| 反常积分 |
也称为**广义积分**，指积分区间为无穷限，或者被积函数在积分区间上无界的积分。 |
“这类积分称为***反常积分*** (也叫**广义积分**)” 定义了反常积分的概念。 |
维基百科 - 反常积分 |
| 瑕点 |
被积函数无界的点。 |
“我们称函数 \(f(x)\) 的无界点为***瑕点***。” 定义了瑕点的概念。 |
CSDN - 瑕点 |
| 伽玛函数 |
也称为 Γ 函数，是一个特殊的函数，定义为反常积分 \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt \quad (x > 0)\)，是阶乘函数在实数和复数域上的推广。 |
“伽玛函数 (Gamma Function)，也称为 Γ 函数，是一个非常重要的特殊函数” 定义了伽玛函数。 |
维基百科 - 伽玛函数 |
| 递推公式 |
伽玛函数满足的公式 \(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\) (\(x > 0\))，用于将伽玛函数的计算转化为更小自变量的伽玛函数值。 |
“(1) 递推公式： \(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\) (\(x > 0\))” 给出了伽玛函数的递推公式。 |
MathWorld - Gamma Function |
| 余元公式 |
伽玛函数满足的公式 \(\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}\) (\(0 < x < 1\))。 |
“(3) 余元公式： \(\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}\) (\(0 < x < 1\))” 给出了伽玛函数的余元公式。 |
维基百科 - 伽玛函数 |
| 高斯公式 |
伽玛函数满足的公式 \(\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\)。 |
“(4) 高斯公式： \(\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\)” 给出了伽玛函数的高斯公式。 |
MathWorld - Gamma Function |
| 斯特林公式 |
伽玛函数当自变量较大时满足的近似公式 \(\Gamma(x) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \left( \frac{x}{e} \right)^x\)。 |
“(5) 斯特林公式： 当 \(x\) 较大时，有如下的渐近公式：\(\Gamma(x) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \left( \frac{x}{e} \right)^x\)” 给出了伽玛函数的斯特林公式。 |
维基百科 - 斯特林公式 |
| 比较判别法 |
一种判别反常积分敛散性的方法，通过比较两个函数的大小关系来判断。 |
“**比较判别法：**设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，且 \(0 \leq f(x) \leq g(x)\)” 说明了比较判别法的基本思想。 |
CSDN - 比较判别法 |
| 比较判别法的极限形式 |
一种判别反常积分敛散性的方法，通过比较两个函数之比的极限来判断。 |
“**比较判别法的极限形式：**设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续且非负，如果 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l\) (有限或无穷)” 说明了比较判别法的极限形式的基本思想。 |
CSDN - 比较判别法的极限形式 |
| 柯西判别法 |
一种判别反常积分敛散性的方法，通过考察积分区间上任意两个点的积分值来判断。 |
“**柯西判别法：**反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(X > a\)，使得对于任意的 \(x_1, x_2 > X\)，都有： $ |
\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx |
| 狄利克雷判别法 |
一种判断反常积分收敛的判别法，如果函数 \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) 在 \([a, +\infty)\) 上有界，函数 \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递减且当 \(x \to +\infty\) 时 \(g(x) \to 0\), 则反常积分\(\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx\) 收敛。 |
“**狄利克雷判别法：**如果函数 \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) 在 \([a, +\infty)\) 上有界，函数 \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递减且当 \(x \to +\infty\) 时 \(g(x) \to 0\), 则反常积分\(\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx\) 收敛。” 说明了狄利克雷判别法的基本思想。 |
知乎 - 狄利克雷判别法 |
| 阿贝尔判别法 |
一种判断反常积分收敛的判别法，如果反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x)dx\) 收敛，函数 \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调有界, 则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx\) 收敛。 |
“**阿贝尔判别法：**如果反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x)dx\) 收敛，函数 \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调有界, 则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx\) 收敛。” 说明了阿贝尔判别法的基本思想。 |
知乎 - 阿贝尔判别法 |
| p-积分 |
形如 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 或 \(\int_a^b \frac{1}{(b-x)^p} dx\) 的积分，它的敛散性取决于 \(p\) 的值。 |
“例 5.1.6 (p-积分) 讨论反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 的敛散性” 说明了 p-积分的定义和目的。 |
CSDN - p积分 |