4.3 定积分在几何学中的应用微分元素法

4.3 定积分在几何学中的应用 -- 微分元素法¶

定积分在几何学中有广泛的应用，例如计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等等。这些应用的基础是**微分元素法**。

4.3.1 微分元素法的思想¶

微分元素法的基本思想是将所求的几何量 (例如面积、体积、弧长等) 分割成许多微小的部分，然后将每个微小部分近似地表示成一个微元 (通常是一个微小的矩形、扇形、圆环、圆柱壳等)，最后通过积分将这些微元 “累积” 起来，得到所求几何量的精确值。

步骤：

分割： 将所求的几何量分割成许多微小的部分。
近似： 将每个微小部分近似地表示成一个微元。
求和： 将所有微元的 “大小” 加起来，得到所求几何量的近似值。
取极限： 将分割无限加细，取极限得到所求几何量的精确值。

关键： 选择合适的微元，并将微元表示成某个变量的函数与该变量的微分的乘积的形式，即 $f(x)dx$ 的形式。

我们通常将 $f(x)dx$ 称为**积分元素** 或 微分元素。

4.3.2 平面图形的面积 (直角坐标系)¶

设平面图形由连续曲线 $y = f(x)$ ($f(x) \geq 0$)、直线 $x = a$, $x = b$ ($a < b$) 以及 $x$ 轴围成，求其面积 $A$。

微元法：

分割： 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x, x+dx]$，对应一个小窄条。
近似： 将每个小窄条近似成一个矩形，其底为 $dx$，高为 $f(x)$。
积分元素： 面积微元 $dA = f(x) dx$。
积分： $A = \int_a^b dA = \int_a^b f(x) dx$。

图形描述： 想象将曲边梯形分割成许多个宽度为 $dx$ 的窄条，每个窄条可以近似看作一个矩形，其面积为 $f(x)dx$。将这些窄条的面积加起来，就得到了曲边梯形的面积。

例 4.3.2.1 求由曲线 $y = x^2$、直线 $x = 1$ 以及 $x$ 轴所围成的图形的面积。

解：

面积元素 $dA = x^2 dx$，积分区间为 $[0, 1]$。

\[A = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}\]

更一般的情形：

如果平面图形由两条连续曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ ($f(x) \geq g(x)$) 以及直线 $x = a$, $x = b$ ($a < b$) 围成，那么其面积为：

\[A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx\]

几何解释： 此时的面积微元可以看作是两个小窄条面积的差，即 $dA = [f(x) - g(x)] dx$。

例4.3.2.2 求由曲线 $y = x$ 和 $y=x^2$ 围成的图形的面积。解：首先需要确定积分的上下限，联立方程组： $$ \begin{cases} y = x \ y = x^2 \end{cases} $$ 得到交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。因此积分区间为 $[0,1]$, 且在区间内 $x \ge x^2$。面积微元为 $dA = (x-x^2)dx$。所以面积为 $A = \int_0^1 (x-x^2)dx = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3)\Big|_0^1 = \frac{1}{6}$

4.3.3 平面图形的面积 (极坐标系)¶

在极坐标系下，曲线通常由 $\rho = \rho(\theta)$ 的形式给出，其中 $\rho$ 表示极径，$\theta$ 表示极角。

推导面积公式：

考虑由曲线 $\rho = \rho(\theta)$ 和两条射线 $\theta = \alpha$, $\theta = \beta$ ($\alpha < \beta$) 所围成的曲边扇形。

分割： 将角度区间 $[\alpha, \beta]$ 分成 $n$ 个小区间 $[\theta, \theta + d\theta]$，对应一个小曲边扇形。
近似： 当 $d\theta$ 很小时，可以将每个小曲边扇形近似看作一个扇形，其半径为 $\rho(\theta)$，圆心角为 $d\theta$。
积分元素： 扇形面积微元 $dA = \frac{1}{2} \rho^2(\theta) d\theta$。
积分： 曲边扇形的面积为 $A = \int_\alpha^\beta dA = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2} \rho^2(\theta) d\theta$。

公式：

\[A = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2} \rho^2(\theta) d\theta\]

图形描述： 想象一个由曲线和两条射线围成的曲边扇形。将这个曲边扇形分割成许多个顶角为 $d\theta$ 的小曲边扇形。每个小曲边扇形都可以近似看作一个扇形，其面积为 $\frac{1}{2}\rho^2(\theta) d\theta$。将这些小扇形的面积加起来，就得到了曲边扇形的面积。

