第1章：微分方程的基本概念

第一章：微分方程的基本概念¶

1.1 什么是微分方程？¶

1.1.1 引言

在科学和工程的广阔天地中，我们经常需要借助数学工具来精确地描述各种现象的变化规律。从天体运行的轨迹到微观粒子的运动，从生物种群的繁衍到化学反应的进程，这些变化过程都遵循着特定的规律。而 微分方程，正是我们用来表达和研究这些变化规律的有力工具。简单来说，微分方程就是一种包含未知函数及其导数的方程，它能够帮助我们建立起变量之间相互依赖的关系，从而深入理解和预测各种动态现象。

1.1.2 微分方程的定义

为了更准确地理解微分方程，我们可以给出其严格的数学定义：微分方程 是指一个包含未知函数及其导数（或微分）的关系式。具体而言，假设 \(y = f(x)\) 是一个未知函数，那么一个包含自变量 \(x\)、未知函数 \(y\) 以及 \(y\) 的各阶导数 \(y', y'', ..., y^{(n)}\) 的方程，可以用以下形式表示：

\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]

其中，\(y^{(n)}\) 代表 \(y\) 关于 \(x\) 的 \(n\) 阶导数。这个方程就定义了一个微分方程，它描述了未知函数 \(y\) 与其导数之间的内在联系。

1.1.3 例子

为了更好地理解微分方程的概念，让我们来看一些具体的例子：

\(y' = 2x\)：这是一个简单的一阶微分方程，它描述了一个函数的导数（斜率）始终是自变量 \(x\) 的两倍。例如，函数 \(y = x^2\) 就满足这个微分方程。
\(y'' + y = 0\)：这是一个二阶微分方程，它描述了简谐振动，例如弹簧的振动或单摆的运动。这个方程的解通常是正弦或余弦函数的形式。
\(y' = ky\)：这是一个一阶微分方程，它描述了指数增长或衰减的现象，其中 \(k\) 是一个常数。例如，人口增长模型、放射性物质的衰变等都可以用这个方程来描述。
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)：这是一个偏微分方程，它描述了热传导的过程，其中 \(u(x,t)\) 表示在位置 \(x\) 和时间 \(t\) 处的温度，而 \(\alpha\) 是一个常数，表示热扩散系数。
\(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)：这也是一个偏微分方程，它描述了波动现象，其中 \(u(x,t)\) 表示在位置 \(x\) 和时间 \(t\) 处的位移，而 \(c\) 是一个常数，表示波的传播速度。

这些例子展示了微分方程在不同领域的应用，说明了其在描述动态过程中的重要性。

1.1.4 微分方程的阶

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，被称为微分方程的阶。阶数是衡量微分方程复杂程度的一个重要指标。

举例来说：

\(y' = 2x\) 是一阶微分方程，因为它只包含 \(y\) 的一阶导数。
\(y'' + y = 0\) 是二阶微分方程，因为它包含 \(y\) 的二阶导数。
\(y''' - 3y'' + 3y' - y = 0\) 是三阶微分方程，因为它包含 \(y\) 的三阶导数。
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) 关于 \(u(x,t)\) 是二阶偏微分方程，因为其中最高阶导数是关于 \(x\) 的二阶偏导数。

1.1.5 微分方程的解

一个函数 \(y = \phi(x)\) 被称为微分方程 \(F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\) 在区间 \(I\) 上的一个解，如果 \(\phi(x)\) 在区间 \(I\) 上具有 \(n\) 阶连续导数，并且将 \(y = \phi(x)\), \(y' = \phi'(x)\), ..., \(y^{(n)} = \phi^{(n)}(x)\) 代入微分方程后，方程在区间 \(I\) 上恒成立。换句话说，微分方程的解就是一个函数，当把它及其导数代入微分方程时，能够使方程两边相等。

例 1.1.1 验证函数 \(y = e^x\) 是微分方程 \(y' - y = 0\) 的一个解。

解：因为 \(y = e^x\), 所以 \(y' = e^x\)。将 \(y\) 和 \(y'\) 代入方程 \(y' - y = 0\)，得到 \(e^x - e^x = 0\)，该式恒成立。因此，\(y = e^x\) 是微分方程 \(y' - y = 0\) 的一个解，因为它满足了微分方程的定义。

