第3章：高阶微分方程
第三章：高阶微分方程¶
3.1 引言¶
在前面的章节中，我们深入探讨了一阶微分方程的解法。然而，在现实世界的诸多问题中，我们常常会遇到更为复杂的情况，例如：在物理学中，描述物体振动规律的方程往往涉及到二阶甚至更高阶的导数；在电路理论中，分析多回路电路的特性需要建立包含高阶导数的微分方程；在自动控制系统中，描述系统动态行为的方程也常常是高阶的。这些问题所对应的数学模型，即为包含未知函数的高阶导数的微分方程，我们称之为 高阶微分方程。
一个 \(n\) 阶微分方程的一般形式可以表示为：
其中，\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 关于自变量 \(x\) 的 \(n\) 阶导数。这个表达式意味着，方程中包含了未知函数 \(y\) 及其直到 \(n\) 阶的各阶导数，以及自变量 \(x\) 本身，它们之间通过函数关系 \(F\) 联系在一起。
特别地，如果方程可以显式地解出最高阶导数 \(y^{(n)}\)，那么它可以写成以下形式：
这种形式更明确地表达了最高阶导数 \(y^{(n)}\) 与其他低阶导数、未知函数以及自变量 \(x\) 之间的函数关系。
本章，我们将把重点放在 线性 高阶微分方程的讨论上，特别是那些具有 常系数 的线性微分方程。这类方程在实际应用中十分常见，并且具有相对简洁的解法。我们将系统地学习如何求解这类方程，为进一步研究更复杂的微分方程打下坚实的基础。
3.2 n 阶线性微分方程的一般形式¶
一个 \(n\) 阶线性微分方程的一般形式可以表达为：
其中，\(a_n(x), a_{n-1}(x), ..., a_1(x), a_0(x)\) 和 \(f(x)\) 都是关于自变量 \(x\) 的已知函数，并且 \(a_n(x) \neq 0\)。这个表达式清晰地展现了线性微分方程的特点：未知函数 \(y\) 及其各阶导数以线性组合的形式出现，即每一项都只有一次幂。
根据 \(f(x)\) 的不同取值，我们可以将线性微分方程进一步划分为以下两类：
- 如果 \(f(x) \equiv 0\)，即 \(f(x)\) 恒等于零，则称该方程为 n 阶齐次线性微分方程。这类方程描述的是系统在没有外部激励的情况下的自然行为。
- 如果 \(f(x) \not\equiv 0\)，即 \(f(x)\) 不恒等于零，则称该方程为 n 阶非齐次线性微分方程。这类方程描述的是系统在外部激励作用下的响应。
3.2.1 n 阶常系数线性微分方程
在 \(n\) 阶线性微分方程的基础上，如果系数函数 \(a_n(x), a_{n-1}(x), ..., a_1(x), a_0(x)\) 都是常数，也就是说，它们不依赖于自变量 \(x\)，则称该方程为 n 阶常系数线性微分方程。其一般形式可以写作：
其中，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\) 都是常数，且 \(a_n \neq 0\)。常系数线性微分方程由于其简洁的形式和相对容易求解的特性，在实际工程和科学研究中应用非常广泛。
类似地，根据 \(f(x)\) 的取值，我们可以将 \(n\) 阶常系数线性微分方程分为以下两类：
- 如果 \(f(x) \equiv 0\)，则称该方程为 n 阶常系数齐次线性微分方程。
- 如果 \(f(x) \not\equiv 0\)，则称该方程为 n 阶常系数非齐次线性微分方程。
本章的重点将集中在讨论常系数线性微分方程的解法，我们将系统地学习如何求解这类方程的通解和特解。
3.3 线性微分方程解的结构 (齐次情形) (修改版)¶
为了深入理解和高效求解高阶线性微分方程，我们需要先了解其解所具备的一些重要特性。本节，我们首先关注齐次线性微分方程，即方程右端项 \(f(x) \equiv 0\) 的情形。
3.3.1 叠加原理
定理 (叠加原理)： 如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是 n 阶齐次线性微分方程
的两个解，那么它们的线性组合 \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 也是该方程的解，其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数。这个性质体现了线性方程解的一个重要特点：解的线性组合仍然是解。
证明： 由于 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程的解，这意味着将它们分别代入方程后，方程恒成立。即我们有：
现在我们将 \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 代入方程，并利用导数的线性性质，即对于任意常数 \(a\) 和 \(b\) 以及函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，有 \((af(x) + bg(x))^{(k)} = af^{(k)}(x) + bg^{(k)}(x)\)，其中 \(k\) 表示导数的阶数。我们得到：
利用导数的线性性质，上式可以展开为：
由于 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 都是原方程的解，括号内的表达式都为零，因此：
上面的推导表明，将 \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 代入方程后，方程仍然恒成立。因此，\(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 也是方程的解。
解释： 叠加原理的意义在于，如果我们找到了齐次线性微分方程的若干个解，就可以利用它们的线性组合得到无穷多个解。这个性质为我们寻找方程的通解，即包含所有解的表达式，提供了重要的理论基础。
3.3.2 线性无关的解
定义 (线性无关)： 称函数 \(y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x)\) 在区间 \(I\) 上 线性无关，如果等式
在区间 \(I\) 上恒成立，当且仅当 \(C_1 = C_2 = ... = C_n = 0\)。否则，称它们在区间 \(I\) 上 线性相关。
解释： 线性无关的概念可以理解为：一组函数中，任何一个函数都不能通过其他函数的线性组合来表示。换句话说，如果一组函数线性相关，那么其中至少有一个函数是“多余的”，它可以被其他函数线性表示出来，因此它对描述解的结构没有带来新的信息。
例 3.3.1: 函数 \(y_1(x) = \sin x\) 和 \(y_2(x) = \cos x\) 在区间 \((-\infty, +\infty)\) 上线性无关。因为如果 \(C_1 \sin x + C_2 \cos x = 0\) 对任意 \(x\) 恒成立，那么我们可以通过取特定的 \(x\) 值来证明 \(C_1\) 和 \(C_2\) 必须都为零：当 \(x = 0\) 时，得到 \(C_2 = 0\)；当 \(x = \frac{\pi}{2}\) 时，得到 \(C_1 = 0\)。因此，只有当 \(C_1 = C_2 = 0\) 时，等式才恒成立，所以 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 线性无关。