(Obsidian 绘图建议：) 你可以在 Obsidian 中使用 Excalidraw 插件绘制一个曲边扇形，并在其中画一个顶角为 $d\theta$ 的小曲边扇形，将其近似表示为一个扇形，并标示出面积微元 $dA = \frac{1}{2}\rho^2(\theta) d\theta$。

例 4.3.5 求阿基米德螺线 $\rho = a\theta$ ($a > 0$) 从 $\theta = 0$ 到 $\theta = 2\pi$ 所围成的图形的面积。

解：

\[A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (a\theta)^2 d\theta = \frac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} \theta^2 d\theta = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{3}\theta^3 \Big|_0^{2\pi} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2\]

例 4.3.6 求心形线 $\rho = a(1+\cos \theta)$ ($a > 0$) 所围成的图形的面积。

解：

心形线关于极轴对称，因此我们只需要计算 $\theta$ 从 0 到 $\pi$ 的面积，然后乘以 2 即可。

\[A = 2 \int_0^\pi \frac{1}{2} [a(1+\cos \theta)]^2 d\theta = a^2 \int_0^\pi (1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta\]

\[= a^2 \int_0^\pi \left( 1 + 2\cos \theta + \frac{1+\cos 2\theta}{2} \right) d\theta = a^2 \left( \frac{3}{2}\theta + 2\sin \theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \right) \Big|_0^\pi = \frac{3}{2}\pi a^2\]

4.3.3.1 极坐标系下的面积元素

在极坐标系下，面积元素可以表示为 $dA = \frac{1}{2}\rho^2 d\theta$。这个公式可以理解为：当 $d\theta$ 很小时，小曲边扇形可以近似为一个三角形，其底边为 $\rho d\theta$ (弧长)，高为 $\rho$，因此面积近似为 $\frac{1}{2} \rho \cdot \rho d\theta = \frac{1}{2}\rho^2 d\theta$。

4.3.3.2 常见曲线的极坐标方程

圆： $\rho = a$ (圆心在极点，半径为 $a$)；$\rho = 2a\cos \theta$ (圆心在 $(a, 0)$，半径为 $a$)；$\rho = 2a\sin \theta$ (圆心在 $(0, a)$，半径为 $a$)。
直线： $\theta = \alpha$ (过极点，倾角为 $\alpha$ 的射线)；$\rho \cos \theta = a$ (过点 $(a, 0)$ 且垂直于极轴的直线)；$\rho \sin \theta = a$ (过点 $(a, \frac{\pi}{2})$ 且平行于极轴的直线)。
阿基米德螺线： $\rho = a\theta$ ($a > 0$)。
对数螺线： $\rho = ae^{k\theta}$ ($a > 0$, $k > 0$)。
心形线： $\rho = a(1 \pm \cos \theta)$ 或 $\rho = a(1 \pm \sin \theta)$ ($a > 0$)。
玫瑰线： $\rho = a\cos n\theta$ 或 $\rho = a\sin n\theta$ ($a > 0$, $n$ 为正整数)。当 $n$ 为奇数时，玫瑰线有 $n$ 个花瓣；当 $n$ 为偶数时，玫瑰线有 $2n$ 个花瓣。
双纽线： $\rho^2 = a^2 \cos 2\theta$ 或 $\rho^2 = a^2 \sin 2\theta$ ($a > 0$)。

4.3.3.3 例题与技巧

在计算极坐标系下的面积时，需要注意以下几点：

确定积分限： 根据图形确定 $\theta$ 的变化范围。
对称性： 如果图形具有对称性，可以利用对称性简化计算。
积分技巧： 计算过程中可能需要使用一些三角函数的积分公式，例如倍角公式、半角公式等。

例 4.3.7 求双纽线 $\rho^2 = a^2 \cos 2\theta$ 所围成的图形的面积。

解：

双纽线关于极轴和极点都对称，因此我们只需要计算第一象限内的面积，然后乘以 4 即可。

在第一象限内，$\theta$ 的变化范围为 $[0, \frac{\pi}{4}]$。

\[A = 4 \int_0^{\pi/4} \frac{1}{2} \rho^2 d\theta = 4 \int_0^{\pi/4} \frac{1}{2} a^2 \cos 2\theta d\theta = 2a^2 \int_0^{\pi/4} \cos 2\theta d\theta\]

\[= 2a^2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2\theta \Big|_0^{\pi/4} = a^2 (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) = a^2\]

