附录 F：拓展阅读

本附录将对前面章节中涉及的一些重要概念和方法进行补充说明，并提供一些进阶学习的参考方向，以供读者参考。

F.1 关于 “反对幂指三” 原则的更多说明¶

在学习分部积分法时，我们介绍了选择 $u$ 的 “反对幂指三” 原则，即 反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。这个顺序通常是一个比较好的选择 $u$ 的策略，但我们需要更深入地理解其背后的原理。

原理： 分部积分法的目的是将 $\int u dv$ 转化为 $\int v du$，因此我们希望 $u$ 的导数 $u'$ 比 $u$ 更简单，而 $v$ 的积分 $\int dv$ 容易求得。

反三角函数和对数函数： 这两类函数的导数通常会变成代数函数 (有理函数或根式)，例如 $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\ln x)' = \frac{1}{x}$，因此通常优先选择作为 $u$。
幂函数： 幂函数 $x^n$ 求导后次数会降低，积分后次数会升高。因此，如果被积函数中既有幂函数又有指数函数或三角函数，通常选择幂函数作为 $u$。
指数函数和三角函数： 这两类函数的导数和积分通常还是指数函数和三角函数 (可能相差一个常数倍或负号)，形式上不会变得更简单或更复杂。因此，它们通常作为 $dv$ 的一部分。

需要注意的情况：

循环积分： 例如 $\int e^x \sin x dx$，$\int e^x \cos x dx$ 等，无论选择 $u$ 为 $e^x$ 还是三角函数，两次分部积分后都会得到一个包含原积分的等式，这时需要通过移项求解。
需要灵活调整： “反对幂指三” 只是一个经验法则，并非绝对的。有些情况下，我们需要根据被积函数的具体形式灵活选择 $u$ 和 $dv$。例如 $\int x^3 e^{x^2} dx$，如果严格按照 “反对幂指三” 原则，选择 $u = x^3$, $dv = e^{x^2} dx$，那么 $v$ 将难以求得。此时，我们需要将 $x^2$ 与 $e^{x^2}$ 结合，令 $u=x^2$, $dv = xe^{x^2}dx$, 这样就能利用换元积分法求得 $v = \frac{1}{2}e^{x^2}$。

总结： “反对幂指三” 原则是一个实用的经验法则，可以帮助我们快速选择合适的 $u$，但更重要的是理解分部积分法的原理，并根据具体情况灵活运用。

F.2 极坐标系下曲线弧长的更详细推导¶

在 4.3.9 节 中，我们给出了极坐标系下曲线弧长的计算公式：

\[s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta\]

这里我们来更详细地解释一下这个公式的推导过程。

设曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho = \rho(\theta)$，其中 $\alpha \leq \theta \leq \beta$。我们可以将极坐标方程转化为参数方程：

\[\begin{cases} x = \rho(\theta) \cos \theta \\ y = \rho(\theta) \sin \theta \end{cases}\]

根据参数方程的弧长公式，我们有：

\[s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2} d\theta\]

其中：

\[x'(\theta) = \rho'(\theta) \cos \theta - \rho(\theta) \sin \theta\]

\[y'(\theta) = \rho'(\theta) \sin \theta + \rho(\theta) \cos \theta\]

将 $x'(\theta)$ 和 $y'(\theta)$ 平方后相加，得到：

\[[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2 = [\rho'(\theta) \cos \theta - \rho(\theta) \sin \theta]^2 + [\rho'(\theta) \sin \theta + \rho(\theta) \cos \theta]^2\]

展开并利用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，化简得到：

\[[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2 = [\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2\]

因此，弧长微元为：

\[ds = \sqrt{[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2} d\theta = \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta\]

最终得到极坐标系下的弧长公式：

\[s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta\]

几何解释：

我们可以将极坐标下的弧长微元 $ds$ 看作是一个以 $\rho d\theta$ 和 $d\rho$ 为两直角边的直角三角形的斜边 (这里 $d\rho$ 表示极径的微分，$\rho d\theta$ 可以看作是极角变化 $d\theta$ 时，极径 $\rho$ 扫过的弧长) 。根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，即：

\[ds^2 = (d\rho)^2 + (\rho d\theta)^2 = [\rho'(\theta)]^2 (d\theta)^2 + \rho^2(\theta) (d\theta)^2\]