例 3.3.2: 函数 \(y_1(x) = x\), \(y_2(x) = 2x\), \(y_3(x) = x^2\) 在区间 \((-\infty, +\infty)\) 上线性相关。因为存在一组不全为零的系数，例如 \(C_1 = 2\), \(C_2 = -1\), \(C_3 = 0\)，使得 \(2y_1(x) - y_2(x) + 0y_3(x) = 2x - 2x + 0 = 0\) 恒成立。这说明 \(y_2(x)\) 可以由 \(y_1(x)\) 线性表示，因此它们是线性相关的。
3.3.3 n 阶齐次线性微分方程的通解
定理： 如果 \(y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x)\) 是 n 阶齐次线性微分方程
在区间 \(I\) 上的 \(n\) 个线性无关的解，那么该方程的通解为：
其中 \(C_1, C_2, ..., C_n\) 是任意常数。这个定理明确指出，齐次线性微分方程的通解可以通过 \(n\) 个线性无关的特解的线性组合得到，并且该线性组合包含了方程的所有解。
解释： 这个定理告诉我们，为了求得 n 阶齐次线性微分方程的通解，我们只需要找到 \(n\) 个线性无关的特解，然后将它们进行线性组合即可。这 \(n\) 个线性无关的解构成了该方程解空间的一组基，我们称之为“解基”。方程的任何一个解都可以由这个解基线性表示出来。因此，寻找线性无关的解是求解齐次线性微分方程通解的关键步骤。
3.4 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 (修改版)¶
作为高阶常系数齐次线性微分方程的特例，我们先来讨论二阶的情形。二阶常系数齐次线性微分方程不仅在数学上具有代表性，而且在物理、工程等领域中也有着广泛的应用。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：
其中，\(a, b, c\) 是常数，且 \(a \neq 0\)。
3.4.1 特征方程
根据前面的分析，我们需要找到两个线性无关的特解。为了找到合适的解的形式，我们尝试寻找形如 \(y = e^{rx}\) 的解，其中 \(r\) 是待定常数。之所以选择指数函数形式，是因为指数函数及其各阶导数都具有相同的形式（除了系数），这使得将其代入原方程后可以消去公因子 \(e^{rx}\)，从而得到一个关于 \(r\) 的代数方程。
将 \(y = e^{rx}\) 代入方程，得到：
计算导数，得到：
代入原方程，得到：
由于 \(e^{rx}\) 不恒为零，所以上式可以化简为：
这个关于 \(r\) 的一元二次方程称为原微分方程的 特征方程，它的根 \(r\) 称为特征根。特征根的值将决定二阶常系数齐次线性微分方程通解的具体形式。
3.4.2 特征根与通解
特征方程是一个一元二次方程，它的根的情况决定了二阶常系数齐次线性微分方程的通解的形式。我们知道，一元二次方程的根的类型由判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 决定：
(1) 两个不相等的实根 (\(\Delta > 0\))
如果特征方程有两个不相等的实根 \(r_1\) 和 \(r_2\) (\(r_1 \neq r_2\))，那么 \(y_1 = e^{r_1x}\) 和 \(y_2 = e^{r_2x}\) 是方程的两个解。我们可以验证，\(y_1\) 和 \(y_2\) 线性无关（因为它们的比值 \(\frac{y_1}{y_2} = e^{(r_1-r_2)x}\) 不是常数）。因此，根据前面的定理，方程的通解为：
其中，\(C_1\) 和 \(C_2\) 为任意常数。
(2) 两个相等的实根 (\(\Delta = 0\))
如果特征方程有两个相等的实根 \(r_1 = r_2 = r\)，那么 \(y_1 = e^{rx}\) 是方程的一个解。为了找到另一个线性无关的解，我们可以使用常数变易法（将在后续章节介绍）或者直接验证 \(y_2 = xe^{rx}\) 也是方程的解。这里我们采用直接验证的方法。
将 \(y_2 = xe^{rx}\) 代入方程：
由于 \(r\) 是特征方程的重根，因此 \(r = -\frac{b}{2a}\)，且 \(ar^2 + br + c = 0\)。将 \(r = -\frac{b}{2a}\) 代入上式，得到：
又因为 \(r\) 是特征方程的重根，所以判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\)，即 \(b^2 = 4ac\)。代入上式，得到：
所以 \(y_2 = xe^{rx}\) 也是方程的解。又因为 \(y_1 = e^{rx}\) 和 \(y_2 = xe^{rx}\) 线性无关 (因为它们的比值 \(\frac{y_2}{y_1} = x\) 不是常数)，所以方程的通解为：
其中，\(C_1\) 和 \(C_2\) 为任意常数。
(3) 一对共轭复根 (\(\Delta < 0\))
如果特征方程有一对共轭复根 \(r_1 = \alpha + i\beta\) 和 \(r_2 = \alpha - i\beta\) (其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是实数，且 \(\beta \neq 0\))，那么 \(y_1 = e^{(\alpha + i\beta)x}\) 和 \(y_2 = e^{(\alpha - i\beta)x}\) 是方程的两个复数解。根据欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)，我们可以将 \(y_1\) 和 \(y_2\) 写成：
为了得到实数形式的通解，我们可以利用叠加原理，将 \(y_1\) 和 \(y_2\) 进行线性组合，构造出两个线性无关的实数解：
可以验证，\(y_1^*\) 和 \(y_2^*\) 线性无关 (因为它们的比值 \(\frac{y_1^*}{y_2^*} = \cot \beta x\) 不是常数)。因此，方程的通解为：
其中，\(C_1\) 和 \(C_2\) 为任意常数。
例 3.4.1 求解微分方程 \(y'' - 5y' + 6y = 0\)。
解：
特征方程为 \(r^2 - 5r + 6 = 0\)，解得 \(r_1 = 2\), \(r_2 = 3\)。这是两个不相等的实根的情况。
因此，方程的通解为 \(y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}\)。
例 3.4.2 求解微分方程 \(y'' + 4y' + 4y = 0\)。
解：
特征方程为 \(r^2 + 4r + 4 = 0\)，解得 \(r_1 = r_2 = -2\)。这是两个相等的实根的情况。
因此，方程的通解为 \(y = (C_1 + C_2x)e^{-2x}\)。