4.3.4 旋转体的体积¶

旋转体**是指由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周所成的立体。这条定直线称为**旋转轴。

我们将分别讨论绕 $x$ 轴旋转和绕 $y$ 轴旋转两种情况。

4.3.4.1 绕 $x$ 轴旋转¶

设平面图形由连续曲线 $y = f(x)$ ($f(x) \geq 0$)、直线 $x = a$, $x = b$ ($a < b$) 以及 $x$ 轴围成。将此图形绕 $x$ 轴旋转一周，得到一个旋转体。

微元法：

分割： 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x, x+dx]$，对应一个薄片。
近似： 将每个薄片近似看作一个底面半径为 $f(x)$，高为 $dx$ 的小圆柱体 (圆盘)。
积分元素： 小圆柱体的体积微元 $dV = \pi [f(x)]^2 dx$。
积分： 旋转体的体积为 $V = \int_a^b dV = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx$。

公式：

\[V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx\]

图形描述： 想象一个曲边梯形绕着 $x$ 轴旋转一周，形成一个立体。将这个立体切成许多薄片，每个薄片都近似于一个圆盘，其体积为 $\pi [f(x)]^2 dx$。将这些薄片的体积加起来，就得到了旋转体的体积。

(Obsidian 绘图建议：) 你可以使用 Obsidian 的 Excalidraw 插件绘制一个曲边梯形绕 $x$ 轴旋转的示意图，并在其中画一个薄片，将其近似表示为一个圆盘，并标示出体积微元 $dV = \pi [f(x)]^2 dx$。

例 4.3.8 求由曲线 $y = x^2$、直线 $x = 1$ 以及 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

解：

体积元素 $dV = \pi (x^2)^2 dx = \pi x^4 dx$，积分区间为 $[0, 1]$。

\[V = \int_0^1 \pi x^4 dx = \pi \cdot \frac{1}{5}x^5 \Big|_0^1 = \frac{\pi}{5}\]

更一般的情形：

如果旋转体是由两条连续曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ ($f(x) \geq g(x) \geq 0$) 以及直线 $x = a$, $x = b$ ($a < b$) 围成的图形绕 $x$ 轴旋转得到的，那么其体积为：

\[V = \int_a^b \pi \{[f(x)]^2 - [g(x)]^2\} dx\]

几何解释： 此时的体积微元可以看作是一个 “空心” 圆盘，其体积为大圆盘的体积减去小圆盘的体积，即 $dV = \pi [f(x)]^2 dx - \pi [g(x)]^2 dx = \pi \{[f(x)]^2 - [g(x)]^2\} dx$。

4.3.4.2 绕 $y$ 轴旋转¶

设平面图形由连续曲线 $x = \phi(y)$ ($\phi(y) \geq 0$)、直线 $y = c$, $y = d$ ($c < d$) 以及 $y$ 轴围成。将此图形绕 $y$ 轴旋转一周，得到一个旋转体。

微元法：

分割： 将区间 $[c, d]$ 分成 $n$ 个小区间 $[y, y+dy]$，对应一个薄片。
近似： 将每个薄片近似看作一个底面半径为 $\phi(y)$，高为 $dy$ 的小圆柱体 (圆盘)。
积分元素： 小圆柱体的体积微元 $dV = \pi [\phi(y)]^2 dy$。
积分： 旋转体的体积为 $V = \int_c^d dV = \int_c^d \pi [\phi(y)]^2 dy$。

公式：

\[V = \int_c^d \pi [\phi(y)]^2 dy\]

例 4.3.9 求由曲线 $y = x^2$、直线 $y = 1$ 以及 $y$ 轴所围成的图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

解：

首先将曲线方程改写为 $x = \sqrt{y}$ (因为图形在 $y$ 轴右侧，所以取正的平方根)。

体积元素 $dV = \pi (\sqrt{y})^2 dy = \pi y dy$，积分区间为 $[0, 1]$。

\[V = \int_0^1 \pi y dy = \pi \cdot \frac{1}{2}y^2 \Big|_0^1 = \frac{\pi}{2}\]

更一般的情形：

如果旋转体是由两条连续曲线 $x = \phi(y)$ 和 $x = \psi(y)$ ($\phi(y) \geq \psi(y) \geq 0$) 以及直线 $y = c$, $y = d$ ($c < d$) 围成的图形绕 $y$ 轴旋转得到的，那么其体积为：

\[V = \int_c^d \pi \{[\phi(y)]^2 - [\psi(y)]^2\} dy\]

