例 3.2.5 求 \(\int \frac{x}{(x-1)(x^2+1)} dx\)。
解：
利用例 3.2.2 的结果，我们有：
3.2.3 总结¶
有理函数的积分可以通过以下步骤求解：
- 化简： 如果是有理假分式，先通过多项式除法将其化为多项式和真分式之和。
- 分解： 将真分式的分母分解成不可约因式的乘积，然后将真分式分解成部分分式之和。
- 积分： 对每个部分分式进行积分。
- 合并： 将各个部分分式的积分结果合并，得到最终结果。