例 3.4.3 求解微分方程 \(y'' + 2y' + 5y = 0\)。
解：
特征方程为 \(r^2 + 2r + 5 = 0\)，解得 \(r_1 = -1 + 2i\), \(r_2 = -1 - 2i\)。这是一对共轭复根的情况，其中 \(\alpha = -1\), \(\beta = 2\)。
因此，方程的通解为 \(y = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)\)。
3.5 习题¶
- 判断下列函数组在指定区间上是否线性无关：
- (a) \(y_1(x) = x\), \(y_2(x) = x^2\), \(y_3(x) = 2x + 3x^2\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上
- (b) \(y_1(x) = \sin x\), \(y_2(x) = \cos x\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上
- © \(y_1(x) = e^x\), \(y_2(x) = xe^x\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上
-
求解下列微分方程：
-
(a)
-
(b) \(y'' + 6y' + 9y = 0\)
- © \(y'' + 4y = 0\)
- (d) \(y'' - 2y' + 10y = 0\)
- 证明：如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是二阶齐次线性微分方程 \(y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\) 的两个线性无关的解，则它们的朗斯基行列式 \(W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2' - y_2y_1' \neq 0\)。
-
3.6 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法¶
前面我们已经详细讨论了二阶常系数齐次线性微分方程的解法，现在我们将解法推广到 n 阶的情形，这将有助于我们处理更加复杂的实际问题。
n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：
其中 \(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\) 都是常数，且 \(a_n \neq 0\)。
3.6.1 特征方程
与二阶情形类似，我们仍然尝试寻找形如 \(y = e^{rx}\) 的解，其中 \(r\) 是待定常数。将 \(y = e^{rx}\) 代入方程，得到：
由于 \(e^{rx}\) 的 \(k\) 阶导数为 \(r^ke^{rx}\)，因此上式可以写成：
由于 \(e^{rx}\) 不恒为零，所以上式等价于：
这个关于 \(r\) 的 \(n\) 次代数方程称为原微分方程的 特征方程。特征方程的根 \(r\) 称为特征根。
3.6.2 特征根与通解
根据代数学基本定理，n 次代数方程在复数范围内有 n 个根 (k 重根算 k 个)。根据特征根的不同情况，我们可以得到 n 阶常系数齐次线性微分方程的不同形式的通解。
(1) 单实根
如果特征方程有单实根 \(r\)，那么 \(y = e^{rx}\) 是方程的一个解。
(2) k 重实根
如果特征方程有 k 重实根 \(r\)，那么 \(y_1 = e^{rx}, y_2 = xe^{rx}, ..., y_k = x^{k-1}e^{rx}\) 是方程的 k 个线性无关的解。每一个 \(x^ie^{rx}\) 都是方程的一个特解。
(3) 单复根
如果特征方程有一对单复根 \(r_1 = \alpha + i\beta\) 和 \(r_2 = \alpha - i\beta\) (其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是实数，且 \(\beta \neq 0\))，那么 \(y_1 = e^{\alpha x}\cos \beta x\) 和 \(y_2 = e^{\alpha x}\sin \beta x\) 是方程的两个线性无关的解。
(4) k 重复根
如果特征方程有一对 k 重复根 \(r_1 = \alpha + i\beta\) 和 \(r_2 = \alpha - i\beta\) (其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是实数，且 \(\beta \neq 0\))，那么
是方程的 2k 个线性无关的解。
总结： n 阶常系数齐次线性微分方程的通解可以由上述四种情况下得到的解进行线性组合得到。我们需要根据特征方程的根的情况，分别找出对应的线性无关的解，然后将它们进行线性组合，即可得到通解。
例 3.6.1 求解微分方程 \(y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0\)。
解：
特征方程为 \(r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0\)。我们可以观察到 \(r=1\) 是方程的根，因此 \((r-1)\) 是特征多项式的一个因式。通过多项式除法，我们可以将特征方程改写为：
因此，特征根为 \(r_1 = 1\), \(r_2 = 2\), \(r_3 = 3\)。
所以，方程的通解为 \(y = C_1e^x + C_2e^{2x} + C_3e^{3x}\)。
例 3.6.2 求解微分方程 \(y^{(4)} + 2y'' + y = 0\)。
解：
特征方程为 \(r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2 = 0\)。
因此，特征根为 \(r_1 = r_2 = i\), \(r_3 = r_4 = -i\)。这是一对二重共轭复根。
所以，方程的通解为 \(y = (C_1 + C_2x)\cos x + (C_3 + C_4x)\sin x\)。
(例 3.6.3) 求解微分方程 \(y''' - y'' + y' - y = 0\)。
解:
特征方程为 \(r^3 - r^2 + r - 1 = 0\)。我们可以通过分组分解法将特征方程改写为：
因此，特征根为 \(r_1 = 1\), \(r_2 = i\), \(r_3 = -i\)。这里有一个实根和一对共轭复根。
对应于实根 \(r_1 = 1\) 的解为 \(y_1 = e^x\)。
对应于共轭复根 \(r_2 = i\) 和 \(r_3 = -i\) 的解为 \(y_2 = \cos x\) 和 \(y_3 = \sin x\)。
所以，方程的通解为 \(y = C_1e^x + C_2\cos x + C_3\sin x\)。
(例 3.6.4) 求解微分方程 \(y^{(4)} - 4y''' + 6y'' - 4y' + y = 0\)。