4.3.4.3 绕其他直线旋转 (选学)¶

对于绕其他直线旋转的情况，我们可以通过坐标平移将问题转化为绕坐标轴旋转的问题。

例如，如果要求图形绕直线 $x = a$ 旋转所得旋转体的体积，我们可以先将图形向左平移 $|a|$ 个单位，然后绕 $y$ 轴旋转，最后再将得到的体积进行计算。

4.3.4.4 例题与技巧¶

在计算旋转体的体积时，需要注意以下几点：

正确选择积分变量： 根据旋转轴选择合适的积分变量，如果绕 $x$ 轴旋转，则选择 $x$ 作为积分变量；如果绕 $y$ 轴旋转，则选择 $y$ 作为积分变量。
正确确定积分限： 根据图形确定积分变量的取值范围。
正确写出积分元素： 根据旋转体的形状，正确写出体积微元 $dV$。

例 4.3.10 求由曲线 $y = \sin x$ ($0 \leq x \leq \pi$) 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

解：

体积元素 $dV = \pi \sin^2 x dx$，积分区间为 $[0, \pi]$。

\[V = \int_0^\pi \pi \sin^2 x dx = \pi \int_0^\pi \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \pi \left( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x \right) \Big|_0^\pi = \frac{\pi^2}{2}\]

4.3.5 平行截面面积已知的立体体积¶

除了旋转体之外，还有许多其他类型的立体，它们的体积也可以用定积分来计算。其中一种常见的情况是：已知立体在垂直于某坐标轴的各个截面上的面积。

基本思想：

假设一个立体位于平面 $x = a$ 和 $x = b$ 之间 ($a < b$)，并且对于每一个 $x \in [a, b]$，该立体在垂直于 $x$ 轴且过点 $x$ 的平面上的截面面积 $A(x)$ 是已知的 (或可以表示成 $x$ 的函数)。

微元法：

分割： 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x, x+dx]$，对应一个薄片。
近似： 将每个薄片近似看作一个底面积为 $A(x)$，高为 $dx$ 的薄柱体。
积分元素： 薄柱体的体积微元 $dV = A(x) dx$。
积分： 立体的体积为 $V = \int_a^b dV = \int_a^b A(x) dx$。

公式：

\[V = \int_a^b A(x) dx\]

图形描述： 想象一个不规则的立体，你可以用一把刀沿着垂直于 $x$ 轴的方向把它切成许多薄片。每个薄片的厚度为 $dx$，底面积为 $A(x)$。将这些薄片的体积加起来，就得到了立体的体积。

(Obsidian 绘图建议：) 你可以在 Obsidian 中使用 Excalidraw 插件绘制一个不规则的立体，并画出一个薄片，将其近似表示为一个薄柱体，并标示出体积微元 $dV = A(x) dx$。

例 4.3.5.1 求底面为半径为 $r$ 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。¶

解：

以圆心为原点，固定直径为 $x$ 轴建立直角坐标系。则底面圆的方程为 $x^2 + y^2 = r^2$。

对于每一个 $x \in [-r, r]$，垂直于 $x$ 轴的截面是一个等边三角形，其边长为 $2y = 2\sqrt{r^2 - x^2}$，面积为：

\[A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{r^2 - x^2})^2 = \sqrt{3}(r^2 - x^2)\]

因此，立体的体积为：

\[V = \int_{-r}^r A(x) dx = \int_{-r}^r \sqrt{3}(r^2 - x^2) dx = \sqrt{3} \left( r^2x - \frac{1}{3}x^3 \right) \Big|_{-r}^r = \frac{4\sqrt{3}}{3}r^3\]

例 4.3.5.2 计算由椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 所围成的立体的体积。¶

解：

对于每一个 $x \in [-a, a]$，垂直于 $x$ 轴的截面是一个椭圆，其方程为：

\[\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2}\]

即：

\[\frac{y^2}{(b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}})^2} + \frac{z^2}{(c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}})^2} = 1\]

该椭圆的面积为：

\[A(x) = \pi \cdot b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \cdot c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} = \pi bc \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right)\]

因此，椭球体的体积为：

\[V = \int_{-a}^a A(x) dx = \int_{-a}^a \pi bc \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) dx = \pi bc \left( x - \frac{x^3}{3a^2} \right) \Big|_{-a}^a = \frac{4}{3}\pi abc\]

