4.4 4.5 4.6

4.4 定积分在物理学中的应用¶

定积分不仅在几何学中有着广泛的应用，在物理学中也是一个强有力的工具。许多物理量都可以通过定积分来定义或计算。下面我们介绍几个常见的例子。

4.4.1 变力做功¶

在物理学中，功的定义是力与位移的乘积。但是，如果力的大小不是恒定的，而是随着物体位置的变化而变化，即力是位移的函数 $F(x)$，那么我们就需要使用定积分来计算变力所做的功。

假设一个物体在变力 $F(x)$ 的作用下，沿着 $x$ 轴从点 $a$ 移动到点 $b$。

微元法：

分割： 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x, x+dx]$。
近似： 在每个小区间上，力 $F(x)$ 可以近似看作常数，物体所受的功可以近似为 $F(x)dx$。
积分元素： 功的微元 $dW = F(x) dx$。
积分： 变力 $F(x)$ 所做的总功为 $W = \int_a^b dW = \int_a^b F(x) dx$。

公式：

\[W = \int_a^b F(x) dx\]

例 4.4.1 一根弹簧的自然长度为 $l_0$，劲度系数为 $k$。将弹簧的一端固定，另一端从平衡位置拉伸至长度为 $l$ 处，求拉力所做的功。

解：

根据胡克定律，拉伸弹簧所需的力 $F(x) = kx$，其中 $x$ 是弹簧的伸长量。

当弹簧长度为 $l$ 时，伸长量为 $l - l_0$。

\[W = \int_0^{l-l_0} kx dx = \frac{1}{2}kx^2 \Big|_0^{l-l_0} = \frac{1}{2}k(l-l_0)^2\]

例 4.4.2 将质量为 $m$ 的物体从地球表面竖直向上发射到距离地面高度为 $h$ 的轨道，求地球引力所做的功 (不考虑空气阻力)。

解：

设地球的半径为 $R$，质量为 $M$。根据万有引力定律，物体在距离地心为 $x$ 处所受的地球引力为：

\[F(x) = \frac{GMm}{x^2}\]

其中 $G$ 为万有引力常数。由于引力的方向与位移的方向相反，所以引力做负功。

\[W = \int_R^{R+h} -\frac{GMm}{x^2} dx = GMm \left( \frac{1}{x} \right) \Big|_R^{R+h} = GMm \left( \frac{1}{R+h} - \frac{1}{R} \right) = -\frac{GMmh}{R(R+h)}\]

4.4.2 水压力¶

考虑一个面积为 $A$ 的平板水平放置在深度为 $h$ 的水中，则平板一侧所受的静水压力为：

\[P = \rho g h A\]

其中 $\rho$ 是水的密度，$g$ 是重力加速度。

但是，如果平板不是水平放置，而是垂直放置或倾斜放置，那么平板上各点所受的压强是不同的，这时就需要用定积分来计算水压力。

基本思想：

将平板分割成许多水平的细条，每个细条可以近似看作一个矩形，其深度可以近似看作常数，从而可以计算出该细条所受的水压力。然后将所有细条所受的水压力加起来，即得到平板所受的总水压力。

例 4.4.3 一个半径为 $r$ 的圆形平板，垂直放置在水中，其圆心在水面以下深度为 $h$ 处 ($h > r$)。求平板一侧所受的水压力。

解：

以圆心为原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直向上为 $y$ 轴建立直角坐标系。则圆的方程为 $x^2 + y^2 = r^2$。

考虑在深度为 $h-y$ 处取一个宽度为 $dy$ 的水平细条，该细条的长度为 $2x = 2\sqrt{r^2 - y^2}$，面积近似为 $2\sqrt{r^2 - y^2} dy$。

该细条所受的水压力为：

\[dP = \rho g (h-y) \cdot 2\sqrt{r^2 - y^2} dy\]

对 $dP$ 从 $-r$ 到 $r$ 积分，得到平板一侧所受的总水压力：

\[P = \int_{-r}^r 2\rho g (h-y) \sqrt{r^2 - y^2} dy = 2\rho g \left( h \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - y^2} dy - \int_{-r}^r y\sqrt{r^2 - y^2} dy \right)\]

利用对称性可知，$\int_{-r}^r y\sqrt{r^2 - y^2} dy = 0$。而 $\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - y^2} dy$ 表示半圆的面积，等于 $\frac{1}{2}\pi r^2$。

因此：

\[P = 2\rho g h \cdot \frac{1}{2}\pi r^2 = \rho g h \pi r^2\]

