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5.3 伽玛函数 (Gamma Function)

伽玛函数 (Gamma Function)，也称为 Γ 函数，是一个非常重要的特殊函数，它在数学分析、概率论、数论等许多领域都有着广泛的应用。 伽玛函数可以将阶乘的概念推广到实数和复数域。

5.3.1 伽玛函数的定义

伽玛函数通常定义为如下的反常积分 (第二类欧拉积分)：

\[\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt \quad (x > 0)\]

积分收敛性说明：

  • 当 \(t \to +\infty\) 时，由于 \(e^{-t}\) 以指数速度趋于 0，因此对于任意 \(x > 0\)，被积函数 \(t^{x-1}e^{-t}\) 都趋于 0，无穷限的反常积分收敛。
  • 当 \(t \to 0^+\) 时，如果 \(x - 1 \geq 0\) (即 \(x \geq 1\))，则被积函数 \(t^{x-1}e^{-t}\) 在 \(t=0\) 处没有瑕点；如果 \(0 < x < 1\)，则 \(t=0\) 为瑕点。 由于 \(\lim_{t \to 0^+} \frac{t^{x-1}e^{-t}}{t^{x-1}} = 1\)，且 \(\int_0^1 \frac{1}{t^{1-x}} dt\) 当 \(1-x < 1\) (即 \(x > 0\)) 时收敛，所以瑕积分也收敛。

综上所述，当 \(x > 0\) 时，伽玛函数的定义积分是收敛的。

数学公式 (LaTeX):

1
\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt \quad (x > 0)

图形描述： 伽玛函数的图像在 \(x > 0\) 的区域是一条光滑的曲线，当 \(x\) 趋近于 0 时，函数值趋向于正无穷大；当 \(x\) 趋向于正无穷大时，函数值也趋向于正无穷大。

(Obsidian 绘图建议：) 你可以在 Obsidian 中使用 Desmos 插件或者链接到 Desmos 网站来绘制伽玛函数的图像。

5.3.2 伽玛函数的性质

伽玛函数具有以下几个重要的性质：

(1) 递推公式： \(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\) (\(x > 0\))

证明： 利用分部积分法：

\[\Gamma(x+1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt = \left. -t^x e^{-t} \right|_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} x t^{x-1} e^{-t} dt = 0 + x \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = x\Gamma(x)\]

(2) 与阶乘的关系： \(\Gamma(n) = (n-1)!\) (\(n\) 为正整数)

证明： 利用递推公式和 \(\Gamma(1) = \int_0^{+\infty} e^{-t} dt = 1\) 即可证明。

(3) 余元公式： \(\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}\) (\(0 < x < 1\))

(4) 高斯公式： \(\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\)

(5) 斯特林公式： 当 \(x\) 较大时，有如下的渐近公式：

\[\Gamma(x) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \left( \frac{x}{e} \right)^x\]

说明：

  • 递推公式是伽玛函数最重要的性质之一，它可以将伽玛函数的计算转化为更小自变量的伽玛函数值。
  • 与阶乘的关系表明，伽玛函数是阶乘函数在实数域上的推广。
  • 余元公式和高斯公式的证明比较复杂，这里略去。
  • 斯特林公式给出了伽玛函数在自变量较大时的近似值，在计算中非常有用。

5.3.3 伽玛函数与阶乘的关系

伽玛函数最重要的性质之一是它与阶乘的关系。 对于正整数 \(n\)，我们有：

\[\Gamma(n) = (n-1)!\]

这个性质可以由伽玛函数的递推公式和 \(\Gamma(1) = 1\) 导出。

推导过程：

  • \(\Gamma(1) = \int_0^{+\infty} e^{-t} dt = -e^{-t} \Big|_0^{+\infty} = 1 = 0!\)
  • \(\Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1 = 1!\)
  • \(\Gamma(3) = 2 \cdot \Gamma(2) = 2 \cdot 1 = 2!\)
  • \(\Gamma(4) = 3 \cdot \Gamma(3) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3!\)
  • ...
  • \(\Gamma(n) = (n-1) \cdot \Gamma(n-1) = (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 = (n-1)!\)

这个关系表明，伽玛函数是阶乘函数在实数域上的推广。

5.3.4 伽玛函数的应用

伽玛函数在许多领域都有着广泛的应用，例如：

  • 概率论与数理统计： 伽玛分布、贝塔分布等概率分布都与伽玛函数有关。
  • 数学物理： 伽玛函数出现在许多物理问题的解中，例如量子力学中的谐振子问题。
  • 数论： 伽玛函数与黎曼 zeta 函数有密切的关系。
  • 组合数学： 伽玛函数可以用来计算一些组合数。

例 5.3.1 计算 \(\int_0^{+\infty} x^3 e^{-x} dx\)。

解：

\[\int_0^{+\infty} x^3 e^{-x} dx = \Gamma(4) = 3! = 6\]

例 5.3.2 计算 \(\int_0^{+\infty} \sqrt{x} e^{-x} dx\)。

解：

\[\int_0^{+\infty} \sqrt{x} e^{-x} dx = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}\]

这里利用了 \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\) (证明略)。

5.4 习题

  1. 判断下列反常积分的敛散性，如果收敛，计算其值：

    • (a) \(\int_0^{+\infty} e^{-2x} dx\)
    • (b) \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} dx\)
    • © \(\int_0^1 \frac{1}{x^2} dx\)
    • (d) \(\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{2-x}} dx\)
    • (e) \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} dx\)

  2. 判断下列反常积分的敛散性：

    • (a) \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^3} dx\)
    • (b) \(\int_0^1 \frac{\sin x}{x^2} dx\)
    • © \(\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x + 1} dx\)
    • (d) \(\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} dx\)
    • (e) \(\int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} dx\)

  3. 计算 \(\Gamma(5)\)。

  4. 利用伽玛函数计算 \(\int_0^{+\infty} x^5 e^{-2x} dx\)。 (提示：令 \(t = 2x\))

  5. 证明：\(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\)。 (提示：令 \(t = u^2\)，然后利用二重积分转化为极坐标积分计算)

以上是 第五章 反常积分 的全部内容，也是 《一元积分学》 这本书的正文最后一章。

我们从定积分的概念和性质出发，学习了不定积分的计算方法 (换元积分法、分部积分法)，探讨了定积分在几何学和物理学中的应用，最后介绍了反常积分的概念、敛散性判别法以及伽玛函数。

希望这份教材能够帮助你更好地理解和掌握一元积分学的知识！