总结：

利用平行截面面积已知的条件计算立体体积的关键在于：

选择合适的坐标轴： 使得截面面积容易表示。
计算截面面积： 将截面面积表示成所选坐标的函数。
确定积分限： 根据立体的范围确定积分变量的取值范围。

4.3.6 旋转体的侧面积¶

**旋转体的侧面积**是指旋转体的外表面面积 (不包括底面)。

设曲线 $y = f(x)$ ($f(x) \geq 0$) 在区间 $[a, b]$ 上连续且具有连续的导数。将该曲线绕 $x$ 轴旋转一周，得到一个旋转曲面，求其侧面积 $S$。

微元法：

分割： 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x, x+dx]$，对应一小段曲线。
近似： 将每小段曲线近似看作一段小圆台的侧面，其侧面积可以近似表示为：$2\pi f(x) ds$，其中 $ds$ 为曲线的弧长微元，$ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。
积分元素： 侧面积微元 $dS = 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。
积分： 旋转体的侧面积为 $S = \int_a^b dS = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。

公式：

\[S = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx\]

图形描述： 想象一条曲线绕 $x$ 轴旋转形成一个曲面。将这个曲面分割成许多窄带，每个窄带可以近似看作一个圆台的侧面，其面积为 $2\pi f(x) ds$。将这些窄带的面积加起来，就得到了旋转体的侧面积。

(Obsidian 绘图建议：) 你可以在 Obsidian 中使用 Excalidraw 插件绘制一条曲线绕 $x$ 轴旋转的示意图，并在其中画一个窄带，将其近似表示为一个圆台的侧面，并标示出侧面积微元 $dS = 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。

例 4.3.6.1 求圆锥的侧面积，该圆锥是由直线 $y = \frac{r}{h}x$ ($0 \leq x \leq h$) 绕 $x$ 轴旋转得到的。¶

解：

这里 $f(x) = \frac{r}{h}x$, $f'(x) = \frac{r}{h}$。

侧面积微元 $dS = 2\pi \frac{r}{h}x \sqrt{1 + (\frac{r}{h})^2} dx = 2\pi \frac{r}{h} \sqrt{\frac{h^2+r^2}{h^2}} x dx = \frac{2\pi r \sqrt{h^2+r^2}}{h^2} x dx$

\[S = \int_0^h \frac{2\pi r \sqrt{h^2+r^2}}{h^2} x dx = \frac{2\pi r \sqrt{h^2+r^2}}{h^2} \cdot \frac{1}{2}x^2 \Big|_0^h = \pi r \sqrt{h^2+r^2}\]

我们也可以直接使用微元法, 取微元为圆台的侧面, 则侧面积微元为: $dS = 2\pi y ds$, 其中 $ds = \sqrt{1+(\frac{r}{h})^2}dx$ 则$dS = 2\pi \frac{r}{h}x \sqrt{1+(\frac{r}{h})^2}dx = \frac{2\pi r\sqrt{r^2+h^2}}{h^2}xdx$ 积分得到: $\(S = \int_0^h \frac{2\pi r\sqrt{r^2+h^2}}{h^2}xdx = \pi r\sqrt{r^2+h^2}$\) 该结果与利用几何方法算出的结果相同。

例 4.3.6.2 求球面 (半径为 $R$) 的面积。¶

解：

球面可以看作是由半圆 $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ ($-R \leq x \leq R$) 绕 $x$ 轴旋转得到的。

这里 $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, $f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$。

\[1 + [f'(x)]^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}\]

侧面积微元 $dS = 2\pi \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} dx = 2\pi R dx$。

\[S = \int_{-R}^R 2\pi R dx = 2\pi R \cdot x \Big|_{-R}^R = 4\pi R^2\]

4.3.6.1 侧面积公式的推导

我们来详细推导一下旋转体侧面积的公式。

考虑曲线 $y=f(x)$ 上的一小段弧 $ds$，将其绕 $x$ 轴旋转一周，得到一个近似于圆台的窄带。

窄带的“周长”： 由于 $y=f(x)$，窄带上下底的半径分别约为 $f(x)$ 和 $f(x+dx)$，因此窄带的“周长”可以近似为 $2\pi f(x)$。
窄带的“斜高”： 窄带的“斜高”可以近似为弧长微元 $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。
窄带的侧面积： 窄带的侧面积可以近似为“周长”乘以“斜高”，即 $2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。