例 1.1.2 验证函数 \(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x\) (其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数) 是微分方程 \(y'' + y = 0\) 的一个解。

解：因为 \(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x\), 所以 \(y' = -C_1 \sin x + C_2 \cos x\), \(y'' = -C_1 \cos x - C_2 \sin x\)。将 \(y\) 和 \(y''\) 代入方程 \(y'' + y = 0\)，得到 \((-C_1 \cos x - C_2 \sin x) + (C_1 \cos x + C_2 \sin x) = 0\)，该式恒成立。因此，\(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x\) 是微分方程 \(y'' + y = 0\) 的一个解，因为它满足了微分方程的定义。

1.1.6 通解和特解

通解： 如果微分方程的解中包含与微分方程阶数相同的任意常数，那么这样的解称为微分方程的通解。通解代表了微分方程解的一般形式，它包含了所有可能的解。
特解： 通过确定通解中的任意常数而得到的具体的解，称为微分方程的特解。特解是满足特定条件的微分方程的解，它可以通过给定额外的条件来确定。

在例 1.1.2 中，\(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x\) 是微分方程 \(y'' + y = 0\) 的通解，因为它包含了两个任意常数 \(C_1\) 和 \(C_2\)，且该微分方程是二阶的。如果我们给定条件 \(C_1 = 1\)，\(C_2 = 0\)，则得到特解 \(y = \cos x\)，这是一个具体的解，满足了特定的条件。

1.1.7 初值条件和初值问题

确定通解中任意常数的条件被称为 定解条件。对于一阶微分方程，通常需要一个定解条件来确定通解中的一个任意常数。对于 \(n\) 阶微分方程，通常需要 \(n\) 个定解条件来确定通解中的 \(n\) 个任意常数。

在微分方程中，如果用来确定任意常数的条件都是在某一点 \(x_0\) 处的函数值和导数值，那么这些条件称为 初值条件。例如，对于 \(n\) 阶微分方程，初值条件可以表示为：

\[y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1, \quad ..., \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}\]

微分方程和初值条件一起构成的问题称为 初值问题。初值问题旨在寻找满足给定初始条件的微分方程的特解。

例 1.1.3 求微分方程 \(y' = 2x\) 满足初值条件 \(y(1) = 2\) 的特解。

解：对 \(y' = 2x\) 两边积分，得到 \(y = x^2 + C\)，这是微分方程的通解。将初值条件 \(y(1) = 2\) 代入通解，得到 \(2 = 1^2 + C\)，解得 \(C = 1\)。因此，满足初值条件的特解为 \(y = x^2 + 1\)。

1.2 微分方程的分类¶

除了按**阶数**分类，微分方程还可以按以下方式进行分类：

1.2.1 线性与非线性微分方程

根据微分方程中未知函数及其导数是否以线性方式出现，可以将微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程。

如果微分方程 \(F(x, y, y', ..., y^{(n)}) = 0\) 关于未知函数 \(y\) 及其各阶导数都是一次的，则称之为 线性微分方程，否则称之为 非线性微分方程。线性微分方程具有良好的性质，可以使用一些有效的解法。

线性微分方程的一般形式可以写成：

\[a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)\]

其中 \(a_n(x), a_{n-1}(x), ..., a_1(x), a_0(x)\) 和 \(f(x)\) 都是 \(x\) 的函数。

如果 \(f(x) = 0\)，则称该方程为 齐次线性微分方程。齐次线性微分方程的解具有良好的线性性质。
如果 \(f(x) \neq 0\)，则称该方程为 非齐次线性微分方程。非齐次线性微分方程的解可以通过先求出对应的齐次线性微分方程的通解，再求出原方程的一个特解得到。

例 1.2.1 以下是一些线性微分方程的例子：

\(y' - 2xy = x^2\) (一阶非齐次线性微分方程)
\(y'' + 4y' + 4y = 0\) (二阶齐次线性微分方程)
\(x^2 y''' - xy' + y = \sin x\) (三阶非齐次线性微分方程)

例 1.2.2 以下是一些非线性微分方程的例子：

\(y' = y^2\) (因为 \(y\) 的次数是 2)
\(y'' + \sin y = 0\) (因为出现了 \(\sin y\))
\(yy' = x\) (因为 \(y\) 和 \(y'\) 相乘)

