| 微分方程 |
一个包含未知函数及其导数（或微分）的关系式。 |
“一个***微分方程***是一个包含未知函数及其导数（或微分）的关系式” 定义了微分方程。 |
维基百科 - 微分方程 |
| 阶 |
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 |
“微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的***阶***。” 定义了微分方程的阶。 |
百度百科 - 微分方程的阶 |
| 解 |
一个函数，当将它及其导数代入微分方程时，使得方程恒成立。 |
“一个函数 \(y = \phi(x)\) 称为微分方程 \(F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\) ...的一个***解***” 定义了微分方程的解。 |
维基百科 - 微分方程的解 |
| 通解 |
微分方程的解中包含的任意常数的个数与微分方程的阶数相同。 |
“如果微分方程的解中包含任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的***通解***” 定义了通解。 |
百度百科 - 微分方程的通解 |
| 特解 |
通过确定通解中的任意常数而得到的具体解。 |
“通过确定通解中的任意常数而得到的具体解称为微分方程的***特解***。” 定义了特解。 |
百度百科 - 微分方程的特解 |
| 初值条件 |
给定在某一点处的函数值和导数值的条件。 |
“如果给定的都是在某一点 \(x_0\) 处的函数值和导数值，则这些条件称为***初值条件***” 定义了初值条件。 |
CSDN - 初值条件 |
| 初值问题 |
微分方程和初值条件一起构成的问题。 |
“微分方程和初值条件一起构成的问题称为***初值问题***” 定义了初值问题。 |
维基百科 - 初值问题 |
| 线性微分方程 |
关于未知函数及其各阶导数都是一次的微分方程。 |
“如果微分方程 \(F(x, y, y', ..., y^{(n)}) = 0\) 关于未知函数 \(y\) 及其各阶导数都是一次的，则称之为***线性微分方程***” 定义了线性微分方程。 |
维基百科 - 线性微分方程 |
| 非线性微分方程 |
不满足线性微分方程条件的微分方程。 |
“否则称之为***非线性微分方程***” 定义了非线性微分方程。 |
维基百科 - 非线性微分方程 |
| 齐次线性微分方程 |
线性微分方程中，非齐次项等于 0 的微分方程。 |
“如果 \(f(x) = 0\)，则称该方程为***齐次线性微分方程***。” 定义了齐次线性微分方程。 |
CSDN - 齐次线性微分方程 |
| 非齐次线性微分方程 |
线性微分方程中，非齐次项不等于 0 的微分方程。 |
“如果 \(f(x) \neq 0\)，则称该方程为***非齐次线性微分方程***。” 定义了非齐次线性微分方程。 |
CSDN - 非齐次线性微分方程 |
| 常微分方程 |
未知函数只包含一个自变量的微分方程。 |
“未知函数只包含一个自变量的微分方程称为***常微分方程***” 定义了常微分方程。 |
维基百科 - 常微分方程 |
| 偏微分方程 |
未知函数包含两个或两个以上自变量的微分方程。 |
“未知函数包含两个或两个以上自变量的微分方程称为***偏微分方程***。” 定义了偏微分方程。 |
维基百科 - 偏微分方程 |
| 马尔萨斯人口模型 |
也称为指数增长模型，假设人口的增长速度与当时的人口数量成正比的简单人口增长模型。 |
“这个解告诉我们，在马尔萨斯的模型下，人口数量将以指数形式增长！这就是著名的***马尔萨斯人口模型***，也称为***指数增长模型***。” 说明了马尔萨斯人口模型。 |
维基百科 - 马尔萨斯人口模型 |
| Logistic 方程 |
也称为阻滞增长模型，考虑了资源和环境限制的人口增长模型，其解是一条 S 形曲线。 |
“这个方程叫做***Logistic 方程***，也称为***阻滞增长模型***。” 定义了Logistic 模型。 |
维基百科 - Logistic方程 |
| 环境容量 |
环境所能承载的最大人口数量。 |
“\(K\) 表示环境能够承载的最大人口数量，称为***环境容量***。” 定义了环境容量。 |
百度百科 - 环境容量 |
| SI 模型 |
一种简单的传染病模型，假设感染者不会康复，也不会死亡。 |
“我们先来看一个最简单的传染病模型，叫做***SI 模型***” 定义了SI模型。 |
CSDN - SI模型 |
| SIR 模型 |
一种更接近现实的传染病模型，考虑了易感者、感染者和康复者三种人群。 |
“一个更接近现实的模型是***SIR 模型***。” 定义了SIR模型。 |
维基百科 - SIR 模型 |
| 牛顿冷却定律 |
描述物体温度变化速率与物体和周围环境的温度差成正比的规律。 |
“***牛顿冷却定律***指出：一个物体的温度变化速率与该物体和周围环境的温度差成正比” 定义了牛顿冷却定律。 |
维基百科 - 牛顿冷却定律 |
| 捕食者-猎物模型 |
也称为 Lotka-Volterra 模型，描述了一个封闭生态系统中，捕食者和猎物两个物种的数量变化规律。 |
“一个经典的例子是***捕食者-猎物模型*** (Lotka-Volterra 模型)” 定义了捕食者-猎物模型。 |
维基百科 - 洛特卡-沃尔泰拉方程 |
| RC 电路 |
包含电阻 (R)、电容 (C) 和电源 (E) 的串联电路。 |
“一个简单的***RC 电路***由一个电阻 (R)、一个电容 (C) 和一个电源 (E) 串联而成。” 定义了RC电路。 |
维基百科 - RC电路 |
| RLC 电路 |
包含电阻 (R)、电感 (L)、电容 (C) 和电源 (E) 的串联电路。 |
“一个***RLC 电路***由一个电阻 (R)、一个电感 (L)、一个电容 (C) 和一个电源 (E) 串联而成。” 定义了RLC电路。 |
维基百科 - RLC电路 |
| 方向场 |
在平面上用许多短线段表示微分方程的解的斜率的图形。 |
“这些短线段就构成了微分方程的***方向场***。” 定义了方向场。 |
CSDN - 方向场 |
| 积分曲线 |
微分方程的解在几何上表示的曲线。 |