例 4.4.4 一个上底为 $a$，下底为 $b$，高为 $h$ 的等腰梯形闸门，垂直放置在水中，上底与水面齐平。求闸门一侧所受的水压力。

解: 建立坐标系, 以水平方向为 $x$ 轴, 垂直向下为 $y$ 轴, 上底中心为原点. 则根据相似三角形, 水深为 $y$ 处, 梯形水平宽度为: $w(y) = a + \frac{b-a}{h}y$, 积分元素为 $dP = \rho g y w(y) dy = \rho g (ay + \frac{b-a}{h}y^2)dy$. 则总压力为: $P = \int_0^h \rho g (ay + \frac{b-a}{h}y^2) dy = \rho g (\frac{a}{2}y^2 + \frac{b-a}{3h}y^3)|_0^h = \rho g (\frac{a}{2}h^2 + \frac{b-a}{3}h^2) = \rho g h^2 \frac{a+2b}{6}$

4.4.3 引力¶

根据万有引力定律，两个质点之间的引力大小为：

\[F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\]

其中 $G$ 为万有引力常数，$m_1$ 和 $m_2$ 分别为两个质点的质量，$r$ 为它们之间的距离。

对于非质点的物体，我们需要将物体分割成许多小块，每一小块可以近似看作质点，然后利用定积分将所有小块之间的引力加起来。

例 4.4.5 求质量为 $M$，半径为 $R$ 的均匀球体对球外质点 $m$ 的引力。设球心到质点的距离为 $a$ ($a > R$)。

解：

将球体分割成许多薄层，每个薄层的厚度为 $dx$。考虑其中一个薄层，设其到球心的距离为 $x$，则该薄层的质量为：

\[dm = \rho dV = \rho \pi (R^2 - x^2) dx\]

其中 $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ 为球体的密度。

该薄层可以近似看作一个圆环，圆环上各点到质点 $m$ 的距离相等，均为 $\sqrt{(a-x)^2 + y^2}$，其中 $y$ 为圆环上某点到 $x$ 轴的距离。由于对称性，圆环上各点对质点的引力在垂直于 $x$ 轴方向的分量相互抵消，只剩下沿 $x$ 轴方向的分量。

该薄层对质点的引力在 $x$ 轴方向的分量为：

\[dF_x = G\frac{mdm}{r^2} \cos \theta = G\frac{m \cdot \rho \pi (R^2 - x^2) dx}{(a-x)^2 + y^2} \cdot \frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^2 + y^2}} = \frac{Gm\rho \pi (R^2-x^2)(a-x)}{((a-x)^2+R^2-x^2)^{3/2}}dx$$ $$=\frac{Gm\rho \pi (R^2-x^2)(a-x)}{(a^2+R^2-2ax)^{3/2}}dx\]

对 $dF_x$ 从 $-R$ 到 $R$ 积分，得到球体对质点的引力：

\[F = \int_{-R}^R dF_x = \int_{-R}^R \frac{Gm\rho \pi (R^2-x^2)(a-x)}{(a^2+R^2-2ax)^{3/2}}dx\]

这个积分的计算比较复杂，可以利用一些特殊的积分技巧或者查积分表得到。最后的结果为：

\[F = \frac{GMm}{a^2}\]

这个结果表明，均匀球体对球外质点的引力，等效于将球体的全部质量集中于球心处时，球心与质点之间的引力。

除了以上介绍的几个例子之外，定积分在物理学中还有许多其他应用，例如计算物体的**质心、转动惯量**等等。

4.4.4 质心¶

一个物体的**质心**可以看作是该物体质量的集中点。对于离散的质点系，质心的坐标可以通过加权平均来计算。对于连续分布的物体，质心的坐标可以通过定积分来计算。

例如，对于平面薄片，如果其面密度为 $\rho(x, y)$，则质心的坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为：

\[\bar{x} = \frac{\iint_D x\rho(x, y) dA}{\iint_D \rho(x, y) dA}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y\rho(x, y) dA}{\iint_D \rho(x, y) dA}\]

其中 $D$ 表示薄片所占的区域，$dA$ 表示面积元素。

如果薄片是均匀的，即密度为常数，那么质心的坐标公式可以简化为：

\[\bar{x} = \frac{1}{A} \iint_D x dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{A} \iint_D y dA\]

其中 $A$ 为薄片的面积。这时，质心也称为形心。

4.4.5 转动惯量 (选学)¶

**转动惯量**是描述刚体绕定轴转动时惯性大小的物理量。对于离散的质点系，转动惯量可以通过加权平方和来计算。对于连续分布的物体，转动惯量可以通过定积分来计算。

例如，对于平面薄片，如果其面密度为 $\rho(x, y)$，则薄片绕 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量 $I_x$ 和 $I_y$ 分别为：

\[I_x = \iint_D y^2 \rho(x, y) dA, \quad I_y = \iint_D x^2 \rho(x, y) dA\]

4.5 定积分的近似计算¶

在前面的章节中，我们学习了定积分的精确计算方法，例如牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法。但是，在实际应用中，我们经常会遇到以下两种情况：

被积函数的原函数难以用初等函数表示出来。 例如，$\int_0^1 e^{-x^2} dx$, $\int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx$ 等。
被积函数是由实验数据给出的表格形式。