因此：

\[ds = \sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2} d\theta\]

F.3 反常积分比较判别法的更详细说明¶

在 5.1.2 节 和 5.2.2 节 中，我们介绍了无穷限反常积分和无界函数的反常积分的比较判别法及其极限形式。这里我们来更详细地解释一下比较判别法的原理。

比较判别法的原理：

比较判别法的基本思想是：如果被积函数 $f(x)$ 的大小可以被另一个函数 $g(x)$ 控制，且 $\int g(x) dx$ 的敛散性已知，那么我们可以根据 $\int g(x) dx$ 的敛散性来判断 $\int f(x) dx$ 的敛散性。

以无穷限反常积分为例：

设 $0 \leq f(x) \leq g(x)$，且 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 收敛。由于 $g(x)$ “更大”，且它的积分收敛，可以想象成它对 $f(x)$ 形成了某种 “压制”，使得 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 也必须收敛。

反之，如果 $0 \leq g(x) \leq f(x)$，且 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 发散。由于 $g(x)$ “更小”，且它的积分发散，可以想象成 $f(x)$ “撑开” 了更大的空间，使得 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 也必须发散。

比较判别法极限形式的原理：

比较判别法的极限形式是通过比较 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在趋于积分限 (无穷远或瑕点) 时的比值的极限来判断的。

如果 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l$ ($0 < l < +\infty$)，则说明当 $x$ 充分大时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是同阶的，因此它们的敛散性相同。
如果 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则说明当 $x$ 充分大时，$f(x)$ 比 $g(x)$ “小得多”。如果 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 收敛，那么 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 也应该收敛。
如果 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty$，则说明当 $x$ 充分大时，$f(x)$ 比 $g(x)$ “大得多”。如果 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 发散，那么 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 也应该发散。

选择比较函数的技巧：

选择比较函数 $g(x)$ 的关键在于：

$g(x)$ 的敛散性已知 (通常选择 $p$-积分)。
$f(x)$ 和 $g(x)$ 在趋于积分限 (无穷远或瑕点) 时，大小关系明确或容易判断。

例如，对于无穷限反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2} dx$，我们可以选择 $g(x) = \frac{1}{x^2}$，因为 $|\frac{\sin x}{x^2}| \leq \frac{1}{x^2}$，且 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛 ($p=2>1$)。

对于无界函数的反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$，我们可以选择 $g(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$，因为 $\lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1-x}}} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 是一个正常数，且 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$ 收敛 ($p=\frac{1}{2}<1$)。

F.4 伽玛函数性质的补充说明¶

在 5.3 节 中，我们介绍了伽玛函数的一些重要性质，这里我们对其中的一些性质进行更详细的说明。

(1) 递推公式：$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ ($x > 0$)

这个公式可以通过分部积分法得到。它的重要意义在于，可以将计算任意正实数的伽玛函数值转化为计算 $0 < x \leq 1$ 范围内的伽玛函数值。

(2) 与阶乘的关系：$\Gamma(n) = (n-1)!$ ($n$ 为正整数)

这个关系表明伽玛函数是阶乘函数在实数域上的推广。利用这个关系，我们可以将伽玛函数与组合数联系起来。例如，组合数 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 可以用伽玛函数表示为：

\[\binom{n}{k} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}\]

(3) 余元公式：$\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}$ ($0 < x < 1$)

这个公式揭示了伽玛函数与三角函数之间的深刻联系。利用这个公式，我们可以计算一些特殊的伽玛函数值，例如：

\[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right) = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{\sin \frac{\pi}{2}} = \pi \Rightarrow \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\]

(4) 高斯公式：$\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}$

这个公式提供了一种计算伽玛函数值的另一种途径，也可以用来推导伽玛函数的其他性质。

(5) 斯特林公式：$\Gamma(x) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \left( \frac{x}{e} \right)^x$ ($x$ 较大时)

这个公式给出了伽玛函数在 $x$ 较大时的近似值。它在计算阶乘的近似值时非常有用，例如：

\[n! = \Gamma(n+1) \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n\]