解:
特征方程为 \(r^4 - 4r^3 + 6r^2 - 4r + 1 = (r-1)^4 = 0\)。
因此，特征根为 \(r_1 = r_2 = r_3 = r_4 = 1\)。这是一个四重实根。
所以，方程的通解为 \(y = (C_1 + C_2x + C_3x^2 + C_4x^3)e^x\)。
(例 3.6.5) 求解微分方程 \(y^{(4)} + 4y''' + 14y'' + 20y' + 25y = 0\)。
解:
特征方程为 \(r^4 + 4r^3 + 14r^2 + 20r + 25 = 0\)。这个方程的因式分解比较困难，我们可以借助一些数学软件 (例如 MATLAB, Mathematica 等) 求解特征根。通过计算，我们得到特征根为：
这是一对二重共轭复根。
所以，方程的通解为 \(y = (C_1 + C_2x)e^{-x}\cos 2x + (C_3 + C_4x)e^{-x}\sin 2x\)。
3.6.3 对复数解的处理 (补充说明)
在前面的例子中，我们已经看到了如何根据共轭复根得到实数形式的解。这里我们再详细解释一下这个过程，这对于理解复数解的物理意义非常重要。
假设 \(r_1 = \alpha + i\beta\) 和 \(r_2 = \alpha - i\beta\) 是一对共轭复根，那么对应的两个复数解为：
根据叠加原理，我们可以将这两个复数解进行线性组合，得到两个实数解：
这样，我们就从一对共轭复根得到了两个线性无关的实数解 \(y_1^* = e^{\alpha x}\cos \beta x\) 和 \(y_2^* = e^{\alpha x}\sin \beta x\)。这两个实数解在实际应用中有着更直观的意义，例如在描述振荡现象时，它们分别对应着余弦和正弦形式的振荡。
3.6.4 总结
求解 n 阶常系数齐次线性微分方程的步骤可以总结如下：
- 写出特征方程： 根据微分方程的形式，直接写出对应的特征方程。
- 求解特征根： 求解特征方程的根。可以使用因式分解、公式法、数值方法等。
- 根据特征根写出通解： 根据特征根的不同情况，按照以下规则写出通解：
- 单实根 \(r\)： 对应一个解 \(e^{rx}\)。
- k 重实根 \(r\)： 对应 k 个解 \(e^{rx}, xe^{rx}, ..., x^{k-1}e^{rx}\)。
- 单复根 \(\alpha \pm i\beta\)： 对应两个解 \(e^{\alpha x}\cos \beta x\) 和 \(e^{\alpha x}\sin \beta x\)。
- k 重复根 \(\alpha \pm i\beta\)： 对应 2k 个解 \(e^{\alpha x}\cos \beta x, xe^{\alpha x}\cos \beta x, ..., x^{k-1}e^{\alpha x}\cos \beta x\) 和 \(e^{\alpha x}\sin \beta x, xe^{\alpha x}\sin \beta x, ..., x^{k-1}e^{\alpha x}\sin \beta x\)。
- 线性组合： 将上述得到的解进行线性组合，得到通解。
注意事项：
- n 阶常系数齐次线性微分方程的通解中应该包含 n 个任意常数。
- 特征方程的求解是关键，对于高次方程，可能需要借助一些数学软件。
- 要熟练掌握不同类型的特征根对应的解的形式。
3.7 非齐次线性微分方程¶
前面我们讨论了齐次线性微分方程的解法，现在我们来讨论非齐次线性微分方程。非齐次线性微分方程在实际应用中更为常见，因为它们描述了系统在外部激励下的行为。
n 阶非齐次线性微分方程的一般形式为：
其中，\(a_n(x), a_{n-1}(x), ..., a_1(x), a_0(x)\) 和 \(f(x)\) 都是 \(x\) 的已知函数，且 \(a_n(x) \not\equiv 0\)， \(f(x) \not\equiv 0\)。与齐次方程不同的是，非齐次方程的右端项 \(f(x)\) 不为零，这代表着外部的输入或激励。
3.7.1 非齐次线性微分方程解的结构
定理： 如果 \(y^*(x)\) 是非齐次线性微分方程
的一个特解，\(Y(x)\) 是对应的齐次线性微分方程
的通解，那么非齐次线性微分方程的通解为：
这个定理揭示了非齐次线性微分方程解的结构：其通解由两部分组成，一部分是对应齐次方程的通解，另一部分是自身的一个特解。这表明，非齐次方程的解不仅受到系统自身特性的影响（由齐次方程的通解决定），也受到外部激励的影响（由特解决定）。
证明：
首先，\(y(x) = Y(x) + y^*(x)\) 显然是原非齐次方程的解，因为：
将\(y(x) = Y(x) + y^*(x)\) 代入非齐次方程，利用导数的线性性质得到：
利用导数的线性性质，上式可以展开为：
由于 \(Y(x)\) 是对应齐次方程的通解，所以第一项为 0；由于 \(y^*(x)\) 是非齐次方程的一个特解，所以第二项为 \(f(x)\)。因此：
即 \(y(x) = Y(x) + y^*(x)\) 满足非齐次方程。
其次，我们需要证明非齐次方程的任意一个解都可以表示成 \(Y(x) + y^*(x)\) 的形式。设 \(\tilde{y}(x)\) 是非齐次方程的任意一个解，由于 \(y^*(x)\) 也是非齐次方程的解，那么：
两式相减得到：
这说明 \(\tilde{y}(x) - y^*(x)\) 是对应齐次方程的一个解。由于 \(Y(x)\) 是对应齐次方程的通解，所以存在一组常数 \(C_1, C_2, ..., C_n\)，使得：
因此：
这说明非齐次方程的任意一个解都可以表示成 \(Y(x) + y^*(x)\) 的形式。
综上所述，非齐次线性微分方程的通解为 \(y(x) = Y(x) + y^*(x)\)。
解释： 这个定理告诉我们，要求解非齐次线性微分方程，我们只需要找到它的一个特解 \(y^*(x)\) 和对应的齐次线性微分方程的通解 \(Y(x)\)，然后将它们相加即可。因此，求解非齐次方程的重点在于如何寻找一个特解。
3.7.2 常数变易法 (选学)
常数变易法是一种求解非齐次线性微分方程特解的通用方法。它的基本思想是将齐次线性微分方程通解中的任意常数“变易”成待定函数，然后代入非齐次方程，从而确定这些待定函数。
由于常数变易法涉及到较为复杂的计算，并且对于一年级第一学期的学生来说，掌握待定系数法已经足够应对大部分情况，因此我将常数变易法作为选学内容，供感兴趣的同学深入了解。
以二阶非齐次线性微分方程为例，假设对应的齐次方程的通解为：
我们将常数 \(C_1\) 和 \(C_2\) 变易成关于 \(x\) 的函数 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\)，即令：
然后将 \(y^*(x)\) 代入非齐次方程，并合理地选择 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\)，使得它们满足一定的条件，从而可以解出 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\)。