将所有窄带的侧面积加起来，并取极限，就得到了旋转体侧面积的积分公式：

\[S = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx\]

4.3.6.2 例题与技巧

计算旋转体侧面积的关键在于：

正确写出侧面积微元： $dS = 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$ (绕 $x$ 轴旋转) 或 $dS = 2\pi \phi(y) \sqrt{1 + [\phi'(y)]^2} dy$ (绕 $y$ 轴旋转)。
正确确定积分限： 根据曲线的范围确定积分变量的取值范围。

例 4.3.15 求曲线 $y = \frac{x^3}{3}$ ($0 \leq x \leq 1$) 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积。

解：

$f(x) = \frac{x^3}{3}$, $f'(x) = x^2$, $1 + [f'(x)]^2 = 1 + x^4$。

侧面积微元 $dS = 2\pi \frac{x^3}{3} \sqrt{1+x^4} dx$。

\[S = \int_0^1 2\pi \frac{x^3}{3} \sqrt{1+x^4} dx\]

令 $u = 1 + x^4$, 则 $du = 4x^3 dx$。

\[S = \frac{\pi}{6} \int_1^2 \sqrt{u} du = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^2 = \frac{\pi}{9}(2\sqrt{2} - 1)\]

4.3.7 曲线的弧长 (直角坐标系)¶

**弧长**是指一段曲线的长度。

设曲线 $C$ 的方程为 $y = f(x)$，其中 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上具有连续的导数。我们要计算曲线 $C$ 在 $[a, b]$ 上的弧长 $s$。

微元法：

分割： 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x, x+dx]$，对应曲线上一小段弧。
近似： 将每小段弧近似看作一段直线，其长度可以用弦长来近似，即 $\sqrt{dx^2 + dy^2}$。
积分元素： 弧长微元 $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。
积分： 曲线的弧长为 $s = \int_a^b ds = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。

公式：

\[s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx\]

图形描述： 想象一条曲线，将它分割成许多小段。每一小段都可以近似看作一条直线，其长度为 $\sqrt{dx^2 + dy^2}$。将这些小线段的长度加起来，就得到了曲线的弧长。

(Obsidian 绘图建议：) 你可以在 Obsidian 中使用 Excalidraw 插件绘制一条曲线，并在其中画一小段弧，将其近似表示为一条直线，并标示出弧长微元 $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$。

例 4.3.16 求曲线 $y = x^{3/2}$ 从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的弧长。

解：

$f(x) = x^{3/2}$, $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$, $1 + [f'(x)]^2 = 1 + \frac{9}{4}x$。

\[s = \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx\]

令 $u = 1 + \frac{9}{4}x$, 则 $du = \frac{9}{4} dx$。

\[s = \int_1^{13/4} \sqrt{u} \cdot \frac{4}{9} du = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^{13/4} = \frac{8}{27} \left( \left(\frac{13}{4}\right)^{3/2} - 1 \right) = \frac{8}{27} \left( \frac{13\sqrt{13}}{8} - 1 \right) = \frac{13\sqrt{13} - 8}{27}\]

例 4.3.17 求星形线 $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ 的全长。

解：

星形线关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称，因此我们只需要计算第一象限内的弧长，然后乘以 4 即可。

在第一象限内，$y = (a^{2/3} - x^{2/3})^{3/2}$。

\[y' = \frac{3}{2}(a^{2/3} - x^{2/3})^{1/2} \cdot (-\frac{2}{3}x^{-1/3}) = -x^{-1/3}(a^{2/3} - x^{2/3})^{1/2}\]

\[1 + (y')^2 = 1 + x^{-2/3}(a^{2/3} - x^{2/3}) = \frac{a^{2/3}}{x^{2/3}}\]

\[\sqrt{1+(y')^2} = a^{1/3}x^{-1/3}\]

弧长微元 $ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx = a^{1/3}x^{-1/3} dx$。

积分限为 $[0, a]$，但由于 $x^{-1/3}$ 在 $x=0$ 处无界，所以这是一个反常积分。

\[s = 4 \int_0^a a^{1/3}x^{-1/3} dx = 4a^{1/3} \cdot \frac{3}{2} x^{2/3} \Big|_0^a = 6a\]

总结：

计算曲线弧长的关键在于：

正确写出弧长微元： $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$ (直角坐标系)。
正确确定积分限： 根据曲线的范围确定积分变量的取值范围。