这个公式也称为斯特林公式。

F.5 数值积分方法的补充说明¶

实际应用中，函数并不总是有解析表达式，或表达式过于复杂。因此采取数值积分的思想。本节我们补充牛顿-科特斯公式以及龙贝格积分的思想

F.5.1 牛顿-科特斯公式¶

牛顿-科特斯 (Newton-Cotes) 公式是一系列数值积分公式的总称。它的基本思想是：将积分区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，然后在每个小区间上用 $n$ 次多项式来逼近被积函数 $f(x)$，从而将积分 $\int_a^b f(x) dx$ 近似地表示成 $f(x)$ 在若干个等距节点上的函数值的线性组合。

推导过程：

设将区间 $[a,b]$ 等分为 $n$ 份，步长 $h = \frac{b-a}{n}$，等分点为 $x_k = a+kh, k=0,1,\dots,n$。采用拉格朗日多项式插值，则有： $\(f(x) \approx P_n(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k)L_k(x)$\) 其中$L_k(x)$为拉格朗日插值基函数。则积分可以近似为： $$ \int_a^b f(x)dx \approx \int_a^b P_n(x)dx = \sum_{k=0}^n f(x_k) \int_a^b L_k(x)dx $$ 设 $A_k = \int_a^b L_k(x)dx$, 则有： $$ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) $$ 这就是牛顿-科特斯公式。其中$A_k$被称为牛顿-科特斯系数。

我们可以将 $L_k(x) = \prod_{i=0,i\neq k}^n \frac{x-x_i}{x_k-x_i}$ 代入 $A_k$ 的计算公式中, 得到： $\(A_k = \frac{b-a}{n} \frac{(-1)^{n-k}}{k!(n-k)!} \int_0^n \prod_{i=0,i\neq k}^n (t-i) dt$\) 可以证明, 牛顿-科特斯公式中, $A_k$ 可以仅由 $n$ 确定, 而与 $f(x), a, b$ 无关。

当 $n=1$ 时, 牛顿-科特斯公式即为梯形公式；当 $n=2$ 时, 牛顿-科特斯公式即为辛普森公式。

F.5.2 龙贝格积分¶

龙贝格 (Romberg) 积分是一种高精度的数值积分方法。它的基本思想是利用梯形法的递推公式和理查森外推 (Richardson extrapolation) 方法来提高精度。理查森外推是一种加速序列收敛的方法。对于一个序列 $\{a_n\}$，如果它满足 $a_n = a + c_1 h + c_2 h^2 + ...$, 其中 $a$ 是真实值，$h$ 是步长，$c_i$ 是常数，那么我们可以通过以下公式来构造一个新的序列 $\{b_n\}$： $\(b_n = \frac{2^k a_{n+1} - a_n}{2^k - 1}$\) 可以证明, 新序列 $\{b_n\}$ 的收敛速度比原序列 $\{a_n\}$ 更快。

龙贝格积分的具体步骤如下：

将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，计算梯形法的近似值 $T_1(h)$，其中 $h = \frac{b-a}{n}$。
将区间 $[a, b]$ 二分，即将每个小区间再分成两个小区间，计算梯形法的近似值 $T_1(\frac{h}{2})$。
利用理查森外推公式，计算 $T_2(h) = \frac{4T_1(\frac{h}{2}) - T_1(h)}{3}$。
重复步骤 2 和 3，不断二分区间，并利用理查森外推公式计算更高阶的近似值 $T_k(h)$，直到满足精度要求为止。

龙贝格积分的递推公式为：

\[T_{k+1}(h) = \frac{4^k T_k(\frac{h}{2}) - T_k(h)}{4^k - 1}, \quad k = 1, 2, 3, ...\]

其中 $T_1(h)$ 表示步长为 $h$ 的梯形法近似值，$T_k(h)$ 表示 $k$ 阶龙贝格积分近似值。

龙贝格积分的计算过程可以用一个梯形积分表来表示：

$T_1(h)$	$T_2(h)$	$T_3(h)$	...
$T_1(\frac{h}{2})$	$T_2(\frac{h}{2})$	$T_3(\frac{h}{2})$	...
$T_1(\frac{h}{4})$	$T_2(\frac{h}{4})$	$T_3(\frac{h}{4})$	...
...	...	...	...