具体步骤如下 (这里只给出步骤和结论，推导过程略)：
-
计算 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 的朗斯基行列式：
\(\(W(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} = y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x)\)\) 2. 计算 \(u_1'(x)\) 和 \(u_2'(x)\)：
\(\(u_1'(x) = -\frac{y_2(x)f(x)}{a_2(x)W(x)}, \quad u_2'(x) = \frac{y_1(x)f(x)}{a_2(x)W(x)}\)\) 3. 积分得到 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\)：
\(\(u_1(x) = -\int \frac{y_2(x)f(x)}{a_2(x)W(x)} dx, \quad u_2(x) = \int \frac{y_1(x)f(x)}{a_2(x)W(x)} dx\)\) 4. 将 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 代入 \(y^*(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)\)，得到非齐次方程的特解。
例 3.7.1 (选学) 使用常数变易法求解微分方程 \(y'' + y = \tan x\)。
解:
对应的齐次方程为 \(y'' + y = 0\)，其通解为 \(Y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x\)。
这里 \(y_1(x) = \cos x\), \(y_2(x) = \sin x\), \(f(x) = \tan x\), \(a_2(x) = 1\)。
计算朗斯基行列式：
计算 \(u_1'(x)\) 和 \(u_2'(x)\)：
积分得到 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\)：
将 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 代入 \(y^*(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)\)，得到特解：
因此，原方程的通解为：
3.7.3 待定系数法
待定系数法是一种求解非齐次线性微分方程特解的常用方法，它更加注重解的实用性。它的基本思想是根据非齐次项 \(f(x)\) 的形式，预先设定一个含有待定系数的特解形式，然后将该特解代入原方程，比较系数，从而确定这些待定系数。
对于常系数线性微分方程，如果非齐次项 \(f(x)\) 具有某些特殊的形式，例如多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的组合，我们可以使用待定系数法来求解特解。这种方法简单易行，计算量小，是工程和科学计算中常用的方法。
(1) \(f(x) = P_m(x)e^{\alpha x}\) 型，其中 \(P_m(x)\) 是 \(x\) 的 \(m\) 次多项式
当非齐次项 \(f(x)\) 具有 \(P_m(x)e^{\alpha x}\) 的形式时，我们可以根据以下规则设定特解 \(y^*(x)\) 的形式：
- 如果 \(\alpha\) 不是特征方程的根，则设 \(y^*(x) = Q_m(x)e^{\alpha x}\)；
- 如果 \(\alpha\) 是特征方程的 \(k\) 重根，则设 \(y^*(x) = x^k Q_m(x)e^{\alpha x}\)；
其中 \(Q_m(x)\) 是与 \(P_m(x)\) 同次的一般形式的多项式，其系数待定。
(2) \(f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x]\) 型，其中 \(P_l(x)\) 和 \(P_n(x)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次和 \(n\) 次多项式
当非齐次项 \(f(x)\) 具有 \(e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x]\) 的形式时，我们可以根据以下规则设定特解 \(y^*(x)\) 的形式：
- 如果 \(\alpha + i\beta\) 不是特征方程的根，则设 \(y^*(x) = e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\)；
- 如果 \(\alpha + i\beta\) 是特征方程的 \(k\) 重根，则设 \(y^*(x) = x^k e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\)；
其中 \(m = \max\{l, n\}\), \(Q_m(x)\) 和 \(R_m(x)\) 分别是 \(x\) 的 \(m\) 次一般形式的多项式，其系数待定。
例 3.7.2 求微分方程 \(y'' - 2y' - 3y = 3x + 1\) 的一个特解。
解：
对应的齐次方程为 \(y'' - 2y' - 3y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 - 2r - 3 = 0\)，特征根为 \(r_1 = 3\), \(r_2 = -1\)。
由于非齐次项 \(f(x) = 3x + 1\) 是 \(x\) 的一次多项式，且 \(\alpha = 0\) 不是特征根，所以设特解为 \(y^*(x) = Ax + B\)，其中 \(A\) 和 \(B\) 是待定系数。
将 \(y^*(x)\) 代入原方程，得到：
比较系数，得到：
解得 \(A = -1\), \(B = \frac{1}{3}\)。
因此，原方程的一个特解为 \(y^*(x) = -x + \frac{1}{3}\)。
例 3.7.3 求微分方程 \(y'' - 2y' - 3y = e^{2x}\) 的一个特解。
解：
由例 3.7.2 知，对应齐次方程的特征根为 \(r_1 = 3\), \(r_2 = -1\)。
由于非齐次项 \(f(x) = e^{2x}\) 中 \(\alpha = 2\) 不是特征根，所以设特解为 \(y^*(x) = Ae^{2x}\)，其中 \(A\) 是待定系数。
将 \(y^*(x)\) 代入原方程，得到：
比较系数，得到：
解得 \(A = -\frac{1}{3}\)。
因此，原方程的一个特解为 \(y^*(x) = -\frac{1}{3}e^{2x}\)。
例 3.7.4 求解微分方程 \(y'' - 4y' + 4y = e^{2x}\)。
解:
对应的齐次方程为 \(y''-4y'+4y=0\), 特征方程为 \(r^2-4r+4=(r-2)^2=0\), 特征根为 \(r_1=r_2=2\).