4.3.8 曲线的弧长 (参数方程)¶

在很多情况下，曲线的方程用参数方程的形式给出更为方便。设曲线 $C$ 的参数方程为：

\[\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \quad t \in [\alpha, \beta]\]

其中 $x(t)$ 和 $y(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有连续的导数。

推导弧长公式：

我们可以将参数方程看作是从 $t$ 坐标轴到 $x$-$y$ 平面的一个映射。当 $t$ 从 $\alpha$ 变化到 $\beta$ 时，点 $(x(t), y(t))$ 描绘出曲线 $C$。

考虑曲线上对应于 $[t, t+dt]$ 的一小段弧，根据弧长微元的定义，这段弧的长度 $ds$ 可以近似表示为：

\[ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}\]

其中 $dx = x'(t) dt$, $dy = y'(t) dt$。将它们代入上式，得到：

\[ds = \sqrt{[x'(t) dt]^2 + [y'(t) dt]^2} = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt\]

对 $ds$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ 积分，就得到了曲线 $C$ 的弧长：

\[s = \int_\alpha^\beta ds = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt\]

公式：

\[s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt\]

几何解释： 参数方程下的弧长公式可以理解为：将曲线分割成许多小段，每一小段都对应着参数 $t$ 的一个微小变化 $dt$。将这些小段的弧长加起来，就得到了曲线的总弧长。

例 4.3.18 求星形线 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) 的全长。

解：

\[x'(t) = -3a\cos^2 t \sin t, \quad y'(t) = 3a\sin^2 t \cos t\]

\[[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t\]

\[\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = 3a |\cos t \sin t|\]

由于星形线的对称性，我们只需要计算第一象限内的弧长 ($0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$)，然后乘以 4 即可。

\[s = 4 \int_0^{\pi/2} 3a \cos t \sin t dt = 12a \int_0^{\pi/2} \cos t \sin t dt\]

令 $u = \sin t$, 则 $du = \cos t dt$。

\[s = 12a \int_0^1 u du = 12a \cdot \frac{1}{2}u^2 \Big|_0^1 = 6a\]

例 4.3.19 求摆线 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($a > 0$) 一拱 ($0 \leq t \leq 2\pi$) 的弧长。

解：

\[x'(t) = a(1 - \cos t), \quad y'(t) = a\sin t\]

\[[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + a^2 \sin^2 t = a^2(2 - 2\cos t) = 4a^2 \sin^2 \frac{t}{2}\]

\[\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = 2a \left| \sin \frac{t}{2} \right|\]

由于 $0 \leq t \leq 2\pi$，所以 $\sin \frac{t}{2} \geq 0$。

\[s = \int_0^{2\pi} 2a \sin \frac{t}{2} dt = 2a \cdot (-2 \cos \frac{t}{2}) \Big|_0^{2\pi} = -4a (\cos \pi - \cos 0) = 8a\]

例 4.3.20 (对数螺线) 求对数螺线 $\rho = ae^{k\theta}$ 在 $\theta \in [0, \beta]$ 之间的弧长。

解: 这条曲线也可以用参数方程表示: $\(x = \rho \cos \theta = ae^{k\theta}\cos\theta$\) $\(y = \rho \sin \theta = ae^{k\theta}\sin\theta$\) 求导得到: $\(x'(\theta) = ake^{k\theta}\cos\theta - ae^{k\theta}\sin\theta = ae^{k\theta}(k\cos\theta-\sin\theta)$\) $\(y'(\theta) = ake^{k\theta}\sin\theta + ae^{k\theta}\cos\theta = ae^{k\theta}(k\sin\theta+\cos\theta)$\) 因此: $\((x')^2 + (y')^2 = a^2e^{2k\theta}((k\cos\theta-\sin\theta)^2 + (k\sin\theta+\cos\theta)^2) = a^2e^{2k\theta}(k^2+1)$\) $\(\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = ae^{k\theta}\sqrt{k^2+1}$\) 弧长微元: $\(ds = ae^{k\theta}\sqrt{k^2+1}d\theta$\) 弧长为: $\(s = \int_0^\beta ae^{k\theta}\sqrt{k^2+1} d\theta = a\sqrt{k^2+1} \frac{1}{k} e^{k\theta} \Big|_0^\beta = \frac{a\sqrt{k^2+1}}{k}(e^{k\beta} - 1)$\)

总结：

计算参数方程形式的曲线弧长，关键在于：

正确写出弧长微元： $ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$。
正确确定积分限： 根据参数 $t$ 的变化范围确定积分限。