表中的第一列是梯形法的近似值，第 $k$ 列是 $k$ 阶龙贝格积分近似值。每个元素都可以通过其左上角和左边的元素计算得到。

例 4.5.2 用龙贝格积分计算 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx$ 的近似值，要求精度达到 $10^{-6}$。

解：

我们可以编写一个简单的程序来计算龙贝格积分：

import numpy as np

def f(x):
  return 1 / (1 + x)

def romberg(a, b, eps):
  """
  龙贝格积分

  Args:
    a: 积分下限
    b: 积分上限
    eps: 精度要求

  Returns:
    积分近似值
  """
  h = b - a
  T = []
  T.append([(h / 2) * (f(a) + f(b))])  # T_1(h)
  k = 0
  while True:
    k += 1
    h /= 2
    s = 0
    for i in range(1, 2**(k-1) + 1):
      s += f(a + (2*i-1)*h)
    T.append([(T[k-1][0] + h * s) / 2])  # T_1(h/2)
    for j in range(1, k + 1):
      T[k].append((4**j * T[k][j-1] - T[k-1][j-1]) / (4**j - 1)) # T_{j+1}(h)
    if k > 1 and abs(T[k][k] - T[k-1][k-1]) < eps:
      break
  return T[k][k]

# 计算积分
result = romberg(0, 1, 1e-6)
print(f"积分的近似值为: {result}")

运行程序，得到积分的近似值为 0.693147，与精确值 $\ln 2 \approx 0.693147$ 相比，误差小于 $10^{-6}$。

F.6 积分的应用实例补充¶

F.6.1 计算概率密度函数的累积分布函数¶

在概率论中，概率密度函数 (Probability Density Function, PDF) 描述了一个连续随机变量的概率分布。概率密度函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分表示随机变量落在该区间的概率：

\[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx\]

累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, CDF) $F(x)$ 定义为随机变量小于或等于 $x$ 的概率：

\[F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\]

例 4.6.1 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其概率密度函数为：

\[f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}\]

求 $X$ 的累积分布函数。

解：

当 $x < 0$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^x 0 dt = 0$。

当 $x \geq 0$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt = \int_{-\infty}^0 0 dt + \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt = -e^{-\lambda t} \Big|_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$。

因此，$X$ 的累积分布函数为：

\[F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}\]

F.6.2 计算经济学中的消费者剩余和生产者剩余¶

在经济学中，消费者剩余 (Consumer Surplus) 指的是消费者愿意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 生产者剩余 (Producer Surplus) 指的是生产者实际得到的价格与愿意接受的价格之间的差额。

假设市场需求曲线为 $P = D(Q)$，市场供给曲线为 $P = S(Q)$，其中 $P$ 表示价格，$Q$ 表示数量。市场均衡点为 $(Q_0, P_0)$，其中 $D(Q_0) = S(Q_0) = P_0$。

**消费者剩余**可以表示为需求曲线下方、价格水平线上方、纵轴左侧和 $Q=Q_0$ 右侧的面积，即：

\[CS = \int_0^{Q_0} [D(Q) - P_0] dQ\]

**生产者剩余**可以表示为供给曲线上方、价格水平线下方、纵轴左侧和 $Q=Q_0$ 右侧的面积，即：

\[PS = \int_0^{Q_0} [P_0 - S(Q)] dQ\]

例 4.6.2 设某商品的市场需求曲线为 $P = 10 - Q$，市场供给曲线为 $P = 2 + Q$，求市场均衡点以及消费者剩余和生产者剩余。

解：

令 $D(Q) = S(Q)$，即 $10 - Q = 2 + Q$，解得 $Q_0 = 4$。则 $P_0 = 10 - 4 = 6$。市场均衡点为 $(4, 6)$。

消费者剩余为：

\[CS = \int_0^4 (10-Q - 6) dQ = \int_0^4 (4-Q) dQ = \left( 4Q - \frac{1}{2}Q^2 \right) \Big|_0^4 = 16 - 8 = 8\]

