4.1 定积分的换元积分法

让我们继续前进，开启 第四章：定积分的计算与应用 的学习之旅！

在前几章中，我们学习了定积分的概念、性质以及计算定积分的一些基本方法 (牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法)。在本章中，我们将继续探讨定积分的计算方法，并深入研究定积分在几何学和物理学中的应用。

第四章：定积分的计算与应用¶

4.1 定积分的换元积分法¶

换元积分法不仅可以用于计算不定积分，也可以用于计算定积分。与不定积分的换元法相比，定积分的换元法需要特别注意**积分限的变换**。

定理： 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，函数 \(x = \psi(t)\) 满足：

(1) \(\psi(\alpha) = a\), \(\psi(\beta) = b\)；
(2) \(\psi(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) (或 \([\beta, \alpha]\)) 上具有连续的导数，且 \(\psi'(t) \neq 0\)。

那么：

\[\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f[\psi(t)] \psi'(t) dt\]

公式解释：

这个公式表示，当我们将积分变量从 \(x\) 换成 \(t\) 时，不仅被积函数要换，积分限也要相应地换成 \(t\) 的积分限。
\(x = a\) 对应于 \(t = \alpha\)，\(x = b\) 对应于 \(t = \beta\)。
新的被积函数为 \(f[\psi(t)]\psi'(t)\)，其中 \(\psi'(t)\) 是 \(x = \psi(t)\) 的导数。

数学公式 (LaTeX):

\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f[\psi(t)] \psi'(t) dt

证明思路： 这个公式的证明可以利用牛顿-莱布尼茨公式和复合函数的求导法则得到，这里略去证明过程。

步骤：

选择合适的变量代换 \(x = \psi(t)\)，并计算 \(dx = \psi'(t) dt\)。
确定新的积分限：当 \(x = a\) 时，\(t = \alpha\)；当 \(x = b\) 时，\(t = \beta\)。
将 \(x\), \(dx\) 以及积分限换成 \(t\) 和 \(dt\)，得到关于 \(t\) 的定积分。
计算关于 \(t\) 的定积分。

例 4.1.1 计算 \(\int_2^3 \frac{x}{\sqrt{x-2}} dx\)。

解：

令 \(t = \sqrt{x-2}\)，则 \(x = t^2 + 2\), \(dx = 2t dt\)。

当 \(x = 2\) 时，\(t = 0\)；当 \(x = 3\) 时，\(t = 1\)。

\[\int_2^3 \frac{x}{\sqrt{x-2}} dx = \int_0^1 \frac{t^2+2}{t} \cdot 2t dt = 2 \int_0^1 (t^2 + 2) dt\]

\[= 2 \left( \frac{1}{3}t^3 + 2t \right) \Big|_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{14}{3}\]

例 4.1.2 计算 \(\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)。

解：

令 \(u = \sin x\)，则 \(du = \cos x dx\)。

当 \(x = 0\) 时，\(u = 0\)；当 \(x = \frac{\pi}{2}\) 时，\(u = 1\)。

\[\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx = \int_0^1 u^3 du = \frac{1}{4}u^4 \Big|_0^1 = \frac{1}{4}\]

例 4.1.3 (证明定积分的变量代换公式) 证明：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(x = \phi(t)\) 满足条件 \(\phi(\alpha) = a, \phi(\beta) = b\), 且 \(\phi(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上可导且导数连续, 则有： \(\(\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt\)\)

证明: 令 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的一个原函数, 则 \(F'(x) = f(x)\) 令 \(G(t) = F(\phi(t))\), 则 \(G'(t) = F'(\phi(t))\phi'(t) = f(\phi(t))\phi'(t)\) 所以 \(G(t)\) 为 \(f(\phi(t))\phi'(t)\) 的一个原函数。由牛顿-莱布尼茨公式： \(\(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)\) \(\(\int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt = G(\beta) - G(\alpha) = F(\phi(\beta)) - F(\phi(\alpha)) = F(b) - F(a)\)\) 因此： \(\(\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt\)\)

注意： 在使用定积分的换元积分法时，一定要注意**换元必换限**，并且要保证新变量 \(t\) 的取值范围能够与原变量 \(x\) 的取值范围一一对应。