5.2 无界函数的反常积分
5.2 无界函数的反常积分¶
**无界函数的反常积分**是指被积函数在积分区间上无界的积分。 我们称函数 \(f(x)\) 的无界点为瑕点。 根据瑕点的不同位置，又可以分为以下三种类型：
5.2.1 定义¶
(1) \(b\) 为瑕点：
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b)\) 上连续，点 \(b\) 为 \(f(x)\) 的瑕点 (即 \(x=b\) 为其无界点)。 如果极限
存在，则称此极限为函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的反常积分 (或瑕积分)，记作 \(\int_a^b f(x) dx\)，即：
这时称反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 发散。
(2) \(a\) 为瑕点：
设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续，点 \(a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点 (即 \(x=a\) 为其无界点)。 如果极限
存在，则称此极限为函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的反常积分 (或瑕积分)，记作 \(\int_a^b f(x) dx\)，即：
这时称反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 发散。
(3) \(c\) (\(a < c < b\)) 为瑕点：
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, c)\) 和 \((c, b]\) 上连续，点 \(c\) 为 \(f(x)\) 的瑕点 (即 \(x=c\) 为其无界点)。 如果反常积分 \(\int_a^c f(x) dx\) 和 \(\int_c^b f(x) dx\) 都收敛，则称它们的和为函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的反常积分 (或瑕积分)，记作 \(\int_a^b f(x) dx\)，即：
这时称反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛；如果至少有一个反常积分发散，则称 \(\int_a^b f(x) dx\) 发散。
例 5.2.1 判断反常积分 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx\) 的敛散性，如果收敛，计算其值。
解：
被积函数 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\) 在 \(x=1\) 处无界。
因此，反常积分 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx\) 收敛，且其值为 2。
例 5.2.2 判断反常积分 \(\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2} dx\) 的敛散性。
解：
被积函数 \(f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}\) 在 \(x=1\) 处无界。
因此，反常积分 \(\int_0^1 \frac{1}{(x-1)^2} dx\) 发散。 同理可得 \(\int_1^2 \frac{1}{(x-1)^2} dx\) 也发散。
所以，反常积分 \(\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2} dx\) 发散。
5.2.2 无界函数反常积分的敛散性判别法¶
与无穷限反常积分类似，我们也有一些判别无界函数反常积分敛散性的方法。
比较判别法：
设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a, b)\) 上连续，且 \(0 \leq f(x) \leq g(x)\)，\(x=b\) 为它们的无界点。
- 如果 \(\int_a^b g(x) dx\) 收敛，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛；
- 如果 \(\int_a^b f(x) dx\) 发散，则 \(\int_a^b g(x) dx\) 发散。
比较判别法的极限形式：
设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a, b)\) 上连续且非负，\(x=b\) 为它们的无界点。 如果 \(\lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = l\) (有限或无穷)，则：
- 当 \(0 < l < +\infty\) 时，\(\int_a^b f(x) dx\) 与 \(\int_a^b g(x) dx\) 同敛散；
- 当 \(l = 0\) 时，若 \(\int_a^b g(x) dx\) 收敛，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛；
- 当 \(l = +\infty\) 时，若 \(\int_a^b g(x) dx\) 发散，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 发散。
柯西判别法：
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b)\) 上连续, 且 \(x=b\) 为 \(f(x)\) 的瑕点. 则反常积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 \(\epsilon > 0\), 存在 \(\delta > 0\), 使得对于任意的 \(x_1, x_2 \in (b-\delta, b)\)，都有：
例 5.2.3 判断反常积分 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^2}} dx\) 的敛散性。
解：
被积函数 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^2}}\) 在 \(x=1\) 处无界。
由于 \(\lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{1-x^2}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}}} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt[3]{1+x}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\) 是一个正常数。
而 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} dx\) 是一个 p-积分，且 \(p = \frac{1}{3} < 1\)，所以 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} dx\) 收敛。
根据比较判别法的极限形式，反常积分 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^2}} dx\) 收敛。
例 5.2.4 (p-积分) 讨论反常积分 \(\int_a^b \frac{1}{(b-x)^p} dx\) 的敛散性。
解：
被积函数 \(f(x) = \frac{1}{(b-x)^p}\) 在 \(x=b\) 处无界。
当 \(p = 1\) 时，\(\int_a^b \frac{1}{b-x} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b-\epsilon} \frac{1}{b-x} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln(b-x)] \Big|_a^{b-\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln \epsilon + \ln(b-a)] = +\infty\)，积分发散。
当 \(p \neq 1\) 时，\(\int_a^b \frac{1}{(b-x)^p} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b-\epsilon} (b-x)^{-p} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{(b-x)^{1-p}}{p-1} \Big|_a^{b-\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{\epsilon^{1-p} - (b-a)^{1-p}}{p-1}\)。
- 如果 \(p < 1\)，则 \(1-p > 0\)，\(\lim_{\epsilon \to 0^+} \epsilon^{1-p} = 0\)，积分收敛于 \(\frac{(b-a)^{1-p}}{1-p}\)。
- 如果 \(p > 1\)，则 \(1-p < 0\)，\(\lim_{\epsilon \to 0^+} \epsilon^{1-p} = +\infty\)，积分发散。
综上所述，反常积分 \(\int_a^b \frac{1}{(b-x)^p} dx\) 当 \(p < 1\) 时收敛，当 \(p \geq 1\) 时发散。
结论： p-积分 \(\int_a^b \frac{1}{(b-x)^p} dx\) (其中 \(x=b\) 为瑕点) 是一个非常重要的反常积分，它的敛散性取决于 \(p\) 的值。 这个结论可以作为比较判别法的依据。