生产者剩余为：

\[PS = \int_0^4 (6 - (2+Q)) dQ = \int_0^4 (4-Q) dQ = \left( 4Q - \frac{1}{2}Q^2 \right) \Big|_0^4 = 16 - 8 = 8\]

F.6.3 计算人口增长模型¶

除了第一章中提到的指数增长模型和阻滞增长模型之外，还有其他更复杂的人口增长模型。

例 4.6.3 (Gompertz 模型) Gompertz 模型是一种常用于描述人口增长的模型，其微分方程为：

\[\frac{dP}{dt} = rP \ln \frac{K}{P}\]

其中 $P(t)$ 表示 $t$ 时刻的人口数量，$r$ 是固有增长率，$K$ 是环境容量。

求解该微分方程 (分离变量后积分)，得到 Gompertz 模型的解为：

\[P(t) = K e^{-Ae^{-rt}}\]

其中 $A$ 是由初始条件决定的常数。

例 4.6.4 (年龄结构模型) 如果考虑人口的年龄结构，我们可以将人口分成若干个年龄组，并建立一个年龄结构模型。设 $p_i(t)$ 表示 $t$ 时刻第 $i$ 个年龄组的人口数量，$b_i$ 表示第 $i$ 个年龄组的出生率，$d_i$ 表示第 $i$ 个年龄组的死亡率，$m_i$ 表示第 $i$ 个年龄组迁移到第 $i+1$ 个年龄组的迁移率 (可以理解为 “成长率”)，则我们可以建立如下的微分方程组：

\[\begin{cases} \frac{dp_1}{dt} = \sum_{i=1}^n b_i p_i - (d_1 + m_1)p_1 \\ \frac{dp_i}{dt} = m_{i-1}p_{i-1} - (d_i + m_i)p_i, \quad i = 2, 3, ..., n \end{cases}\]

这个模型可以用来预测人口的年龄结构变化，并为人口政策的制定提供参考。

总结： 以上只是一些积分在实际问题中应用的简单例子。事实上，积分的应用非常广泛，几乎涉及到所有需要进行 “累积” 操作的领域。通过学习积分，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。

F.7 进阶阅读推荐¶

如果你想进一步学习积分学及其相关领域的知识，以下是一些推荐的参考书目：

《微积分学教程》(第一卷) (菲赫金哥尔茨著)：这套书是微积分领域的经典教材，内容非常全面，包含了大量的例题和习题，适合深入学习和研究。
《数学分析》(卓里奇著)：这套书也是数学分析领域的经典教材，内容涵盖了实数理论、极限、连续性、微分、积分、级数、多元函数等多个方面，适合作为进阶学习的参考书。
《陶哲轩实分析》 (陶哲轩著)：这本书是著名数学家陶哲轩所著的实分析教材，内容深入浅出，适合想要深入理解实分析基本概念的读者。
"Calculus" (Gilbert Strang 著): 这本书是 MIT 的经典微积分教材，其特点是将微积分与线性代数结合起来讲解，并注重概念的几何直观和实际应用。
"Calculus" (James Stewart 著): 这本书是一本非常流行的微积分教材，内容全面，讲解清晰，例题丰富，适合自学。
"Thomas' Calculus" (George B. Thomas, Jr. 等著): 这也是一本经典的微积分教材，内容涵盖了微积分的各个方面，并注重应用。
《普林斯顿微积分读本》 (阿德里安·班纳著): 本书以普林斯顿大学的微积分课程为基础，以幽默风趣的语言和丰富的例子解释微积分的基本概念和方法，适合作为入门和进阶学习的参考书。

此外，还有许多其他的优秀教材和参考书，你可以根据自己的兴趣和需要进行选择。

以上是 附录 F：拓展阅读 的内容。

到此，整本 《一元积分学》 教材的主体内容和附录部分都已编写完毕。我会根据你之前的反馈，对一些细节进行最后的润色和修改。

\(T_1(h)\)	\(T_2(h)\)	\(T_3(h)\)	...
\(T_1(\frac{h}{2})\)	\(T_2(\frac{h}{2})\)	\(T_3(\frac{h}{2})\)	...
\(T_1(\frac{h}{4})\)	\(T_2(\frac{h}{4})\)	\(T_3(\frac{h}{4})\)	...
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