1.2.2 常微分方程与偏微分方程

根据微分方程中未知函数的自变量个数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。

常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE)： 未知函数只包含一个自变量的微分方程称为**常微分方程**。常微分方程描述了变量之间在一个维度上的关系。
偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE)： 未知函数包含两个或两个以上自变量的微分方程称为**偏微分方程**。偏微分方程描述了变量之间在多个维度上的关系。

在前面举的例子中，除了热传导方程和波动方程是偏微分方程外，其余都是常微分方程。

1.3 微分方程模型¶

微分方程是描述各种自然现象和社会现象中变量之间变化规律的有力工具。通过建立微分方程模型，我们可以将实际问题转化为数学问题进行求解和分析。建立微分方程模型的一般步骤如下：

根据实际问题提出合理的假设。 假设是建立模型的基础，它们应该尽可能地简化问题，同时保留其主要特征。
利用已知规律（如物理定律、化学定律、生物学规律等）建立变量之间的关系式。 这些规律是建立模型的核心，它们描述了变量之间的相互作用方式。
将关系式转化为包含未知函数及其导数的方程，即微分方程。 通过数学推导，可以将实际问题转化为一个或一组微分方程。
确定定解条件（如初值条件或边界条件）。 定解条件是求解微分方程特解的必要条件，它们描述了系统的初始状态或边界状态。
求解微分方程（或进行数值计算、定性分析等）。 求解微分方程可以使用解析方法或数值方法，也可以对解的性质进行定性分析。
对结果进行解释和检验，并根据实际情况修正模型。 模型的结果需要与实际情况进行比较，如果存在差异，需要对模型进行修正。

例 1.3.1 (人口模型) 假设人口增长率与人口数量成正比，建立人口数量 \(P(t)\) 随时间 \(t\) 变化的微分方程模型。

解：设 \(P(t)\) 表示 \(t\) 时刻的人口数量，根据假设，人口增长率 \(\frac{dP}{dt}\) 与 \(P(t)\) 成正比，即

\[\frac{dP}{dt} = rP\]

其中 \(r\) 是比例常数，称为人口增长率。如果我们还知道初始时刻 \(t=0\) 的人口数量为 \(P_0\)，即 \(P(0) = P_0\)，那么我们就得到了一个完整的微分方程模型：

\[\begin{cases} \frac{dP}{dt} = rP \\ P(0) = P_0 \end{cases}\]

这个模型描述了在理想条件下，人口呈指数增长的规律。

例 1.3.2 (牛顿冷却定律) 一个物体的温度变化率与物体和周围环境的温度差成正比。设物体的温度为 \(T(t)\)，周围环境的温度为 \(T_a\)，建立物体温度变化的微分方程模型。

解：根据牛顿冷却定律，物体温度变化率 \(\frac{dT}{dt}\) 与 \(T - T_a\) 成正比，即

\[\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)\]

其中 \(k\) 是正的比例常数。负号表示当物体温度高于环境温度时，物体温度下降。如果已知初始时刻 \(t=0\) 物体的温度为 \(T_0\)，即 \(T(0) = T_0\)，那么我们就得到了一个完整的微分方程模型：

\[\begin{cases} \frac{dT}{dt} = -k(T - T_a) \\ T(0) = T_0 \end{cases}\]

1.3 微分方程模型 (补充)¶

(续前文) 微分方程在科学和工程领域中扮演着至关重要的角色，它可以帮助我们理解和预测各种动态系统的行为。下面，我们将继续探讨微分方程在不同领域的应用，并通过一些具体的例子来加深理解。

例 1.3.3 (RLC 电路) 在一个包含电阻 (R)、电感 (L) 和电容 (C) 的串联电路中，电流 \(i(t)\) 随时间 \(t\) 的变化规律可以用一个二阶线性微分方程来描述。根据基尔霍夫定律，电路中的电压降之和等于电动势，我们可以得到：

\[L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i dt = E(t)\]

其中 \(E(t)\) 是外部电源的电动势。对上式两边求导，得到关于电流 \(i(t)\) 的二阶微分方程：

\[L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = \frac{dE(t)}{dt}\]

