3.3 可化为有理函数的积分

3.3 可化为有理函数的积分¶

虽然有理函数的积分我们已经有了一套比较完善的解决方法，但在实际应用中，我们遇到的函数并不总是有理函数。然而，对于某些特殊的函数，我们可以通过适当的变量代换，将它们转化为有理函数的积分，从而利用已有的方法进行求解。

本节我们将介绍两种常见的可化为有理函数积分的类型：三角函数有理式 和 简单无理函数的积分。

3.3.1 三角函数有理式的积分 (万能代换)¶

**三角函数有理式**是指可以表示成 \(\frac{P(\sin x, \cos x)}{Q(\sin x, \cos x)}\) 形式的函数，其中 \(P(u, v)\) 和 \(Q(u, v)\) 都是关于 \(u\) 和 \(v\) 的多项式。

对于三角函数有理式的积分，我们可以使用 万能代换 \(t = \tan \frac{x}{2}\) 将其转化为有理函数的积分。

因为：

\[\sin x = \frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2t}{1+t^2}\]

\[\cos x = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}\]

\[x = 2 \arctan t \Rightarrow dx = \frac{2}{1+t^2} dt\]

将上述关系式代入原积分，即可将三角函数有理式的积分转化为关于 \(t\) 的有理函数的积分。

例 3.3.1 求 \(\int \frac{1}{2+\sin x} dx\)。

解：

令 \(t = \tan \frac{x}{2}\)，则 \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(dx = \frac{2}{1+t^2} dt\)。

\[\int \frac{1}{2+\sin x} dx = \int \frac{1}{2 + \frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{1}{t^2 + t + 1} dt\]

\[= \int \frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2t+1}{\sqrt{3}} + C\]

将 \(t = \tan \frac{x}{2}\) 代回，得到：

\[\int \frac{1}{2+\sin x} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}} + C\]

注意： 万能代换虽然 “万能”，但它有时会导致计算变得非常复杂。因此，在使用万能代换之前，我们应该先观察被积函数的特点，看是否可以使用更简单的换元法或分部积分法。

例 3.3.2 求 \(\int \frac{1}{\sin x} dx\)。

解：

此题虽然可以用万能代换求解，但计算较繁。注意到：

\[\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx\]

令 \(u = \cos x\)，则 \(du = -\sin x dx\)。

\[\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx = -\int \frac{1}{1-u^2} du = -\frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} \right) du\]

\[= -\frac{1}{2} (\ln|1+u| - \ln|1-u|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1-u}{1+u} \right| + C\]

将 \(u = \cos x\) 代回，得到：

\[\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C\]

总结： 对于三角函数有理式的积分，万能代换 \(t = \tan \frac{x}{2}\) 是一种通用的方法，但并非总是最佳方法。在实际应用中，我们需要根据被积函数的特点灵活选择积分方法。

3.3.2 简单无理函数的积分¶

**简单无理函数**是指被积函数中包含根式的函数，例如 \(\sqrt{ax+b}\), \(\sqrt[n]{ax+b}\), \(\sqrt{a^2-x^2}\), \(\sqrt{a^2+x^2}\), \(\sqrt{x^2-a^2}\) 等。

对于简单无理函数的积分，通常可以通过适当的变量代换将它们转化为有理函数的积分。

常用的代换方法：

根式代换： 如果被积函数中只包含一个 \(\sqrt[n]{ax+b}\)，可以令 \(t = \sqrt[n]{ax+b}\)，将 \(x\) 和 \(dx\) 用 \(t\) 表示出来，从而将积分转化为关于 \(t\) 的有理函数的积分。
三角代换：
- 如果被积函数中包含 \(\sqrt{a^2-x^2}\)，可以令 \(x = a\sin t\) 或 \(x = a\cos t\)。
- 如果被积函数中包含 \(\sqrt{a^2+x^2}\)，可以令 \(x = a\tan t\)。
- 如果被积函数中包含 \(\sqrt{x^2-a^2}\)，可以令 \(x = a\sec t\)。

例 3.3.3 求 \(\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx\)。

解：

令 \(t = \sqrt{x+1}\)，则 \(x = t^2 - 1\), \(dx = 2t dt\)。

\[\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{t^2-1}{t} \cdot 2t dt = 2 \int (t^2 - 1) dt = \frac{2}{3}t^3 - 2t + C\]

将 \(t = \sqrt{x+1}\) 代回，得到：

\[\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2\sqrt{x+1} + C\]

例 3.3.4 求 \(\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx\)。

解：

令 \(x = \tan t\)，则 \(1+x^2 = \sec^2 t\), \(dx = \sec^2 t dt\)。

\[\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx = \int \frac{1}{(\sec^2 t)^{3/2}} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{\sec t} dt = \int \cos t dt\]

\[= \sin t + C = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C\]

3.3.3 总结¶

对于可化为有理函数的积分，我们需要熟练掌握各种变量代换的技巧，并根据被积函数的特点选择合适的代换方法。通过变量代换，我们可以将复杂的积分转化为简单的积分，从而使问题得到解决。

3.4 习题¶

使用分部积分法求下列不定积分：
- (a) \(\int x \cos x dx\)
- (b) \(\int x^2 e^{-x} dx\)
- © \(\int \arctan x dx\)
- (d) \(\int \ln(x+1) dx\)
求下列有理函数的积分：
- (a) \(\int \frac{2x+3}{x^2 - 5x + 6} dx\)
- (b) \(\int \frac{x^3}{x^2+1} dx\)
- © \(\int \frac{1}{x(x^2+4)} dx\)
求下列可化为有理函数的积分：
- (a) \(\int \frac{1}{3+\cos x} dx\)
- (b) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}} dx\)
- © \(\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} dx\) (提示：令 \(x = t^6\))

以上是 第三章分部积分法与有理函数积分 的内容，重点介绍了分部积分法、有理函数的积分以及可化为有理函数的积分。