非齐次项\(f(x)=e^{2x}\)中 \(\alpha=2\) 是特征方程的二重根, 所以设特解为 \(y^*(x)=Ax^2e^{2x}\)
将 \(y^*(x)\) 代入原方程:
\(y^{*'}(x) = 2Axe^{2x} + 2Ax^2e^{2x}\)
\(y^{*''}(x) = 2Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x}\)
\(y^{*''} - 4y^{*'} + 4y^* = (4Ax^2 + 8Ax + 2A)e^{2x} - 4(2Ax^2+2Ax)e^{2x} + 4Ax^2e^{2x} = 2Ae^{2x} = e^{2x}\)
得到\(2A=1\), 解得\(A=1/2\)
所以特解为 \(y^*(x)=\frac{1}{2}x^2e^{2x}\)
例 3.7.5 求微分方程 \(y'' + 4y = \cos 2x\) 的一个特解。
解：
对应的齐次方程为 \(y'' + 4y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + 4 = 0\)，特征根为 \(r_1 = 2i\), \(r_2 = -2i\)。
由于非齐次项 \(f(x) = \cos 2x\) 中 \(\alpha = 0\), \(\beta = 2\)，且 \(\alpha + i\beta = 2i\) 是特征根，所以设特解为 \(y^*(x) = x(A\cos 2x + B\sin 2x)\)，其中 \(A\) 和 \(B\) 是待定系数。
求导得到：
\(y^{*'}(x) = (A\cos 2x + B\sin 2x) + x(-2A\sin 2x + 2B\cos 2x)\)
\(y^{*''}(x) = (-2A\sin 2x + 2B\cos 2x) + (-2A\sin 2x + 2B\cos 2x) + x(-4A\cos 2x - 4B\sin 2x)\)
\(= -4A\sin 2x + 4B\cos 2x -4Ax\cos 2x - 4Bx\sin 2x\)
将 \(y^*(x)\) 代入原方程，得到：
\(-4A\sin 2x + 4B\cos 2x -4Ax\cos 2x - 4Bx\sin 2x + 4x(A\cos 2x + B\sin 2x) = \cos 2x\)
\(-4A\sin 2x + 4B\cos 2x = \cos 2x\)
比较系数，得到：
解得 \(A = 0\), \(B = \frac{1}{4}\)。
因此，原方程的一个特解为 \(y^*(x) = \frac{1}{4}x\sin 2x\)。
3.7 非齐次线性微分方程 (续)¶
3.7.3 待定系数法 (补充)
待定系数法是一种求解非齐次线性微分方程特解的常用方法。它的基本思想是根据非齐次项 \(f(x)\) 的形式，预先设定一个含有待定系数的特解形式，然后将该特解代入原方程，比较系数，从而确定这些待定系数。
原理： 待定系数法之所以有效，是因为对于某些特定形式的非齐次项 \(f(x)\)，例如多项式、指数函数、正弦/余弦函数以及它们的组合，我们可以根据微分算子的性质，推测出特解 \(y^*(x)\) 可能具有的形式。
例如，如果 \(f(x)\) 是一个 \(m\) 次多项式，那么 \(y^*(x)\) 及其各阶导数也应该是多项式。将一个一般形式的 \(m\) 次多项式代入方程后，方程两边仍然是多项式，因此我们可以通过比较两边多项式的系数来确定待定系数。
类似地，如果 \(f(x)\) 是指数函数 \(e^{\alpha x}\)，那么 \(y^*(x)\) 及其各阶导数都应该包含 \(e^{\alpha x}\) 的因子。如果 \(f(x)\) 是正弦/余弦函数，那么 \(y^*(x)\) 及其各阶导数都应该包含相同频率的正弦/余弦函数。
步骤： 使用待定系数法求解非齐次线性微分方程的特解的步骤如下：
- 求解对应的齐次方程的通解 \(Y(x)\)： 这是为了确定特征根，以便后续判断特解的形式。
- 根据非齐次项 \(f(x)\) 的形式，设定特解 \(y^*(x)\) 的形式： 根据 3.7.3 节 中总结的规则，设定一个含有待定系数的特解形式。
- 将 \(y^*(x)\) 代入原非齐次方程： 计算 \(y^*(x)\) 的各阶导数，并将它们代入原方程。
- 比较系数，确定待定系数： 将方程两边展开，比较相同项的系数，得到关于待定系数的方程组。求解这个方程组，得到待定系数的值。
- 写出特解 \(y^*(x)\)： 将求得的待定系数代回设定的特解形式中，得到非齐次方程的一个特解。
特解形式的选取：
(1) \(f(x) = P_m(x)e^{\alpha x}\) 型，其中 \(P_m(x)\) 是 \(x\) 的 \(m\) 次多项式
-
如果 \(\alpha\) 不是特征方程的根，则设 \(y^*(x) = Q_m(x)e^{\alpha x}\)；
这里 \(Q_m(x)\) 是一个与 \(P_m(x)\) 同次的待定系数多项式。例如，如果 \(P_m(x) = 2x^2 + 1\)，那么 \(Q_m(x) = Ax^2 + Bx + C\)。 * 如果 \(\alpha\) 是特征方程的 \(k\) 重根，则设 \(y^*(x) = x^k Q_m(x)e^{\alpha x}\)；
这里需要乘以 \(x^k\)，以确保 \(y^*(x)\) 与齐次方程的通解线性无关。
(2) \(f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x]\) 型，其中 \(P_l(x)\) 和 \(P_n(x)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次和 \(n\) 次多项式
-
如果 \(\alpha + i\beta\) 不是特征方程的根，则设 \(y^*(x) = e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\)；
这里 \(m = \max\{l, n\}\)，\(Q_m(x)\) 和 \(R_m(x)\) 都是 \(x\) 的 \(m\) 次待定系数多项式。 * 如果 \(\alpha + i\beta\) 是特征方程的 \(k\) 重根，则设 \(y^*(x) = x^k e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\)；
同样地，这里需要乘以 \(x^k\)，以确保 \(y^*(x)\) 与齐次方程的通解线性无关。
表格总结：
| \(f(x)\) 的形式 | \(y^*(x)\) 的形式 |
|---|---|
| \(P_m(x)\) | \(Q_m(x)\) (如果 0 不是特征根)；\(x^k Q_m(x)\) (如果 0 是 k 重特征根) |
| \(P_m(x)e^{\alpha x}\) | \(Q_m(x)e^{\alpha x}\) (如果 \(\alpha\) 不是特征根)；\(x^k Q_m(x)e^{\alpha x}\) (如果 \(\alpha\) 是 k 重特征根) |
| \(e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x]\) | \(e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\) (如果 \(\alpha + i\beta\) 不是特征根)；\(x^k e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\) (如果 \(\alpha + i\beta\) 是 k 重特征根) |
其中，\(P_m(x), Q_m(x), R_m(x)\) 分别表示 \(x\) 的 \(m\) 次多项式。
例 3.7.6 求微分方程 \(y'' - 2y' - 3y = 2e^{3x}\) 的一个特解。
解：
对应的齐次方程为 \(y'' - 2y' - 3y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 - 2r - 3 = 0\)，特征根为 \(r_1 = 3\), \(r_2 = -1\)。
由于非齐次项 \(f(x) = 2e^{3x}\) 中 \(\alpha = 3\) 是特征方程的单根，所以设特解为 \(y^*(x) = Axe^{3x}\)，其中 \(A\) 是待定系数。
将 \(y^*(x)\) 代入原方程，得到：
化简得到：
比较系数，得到：
解得 \(A = \frac{1}{2}\)。
因此，原方程的一个特解为 \(y^*(x) = \frac{1}{2}xe^{3x}\)。
例 3.7.7 求微分方程 \(y'' - 2y' - 3y = 2xe^{3x}\) 的一个特解。
解:
对应的齐次方程为 \(y''-2y'-3y=0\), 其特征方程为 \(r^2-2r-3=0\), 特征根为 \(r_1=3\), \(r_2=-1\).
