5.1 无穷限的反常积分

让我们一起学习 第五章：反常积分，为我们的一元积分学之旅画上一个圆满的句号！

第五章：反常积分

在前面的章节中，我们讨论的定积分都满足两个基本条件：

1. 积分区间是有限的；
2. 被积函数是有界的。

但在实际应用中，我们有时会遇到积分区间为无穷限，或者被积函数在积分区间上无界的情况。 这类积分称为**反常积分** (也叫**广义积分**)。

反常积分是对定积分概念的推广，它在数学分析、概率论、物理学等领域都有着重要的应用。

5.1 无穷限的反常积分

5.1.1 定义

**无穷限的反常积分**是指积分区间为无穷区间的积分。 根据积分区间的不同，又可以分为以下三种类型：

(1) \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 型：

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，如果极限

\[\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx\]

存在，则称此极限为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \([a, +\infty)\) 上的反常积分，记作 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\)，即：

\[\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx\]

这时称反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。

(2) \(\int_{-\infty}^b f(x) dx\) 型：

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty, b]\) 上连续，如果极限

\[\lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx\]

存在，则称此极限为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \((-\infty, b]\) 上的反常积分，记作 \(\int_{-\infty}^b f(x) dx\)，即：

\[\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx\]

这时称反常积分 \(\int_{-\infty}^b f(x) dx\) 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 \(\int_{-\infty}^b f(x) dx\) 发散。

(3) \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\) 型：

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty, +\infty)\) 上连续，如果反常积分 \(\int_{-\infty}^0 f(x) dx\) 和 \(\int_0^{+\infty} f(x) dx\) 都收敛，则称它们的和为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \((-\infty, +\infty)\) 上的反常积分，记作 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\)，即：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^0 f(x) dx + \int_0^{+\infty} f(x) dx\]

这时称反常积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\) 收敛；如果至少有一个反常积分发散，则称 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\) 发散。

注意： 对于 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\) 型反常积分，不能错误地理解为 \(\lim_{a \to +\infty} \int_{-a}^a f(x) dx\)。

例 5.1.1 判断反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx\) 的敛散性，如果收敛，计算其值。

解：

\[\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{x} \right) \Big|_1^b = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 1\]

因此，反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx\) 收敛，且其值为 1。

例 5.1.2 判断反常积分 \(\int_0^{+\infty} \cos x dx\) 的敛散性。

解：

\[\lim_{b \to +\infty} \int_0^b \cos x dx = \lim_{b \to +\infty} \sin x \Big|_0^b = \lim_{b \to +\infty} \sin b\]

由于 \(\lim_{b \to +\infty} \sin b\) 不存在，所以反常积分 \(\int_0^{+\infty} \cos x dx\) 发散。

例 5.1.3 判断反常积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx\) 的敛散性，如果收敛，计算其值。

解：

\[\int_{-\infty}^0 \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \arctan x \Big|_a^0 = \lim_{a \to -\infty} (0 - \arctan a) = \frac{\pi}{2}\]

\[\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \arctan x \Big|_0^b = \lim_{b \to +\infty} (\arctan b - 0) = \frac{\pi}{2}\]

因此，反常积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx\) 收敛，且其值为：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1+x^2} dx + \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi\]

5.1.2 无穷限反常积分的敛散性判别法

与级数类似，我们也有一些判别反常积分敛散性的方法。

比较判别法：

设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，且 \(0 \leq f(x) \leq g(x)\)。

• 如果 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛；
• 如果 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散，则 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散。

比较判别法的极限形式：

设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续且非负，如果 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l\) (有限或无穷)，则：

• 当 \(0 < l < +\infty\) 时，\(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 与 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 同敛散；
• 当 \(l = 0\) 时，若 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛；
• 当 \(l = +\infty\) 时，若 \(\int_a^{+\infty} g(x) dx\) 发散，则 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散。

柯西判别法：

反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(X > a\)，使得对于任意的 \(x_1, x_2 > X\)，都有：

\[|\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx| < \epsilon\]

狄利克雷判别法：

如果函数 \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) 在 \([a, +\infty)\) 上有界，函数 \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调递减且当 \(x \to +\infty\) 时 \(g(x) \to 0\), 则反常积分\(\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx\) 收敛。

阿贝尔判别法：

如果反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x)dx\) 收敛，函数 \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上单调有界, 则反常积分 \(\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx\) 收敛。

例 5.1.4 判断反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx\) 的敛散性。

解：

因为 \(|\sin x| \leq 1\)，所以 \(|\frac{\sin x}{x^2}| \leq \frac{1}{x^2}\)。 由于 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx\) 收敛 (参见例 5.1.1)，根据比较判别法，\(\int_1^{+\infty} |\frac{\sin x}{x^2}| dx\) 收敛。 从而 \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx\) 绝对收敛，进而收敛。

例 5.1.5 判断反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\) 的敛散性。

解：

\[\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b x^{-1/2} dx = \lim_{b \to +\infty} 2x^{1/2} \Big|_1^b = \lim_{b \to +\infty} (2\sqrt{b} - 2) = +\infty\]

因此，反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\) 发散。

例 5.1.6 (p-积分) 讨论反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 的敛散性。

解：

当 \(p = 1\) 时，\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to +\infty} \ln x \Big|_1^b = \lim_{b \to +\infty} \ln b = +\infty\)，积分发散。

当 \(p \neq 1\) 时，\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \lim_{b \to +\infty} \frac{x^{1-p}}{1-p} \Big|_1^b = \lim_{b \to +\infty} \frac{b^{1-p} - 1}{1-p}\)。

• 如果 \(p > 1\)，则 \(1-p < 0\)，\(\lim_{b \to +\infty} b^{1-p} = 0\)，积分收敛于 \(\frac{1}{p-1}\)。
• 如果 \(p < 1\)，则 \(1-p > 0\)，\(\lim_{b \to +\infty} b^{1-p} = +\infty\)，积分发散。

综上所述，反常积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 当 \(p > 1\) 时收敛，当 \(p \leq 1\) 时发散。

结论： p-积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 是一个非常重要的反常积分，它的敛散性取决于 \(p\) 的值。 这个结论可以作为比较判别法的依据。

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