这个方程描述了 RLC 电路中电流随时间变化的规律，它可以用来分析电路的瞬态响应和稳态特性。如果我们还知道初始时刻的电流 \(i(0)\) 和电容器上的初始电荷 \(q(0)\) (由于 \(q(t) = \int i(t) dt\)，因此也相当于知道了初始时刻 \(i'(0)\) 的值)，就可以确定该微分方程的特解，从而得到电路中电流随时间变化的具体规律。

例 1.3.4 (传染病模型) 微分方程也被广泛应用于传染病的建模和预测。一个简单的传染病模型 (SI 模型) 将人群分为易感者 (Susceptible) 和感染者 (Infected) 两类。设 \(S(t)\) 和 \(I(t)\) 分别表示 \(t\) 时刻易感者和感染者在总人数中所占的比例，假设感染者比例的增长率与易感者和感染者的接触机会成正比，我们可以建立如下的微分方程模型：

\[\frac{dI}{dt} = \beta SI\]

其中 \(\beta\) 是传染系数，它代表了感染者和易感者之间有效接触的程度。由于 \(S(t) + I(t) = 1\)，因此我们可以将模型简化为：

\[\frac{dI}{dt} = \beta (1-I)I\]

这个方程描述了传染病在人群中的传播过程，它可以用来预测传染病的爆发规模和传播速度。如果我们还知道初始时刻感染者的比例 \(I(0)\)，就可以求解该微分方程，从而预测传染病的发展趋势。更复杂的传染病模型还会考虑潜伏期、隔离、康复等因素，例如 SIR 模型、SEIR 模型等，这些模型更加精确地描述了传染病的传播动态。

例 1.3.5 (捕食者-猎物模型) 微分方程还可以用来描述生态系统中不同物种之间的相互作用。例如，一个简单的捕食者-猎物模型 (Lotka-Volterra 模型) 可以用如下的微分方程组来表示：

\[\begin{cases} \frac{dx}{dt} = ax - bxy \\ \frac{dy}{dt} = -cy + dxy \end{cases}\]

其中 \(x(t)\) 表示猎物的数量，\(y(t)\) 表示捕食者的数量，\(a, b, c, d\) 都是正的常数。第一个方程表示猎物的增长率与自身数量成正比，但会受到捕食者数量的负面影响；第二个方程表示捕食者的增长率与猎物数量成正比，但会受到自身数量的负面影响 (由于资源有限)。通过分析这个微分方程组，我们可以研究捕食者和猎物数量之间的动态平衡关系，揭示生态系统中物种之间相互依赖和制约的复杂性。

1.4 微分方程解的几何意义 (新增)¶

1.4.1 方向场

对于一阶微分方程 \(y' = f(x,y)\)，它在平面上的每一点 \((x,y)\) 都确定了一个斜率 \(f(x,y)\)。我们可以在平面上画出许多短线段，每个短线段的斜率等于该点处 \(f(x,y)\) 的值，这些短线段就构成了微分方程的 方向场。方向场是微分方程解的一个直观的几何表示。

方向场可以帮助我们直观地了解微分方程的解的趋势。例如，如果方向场中某一点附近的短线段都指向某个方向，那么该方向就可能是解曲线的延伸方向。通过观察方向场，我们可以初步判断解曲线的形状和性质。

1.4.2 积分曲线

微分方程的解 \(y = \phi(x)\) 在几何上表示一条曲线，称为微分方程的 积分曲线。积分曲线上的每一点的切线斜率都等于微分方程在该点确定的斜率，也就是说，积分曲线与方向场相切。积分曲线是微分方程解的几何轨迹，它反映了解随自变量变化的规律。

通过观察方向场，我们可以大致描绘出积分曲线的形状，从而对微分方程的解有一个直观的认识。积分曲线为我们提供了一种可视化的手段来理解微分方程的解。

例 1.4.1 考虑微分方程 \(y' = x\)。

它的方向场如右图所示。我们可以看出，积分曲线应该是一族抛物线。实际上，该方程的通解为 \(y = \frac{1}{2}x^2 + C\)，确实是一族抛物线。

[Image of Direction field for y' = x] (你可以使用一些数学软件，例如 GeoGebra, Maple, MATLAB 等来绘制方向场)

