4.2 定积分的分部积分法
4.2 定积分的分部积分法¶
与换元积分法类似，分部积分法也可以用于计算定积分。
公式：
\[\int_a^b u dv = uv \Big|_a^b - \int_a^b v du\]
其中 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 在 \([a, b]\) 上具有连续的导数。
公式解释： 定积分的分部积分公式与不定积分的分部积分公式形式上相同，只是多了一个积分限。
数学公式 (LaTeX):
例 4.2.1 计算 \(\int_0^1 xe^x dx\)。
解：
令 \(u = x\), \(dv = e^x dx\)，则 \(du = dx\), \(v = e^x\)。
\[\int_0^1 xe^x dx = xe^x \Big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^x \Big|_0^1) = e - (e - 1) = 1\]
例 4.2.2 计算 \(\int_1^e \ln x dx\)。
解：
令 \(u = \ln x\), \(dv = dx\)，则 \(du = \frac{1}{x} dx\), \(v = x\)。
\[\int_1^e \ln x dx = x\ln x \Big|_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = (e \ln e - 1 \ln 1) - \int_1^e 1 dx = e - (x \Big|_1^e) = e - (e - 1) = 1\]