由于非齐次项\(f(x) = 2xe^{3x}\)中 \(\alpha=3\)是特征方程的单根, 且\(2x\) 是一次多项式, 所以设特解为 \(y^*(x) = x(Ax+B)e^{3x} = (Ax^2+Bx)e^{3x}\)。
将 \(y^*(x)\) 代入原方程:
\(y^{*'}(x) = (2Ax+B)e^{3x} + 3(Ax^2+Bx)e^{3x} = (3Ax^2 + (2A+3B)x + B)e^{3x}\)
\(y^{*''}(x) = (6Ax + 2A + 3B)e^{3x} + 3(3Ax^2 + (2A+3B)x + B)e^{3x} = (9Ax^2 + (12A+9B)x + 2A + 6B)e^{3x}\)
\((9Ax^2 + (12A+9B)x + 2A + 6B)e^{3x} - 2(3Ax^2 + (2A+3B)x + B)e^{3x} - 3(Ax^2+Bx)e^{3x} = 2xe^{3x}\)
化简得到:
\((9A-6A-3A)x^2e^{3x} + (12A+9B-4A-6B-3B)xe^{3x} + (2A+6B-2B)e^{3x} = 8Axe^{3x} + (2A+4B)e^{3x} = 2xe^{3x}\)
比较系数:
\(8A = 2\)
\(2A+4B = 0\)
解得 \(A = 1/4\), \(B=-1/8\)。
因此, 原方程的一个特解为 \(y^*(x) = (\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{8}x)e^{3x}\)。
例 3.7.8 求微分方程 \(y'' + y = \sin x + \cos 2x\) 的一个特解。
解：
对应的齐次方程为 \(y'' + y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + 1 = 0\)，特征根为 \(r_1 = i\), \(r_2 = -i\)。
由于非齐次项 \(f(x) = \sin x + \cos 2x\) 包含两个不同频率的正弦/余弦函数，我们需要分别对 \(\sin x\) 和 \(\cos 2x\) 设定特解形式，然后将它们叠加起来。
对于 \(\sin x\)，由于 \(\alpha = 0\), \(\beta = 1\)，且 \(\alpha + i\beta = i\) 是特征方程的单根，所以设特解为 \(y_1^*(x) = x(A\cos x + B\sin x)\)。
对于 \(\cos 2x\)，由于 \(\alpha = 0\), \(\beta = 2\)，且 \(\alpha + i\beta = 2i\) 不是特征方程的根，所以设特解为 \(y_2^*(x) = C\cos 2x + D\sin 2x\)。
因此，设原方程的特解为 \(y^*(x) = y_1^*(x) + y_2^*(x) = x(A\cos x + B\sin x) + C\cos 2x + D\sin 2x\)。
将 \(y^*(x)\) 代入原方程，得到：
比较系数，得到：
解得 \(A = -\frac{1}{2}\), \(B = 0\), \(C = -\frac{1}{3}\), \(D = 0\)。
因此，原方程的一个特解为 \(y^*(x) = -\frac{1}{2}x\cos x - \frac{1}{3}\cos 2x\)。
总结： 待定系数法的关键在于根据非齐次项的形式和特征根的情况，正确地设定特解的形式。需要注意的是，如果非齐次项是几项之和，而这几项需要使用不同的特解形式，那么应该分别设定特解，然后将它们叠加起来。
局限性： 待定系数法只适用于非齐次项具有某些特殊形式的常系数线性微分方程。对于非常系数线性微分方程，或者非齐次项形式比较复杂的情况，待定系数法就不再适用，需要使用其他方法，例如常数变易法或格林函数法 (这部分内容较为高深，通常不在大学一年级第一学期的学习范围内)。
3.8 习题 (续)¶
(接上文 3.7 节)
3. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：
a. \(y'' - 4y' + 3y = x^2\)
b. \(y'' - 4y' + 3y = e^{2x}\)
c. \(y'' - 4y' + 3y = xe^{x}\)
d. \(y'' - 4y' + 4y = e^{2x}\)
e. \(y'' + 4y = \sin x\)
f. \(y'' + 4y = \cos 2x\)
g. \(y'' + y = \sin x \cos 2x\)
h. \(y'' - 2y' + 5y = e^x \sin x\)
i. \(y'' - 2y' + y = x e^x\)
j. \(y'' + 2y' + y = \cos^2 x\) (提示: 利用三角恒等式 \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\))
4. 使用待定系数法求解下列微分方程的通解：
a. \(y'' - 5y' + 6y = x + e^{2x}\)
b. \(y'' + 2y' + 5y = \sin 2x\)
c. \(y''' - y'' - y' + y = 2e^x - e^{-x}\)
5. 求解下列初值问题：
a. \(y'' - 4y = e^{2x}\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 1\)
b. \(y'' + 9y = \cos 3x\), \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 0\)
6. 选择题：
a. 微分方程 \(y'' + 2y' + y = x^2 e^{-x}\) 的特解形式可设为：
(A) \(y^*(x) = (Ax^2 + Bx + C)e^{-x}\)