在这些情况下，我们就需要使用数值方法来近似计算定积分的值。常用的数值积分方法包括**矩形法**、梯形法**和**辛普森法。

4.5.1 矩形法¶

矩形法的基本思想是用一系列矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

根据选择的近似点不同，矩形法又可以分为**左矩形法**、右矩形法**和**中矩形法。

左矩形法： 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，取左端点 $\xi_i = x_{i-1}$ 处的函数值 $f(x_{i-1})$ 作为矩形的高。
右矩形法： 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，取右端点 $\xi_i = x_i$ 处的函数值 $f(x_i)$ 作为矩形的高。
中矩形法： 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，取中点 $\xi_i = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}$ 处的函数值 $f(\frac{x_{i-1} + x_i}{2})$ 作为矩形的高。

将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $h = \frac{b-a}{n}$，则三种矩形法的公式分别为：

左矩形法： $\int_a^b f(x) dx \approx h[f(x_0) + f(x_1) + ... + f(x_{n-1})]$
右矩形法： $\int_a^b f(x) dx \approx h[f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)]$
中矩形法： $\int_a^b f(x) dx \approx h[f(\frac{x_0+x_1}{2}) + f(\frac{x_1+x_2}{2}) + ... + f(\frac{x_{n-1}+x_n}{2})]$

一般来说，中矩形法比左矩形法和右矩形法更精确一些。

4.5.2 梯形法¶

梯形法的基本思想是用一系列梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $h = \frac{b-a}{n}$。在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，用连接 $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ 和 $(x_i, f(x_i))$ 两点的弦作为曲边的近似，这样得到的小曲边梯形就近似于一个梯形。

梯形法的公式为：

\[\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]\]

几何解释： 每个小梯形的面积为 $\frac{h}{2}[f(x_{i-1}) + f(x_i)]$，将所有小梯形的面积加起来，就得到了梯形法的公式。

4.5.3 辛普森法¶

辛普森法 (Simpson's rule) 的基本思想是用抛物线来近似代替曲线。

将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间 (要求 $n$ 为偶数)，每个小区间长度为 $h = \frac{b-a}{n}$。在每两个相邻的小区间 $[x_{2i-2}, x_{2i-1}]$ 和 $[x_{2i-1}, x_{2i}]$ 上，用通过 $(x_{2i-2}, f(x_{2i-2}))$, $(x_{2i-1}, f(x_{2i-1}))$ 和 $(x_{2i}, f(x_{2i}))$ 三点的抛物线来近似代替曲线。

辛普森法的公式为：

\[\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]\]

说明： 辛普森法的推导比较复杂，这里略去。可以证明，辛普森法具有更高的精度，它对于三次多项式是精确成立的。

例 4.5.1 用梯形法和辛普森法计算 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx$ 的近似值 (取 $n=4$)。

解：

$h = \frac{1-0}{4} = 0.25$

$x_0 = 0$, $x_1 = 0.25$, $x_2 = 0.5$, $x_3 = 0.75$, $x_4 = 1$

$f(x_0) = 1$, $f(x_1) = 0.8$, $f(x_2) = 0.6667$, $f(x_3) = 0.5714$, $f(x_4) = 0.5$

梯形法：

\[\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx \approx \frac{0.25}{2} [1 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714) + 0.5] \approx 0.6970\]

辛普森法：

\[\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx \approx \frac{0.25}{3} [1 + 4(0.8 + 0.5714) + 2(0.6667) + 0.5] \approx 0.6932\]

该积分的精确值为 $\ln 2 \approx 0.6931$，可见辛普森法的结果更精确。

4.6 习题¶

计算下列旋转体的体积：
- (a) 曲线 $y = x^2$，$x = 2$ 以及 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体。
- (b) 曲线 $y = \ln x$，$y = 1$, $y = 2$ 以及 $y$ 轴所围成的图形绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体。
- © 曲线 $y = e^x$，$x=0$, $x=1$ 以及 $x$ 轴所围成的图形绕直线 $x=2$ 旋转一周所得的旋转体 (选做)。
计算下列曲线的弧长：
- (a) 曲线 $y = \frac{2}{3} x^{3/2}$ 从 $x = 0$ 到 $x = 3$ 的弧长。
- (b) 曲线 $x = \frac{1}{3} (y^2 + 2)^{3/2}$ 从 $y=0$ 到 $y=1$ 的弧长。
- © 曲线 $\rho = e^\theta$ 从 $\theta = 0$ 到 $\theta = \pi$ 的弧长。
- (d) 星形线 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ 的全长。
一个深度为 $h$ 米，上口半径为 $R$ 米的圆锥形水池，盛满了水。求将池中的水全部抽出所做的功。
一个边长为 $a$ 的正方形平板，垂直插入水中，其上边与水面齐平。求该平板一侧所受的水压力。
用梯形法和辛普森法计算 $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ 的近似值 (取 $n=4$)。

以上是 第四章定积分的计算与应用 的全部内容。