4.3.9 曲线的弧长 (极坐标系)¶

如果曲线 $C$ 由极坐标方程 $\rho = \rho(\theta)$ 给出，其中 $\rho(\theta)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上具有连续的导数，我们可以将极坐标方程转化为参数方程：

\[\begin{cases} x = \rho(\theta) \cos \theta \\ y = \rho(\theta) \sin \theta \end{cases}\]

然后利用参数方程的弧长公式来计算曲线 $C$ 的弧长。

将 $x$ 和 $y$ 分别对 $\theta$ 求导，得到：

\[x'(\theta) = \rho'(\theta) \cos \theta - \rho(\theta) \sin \theta\]

\[y'(\theta) = \rho'(\theta) \sin \theta + \rho(\theta) \cos \theta\]

计算 $[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2$：

\[[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2 = [\rho'(\theta) \cos \theta - \rho(\theta) \sin \theta]^2 + [\rho'(\theta) \sin \theta + \rho(\theta) \cos \theta]^2\]

\[= [\rho'(\theta)]^2 \cos^2 \theta - 2\rho'(\theta)\rho(\theta)\cos \theta \sin \theta + [\rho(\theta)]^2 \sin^2 \theta + [\rho'(\theta)]^2 \sin^2 \theta + 2\rho'(\theta)\rho(\theta)\cos \theta \sin \theta + [\rho(\theta)]^2 \cos^2 \theta\]

\[= [\rho'(\theta)]^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + [\rho(\theta)]^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = [\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2\]

因此，弧长微元为：

\[ds = \sqrt{[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2} d\theta = \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta\]

从而得到极坐标系下曲线弧长的计算公式：

\[s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta\]

公式：

\[s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta\]

例 4.3.21 求阿基米德螺线 $\rho = a\theta$ ($a > 0$) 上相应于 $\theta$ 从 0 到 $2\pi$ 的一段弧长。

解：

$\rho'(\theta) = a$, $[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2 = a^2 + a^2\theta^2 = a^2(1+\theta^2)$。

\[s = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1+\theta^2)} d\theta = a \int_0^{2\pi} \sqrt{1+\theta^2} d\theta\]

利用第二类换元积分法，令 $\theta = \tan t$，则 $d\theta = \sec^2 t dt$。

当 $\theta = 0$ 时，$t = 0$；当 $\theta = 2\pi$ 时，$t = \arctan 2\pi$。

\[s = a \int_0^{\arctan 2\pi} \sec t \cdot \sec^2 t dt = a \int_0^{\arctan 2\pi} \sec^3 t dt\]

利用分部积分法可以计算出 $\int \sec^3 t dt = \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln |\sec t + \tan t| + C$ (具体计算过程略)。

因此：

\[s = a \left[ \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln |\sec t + \tan t| \right]_0^{\arctan 2\pi} = a \left[ \frac{1}{2} (2\pi) \sqrt{1+4\pi^2} + \frac{1}{2}\ln(2\pi + \sqrt{1+4\pi^2}) \right]\]

\[= a \left[ \pi \sqrt{1+4\pi^2} + \frac{1}{2}\ln(2\pi + \sqrt{1+4\pi^2}) \right]\]

例 4.3.22 求心形线 $\rho = a(1+\cos \theta)$ 的全长。

解：

$\rho'(\theta) = -a\sin \theta$, $[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2 = a^2\sin^2 \theta + a^2(1+\cos \theta)^2 = 2a^2(1+\cos \theta) = 4a^2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$。

由于心形线关于极轴对称，我们只需要计算 $\theta$ 从 0 到 $\pi$ 的弧长，然后乘以 2 即可。

\[s = 2 \int_0^\pi \sqrt{4a^2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} d\theta = 4a \int_0^\pi \left| \cos \frac{\theta}{2} \right| d\theta = 4a \int_0^\pi \cos \frac{\theta}{2} d\theta\]

\[= 8a \sin \frac{\theta}{2} \Big|_0^\pi = 8a\]

总结：

计算极坐标系下曲线弧长的关键在于：

正确写出弧长微元： $ds = \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta$。
正确确定积分限： 根据 $\theta$ 的变化范围确定积分限。

至此，我们已经学习了定积分在几何学中的三个重要应用：平面图形的面积、旋转体的体积和曲线的弧长。接下来，我们将进入 4.4 定积分在物理学中的应用。

4.3 定积分在几何学中的应用微分元素法