“微分方程的解 \(y = \phi(x)\) 在几何上表示一条曲线，称为微分方程的***积分曲线***。” 定义了积分曲线。 |
CSDN - 积分曲线 |
| 奇解 |
微分方程中不能通过通解中的任意常数确定的特殊解。 |
“有些微分方程可能存在一些特殊的解，它们不能通过通解中的任意常数来确定，这些解称为***奇解***。” 定义了奇解。 |
维基百科 - 微分方程的奇解 |
| 可分离变量的微分方程 |
可以写成 \(g(y)dy = f(x)dx\) 形式的一阶微分方程。 |
“如果一个一阶微分方程可以写成如下形式：\(g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)\)或者 \(\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}\)，则称它为***可分离变量的微分方程***。” 定义了可分离变量的微分方程。 |
CSDN - 可分离变量的微分方程 |
| 一阶线性微分方程 |
可以写成 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) 形式的一阶微分方程。 |
“一个一阶微分方程如果能写成以下形式：\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)则称它为***一阶线性微分方程***。” 定义了一阶线性微分方程。 |
维基百科 - 一阶线性微分方程 |
| 常数变易法 |
一种求解非齐次线性微分方程特解的方法，将齐次方程通解中的常数“变易”成待定函数。 |
“我们可以使用***常数变易法***来求解。常数变易法的基本思想是将齐次方程的通解中的常数 \(C_1\) 换成一个关于 \(x\) 的未知函数 \(u(x)\)” 说明了常数变易法的基本思想。 |
CSDN - 常数变易法 |
| 积分因子 |
一个函数，当微分方程两边同时乘以该函数时，能使原方程变成恰当方程，用于求解非恰当方程。 |
“我们将原方程两边同时乘以积分因子 \(\frac{1}{x^2}\)，得到...” 定义了积分因子。 |
维基百科 - 积分因子 |
| 伯努利方程 |
形如 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n\) 的一阶微分方程。 |
“形如以下形式的微分方程称为***伯努利方程***：\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n\)” 定义了伯努利方程。 |
维基百科 - 伯努利微分方程 |
| 恰当方程 |
也称为**全微分方程**，如果一个一阶微分方程可以表示成某个函数的全微分等于 0 的形式。 |
“如果存在一个函数 \(u(x, y)\)，使得它的“全微分”恰好等于方程的左边，...那么我们就称这个方程为***恰当方程***，或者***全微分方程***。” 定义了恰当方程。 |
维基百科 - 恰当微分方程 |
| 全微分 |
多元函数的微分，如 \(du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\)。 |
“如果存在一个函数 \(u(x, y)\)，使得它的***全微分***恰好等于方程的左边” 使用了全微分。 |
维基百科 - 全微分 |
| 特征方程 |
与常系数线性微分方程相关的代数方程，用于求得微分方程的特征根。 |
“这个方程称为原微分方程的***特征方程***。” 定义了特征方程。 |
维基百科 - 特征方程 |
| 特征根 |
特征方程的根。 |
“特征方程是一个关于 \(r\) 的一元二次方程，它的根 \(r\) 称为***特征根***。” 定义了特征根。 |
CSDN - 特征根 |
| 叠加原理 |
如果两个函数是某个线性微分方程的解，那么它们的线性组合也是该方程的解。 |
“如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是 n 阶齐次线性微分方程...的两个解，那么它们的线性组合 \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 也是该方程的解。” 说明了叠加原理。 |
CSDN - 线性微分方程的叠加原理 |
| 线性无关 |
如果一组函数的线性组合等于零当且仅当组合的系数都等于零，那么这组函数是线性无关的。 |
“称函数 \(y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x)\) 在区间 \(I\) 上***线性无关***，如果等式 \(C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + ... + C_ny_n(x) = 0\) 在区间 \(I\) 上恒成立，当且仅当 \(C_1 = C_2 = ... = C_n = 0\)。” 定义了线性无关。 |
维基百科 - 线性无关 |
| 朗斯基行列式 |
一种用于判断一组函数是否线性无关的行列式，其值为 \(W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2' - y_2y_1'\)。 |
“则它们的***朗斯基行列式*** \(W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2' - y_2y_1' \neq 0\)。” 定义了朗斯基行列式。 |
维基百科 - 朗斯基行列式 |
| 待定系数法 |
一种求解非齐次线性微分方程特解的方法，通过假设一个含有待定系数的特解形式，然后代入方程求出待定系数。 |
“我们可以使用***待定系数法***来求解特解。它的基本思想是根据非齐次项 \(f(x)\) 的形式，预先设定一个含有待定系数的特解形式” 说明了待定系数法的思想。 |
CSDN - 待定系数法 |
| 欧拉公式 |
连接复数指数函数和三角函数的公式，即 \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)。 |
“根据***欧拉公式*** \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)” 引用了欧拉公式。 |
维基百科 - 欧拉公式 |