在上述例子中，方向场清晰地展现了微分方程 \(y'=x\) 的解的趋势。每一个小线段代表着该点处解曲线的切线方向。而积分曲线，即满足微分方程的解 \(y = \frac{1}{2}x^2 + C\) 在坐标系上的表现，与方向场处处相切，这体现了方向场与积分曲线的内在联系。

1.4.3 奇解

有些微分方程可能存在一些特殊的解，它们不能通过通解中的任意常数来确定，这些解称为奇解。奇解通常是积分曲线族的包络线，它与通解之间存在着一定的几何关系。

例 1.4.2 微分方程 \(y' = 2\sqrt{y}\) 的通解为 \(y = (x+C)^2\)。但 \(y=0\) 也是这个方程的解，却不能包含在通解中。从几何上看，\(y=0\) 是积分曲线族 \(y=(x+C)^2\) 的包络线。也就是说，\(y=0\) 这条直线与积分曲线族中的每一条曲线都相切。

1.5 习题¶

指出下列微分方程的阶数，并判断它们是线性还是非线性，如果是线性的，指出它是齐次的还是非齐次的：
- (a) \(y'' + 2xy' - y^3 = e^x\) (二阶，非线性)
- (b) \(y^{(4)} + \cos(x)y'' + y = 0\) (四阶，线性，齐次)
- © \(y' = \sqrt{1 + y^2}\) (一阶，非线性)
- (d) \(\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = f(t)\) (二阶，线性，当 \(f(t) \neq 0\) 时非齐次，当 \(f(t) = 0\) 时齐次)
- (e) \(y''y - xy' = 0\) (二阶，非线性)
验证给定的函数是否是相应微分方程的解：
- (a) \(y' - 3y = 0\); \(y = Ce^{3x}\) (解： \(y' = 3Ce^{3x}\), 代入原方程， \(3Ce^{3x} - 3Ce^{3x} = 0\), 成立)
- (b) \(y'' + 9y = 0\); \(y = C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x\) (解：\(y' = -3C_1\sin 3x + 3C_2\cos 3x\), \(y'' = -9C_1\cos 3x - 9C_2\sin 3x\), 代入原方程， \(-9C_1\cos 3x - 9C_2\sin 3x + 9(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x) = 0\), 成立)
- © \(y' = 2xy^2\); \(y = -\frac{1}{x^2 + C}\) (解：\(y' = \frac{2x}{(x^2+C)^2}\), 代入原方程，\(\frac{2x}{(x^2+C)^2} = 2x(-\frac{1}{x^2+C})^2\), 成立)
求下列微分方程满足给定初值条件的特解：
- (a) \(y' = e^{-x}\); \(y(0) = 1\) (解：积分得 \(y = -e^{-x} + C\), 代入初值条件， \(1 = -e^0 + C\), 解得 \(C = 2\), 特解为 \(y = -e^{-x} + 2\))
- (b) \(y'' + 4y = 0\); \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 0\) (解：通解为 \(y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\), \(y' = -2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x\), 代入初值条件， \(1 = C_1\), \(0 = 2C_2\), 解得 \(C_1 = 1\), \(C_2 = 0\), 特解为 \(y = \cos 2x\))
一个弹簧-质量系统中，质量为 \(m\) 的物体在弹簧的作用下做简谐振动。设位移为 \(x(t)\)，弹簧的劲度系数为 \(k\)，根据牛顿第二定律建立该系统的微分方程模型。
- 解：根据牛顿第二定律， \(F = ma\)，其中 \(F\) 是物体受到的力，\(m\) 是物体的质量，\(a\) 是物体的加速度。弹簧的回复力为 \(F = -kx\)，加速度 \(a = x''(t)\)。因此， \(mx''(t) = -kx\)，整理得 \(mx''(t) + kx(t) = 0\)。
某种放射性物质的衰变速率与该物质的质量成正比。设该物质的质量为 \(m(t)\)，建立该物质质量变化的微分方程模型
- 解：根据题意，衰变速率 \(\frac{dm}{dt}\) 与物质质量 \(m(t)\) 成正比，即 \(\frac{dm}{dt} = -km(t)\)，其中 \(k\) 是正的比例常数，表示衰变速率常数。负号表示质量随时间减少。