(B) \(y^*(x) = x(Ax^2 + Bx + C)e^{-x}\)
(C) \(y^*(x) = x^2(Ax^2 + Bx + C)e^{-x}\)
(D) \(y^*(x) = Ax^2 e^{-x}\)
b. 微分方程 \(y'' - 3y' + 2y = \sin x\) 的特解形式可设为：
(A) \(y^*(x) = A\sin x\)
(B) \(y^*(x) = A\cos x\)
(C) \(y^*(x) = A\sin x + B\cos x\)
(D) \(y^*(x) = Ax\sin x + Bx\cos x\)
c. 微分方程 \(y'' + y = xe^x \cos x\) 的特解形式可设为：
(A) \(y^*(x) = (Ax + B)e^x \cos x\)
(B) \(y^*(x) = (Ax + B)e^x \sin x\)
(C) \(y^*(x) = (Ax + B)e^x \cos x + (Cx + D)e^x \sin x\)
(D) \(y^*(x) = x(Ax + B)e^x \cos x + x(Cx + D)e^x \sin x\)
7. 思考题：
a. 如果非齐次项 \(f(x)\) 是两个函数 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\) 的和，即 \(f(x) = f_1(x) + f_2(x)\)，且我们分别找到了对应于 \(f_1(x)\) 的特解 \(y_1^*(x)\) 和对应于 \(f_2(x)\) 的特解 \(y_2^*(x)\)，那么 \(y^*(x) = y_1^*(x) + y_2^*(x)\) 是否是原非齐次方程的特解？请说明理由。
b. 如果非齐次项 \(f(x)\) 需要使用待定系数法，并且需要设特解形式为 \(y^*(x) = x^k Q_m(x)e^{\alpha x}\) (对应于 \(f(x) = P_m(x)e^{\alpha x}\) 的情况) 或者 \(y^*(x) = x^k e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\) (对应于 \(f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x]\) 的情况)，那么 \(k\) 的值应该如何确定？\(k\) 的值与什么有关？
c. 已知 \(y_1(x) = e^{2x}\) 是微分方程 \(y''' - 4y'' + 5y' - 2y = 0\) 的一个特解，请利用降阶法求解该方程的通解。
d. 求解微分方程 \(y'' = \frac{1}{1+y'}\), 强调需要使用特定形式降阶法求解。
3.9 降阶法 (选学)¶
降阶法是一类重要的求解高阶微分方程的技巧，它不仅包括利用已知特解进行降阶，还包括对具有特定形式的高阶方程进行变量替换，从而降低阶数的方法。掌握不同类型的降阶法，可以帮助我们更灵活地应对各种微分方程。
3.9.1 降阶法的基本思想
降阶法的基本思想是将高阶微分方程转化为低阶的方程，从而降低求解难度。实现降阶主要有两种途径：
- 利用已知特解降阶： 当我们已知方程的一个特解时，可以通过变量替换，将特解的信息提取出来，从而降低方程的阶数。这种方法适用于那些我们可以找到一个特解的情况，它可以帮助我们求解高阶齐次线性微分方程。
- 特定形式的降阶： 对于某些具有特定形式的高阶方程，我们可以通过引入新的变量，直接将高阶导数替换为低阶导数，从而直接降低方程的阶数。这种方法适用于一些具有特殊结构的方程，例如，仅包含 \(y''\) 和 \(y'\) 或仅包含 \(y''\) 和 \(y\) 的方程。
3.9.2 常见的特定形式降阶法
除了前文介绍的利用已知解的降阶法外，还有几种常见的，针对特定形式方程的降阶方法，掌握这些方法能够有效地解决一类特殊的微分方程。
(1) \(y'' = f(x, y')\) 型
如果微分方程具有 \(y'' = f(x, y')\) 的形式，也就是说，方程中不显式包含 \(y\)，那么我们可以令 \(p(x) = y'\)，从而有 \(p'(x) = y''\)。原方程可以转化为：
这是一个关于 \(p(x)\) 的一阶微分方程。求解出 \(p(x)\) 后，可以通过积分得到 \(y(x)\)。
(2) \(y'' = f(y, y')\) 型
如果微分方程具有 \(y'' = f(y, y')\) 的形式，也就是说，方程中不显式包含 \(x\)，那么我们可以令 \(p(y) = y'\)，注意这里 \(p\) 是 \(y\) 的函数，而不是 \(x\) 的函数， 因此 \(y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy}p\). 原方程可以转化为：
这是一个关于 \(p(y)\) 的一阶微分方程。求解出 \(p(y)\) 后，可以通过分离变量得到 \(y(x)\)。
(3) 高阶方程的类似处理
对于更高阶的微分方程，如果它们也具有类似的特点，即缺少某些变量，我们也可以采取类似的变量替换方式进行降阶。例如，对于 \(y^{(4)} = f(x, y'', y''')\), 可以令 \(p(x) = y''\), 则可以得到关于 \(p(x)\) 的二阶方程。
3.9.3 降阶法的步骤 (以二阶方程为例)
为了更加清晰地展示降阶法，我们仍然以二阶方程为例，总结其步骤，此时我们也将结合使用已知特解的降阶法：
假设我们有一个二阶常系数齐次线性微分方程：
并且我们已知一个特解 \(y_1(x)\)， 同时我们想结合特定形式的降阶法来解题。
步骤一：引入新的未知函数 (已知解降阶法)
我们引入一个新的未知函数 \(u(x)\)，并假设原方程的解可以表示为：
步骤二：计算导数并代入原方程 (已知解降阶法)
计算 \(y(x)\) 的一阶和二阶导数：
将 \(y(x)\), \(y'(x)\), \(y''(x)\) 代入原方程 \(ay'' + by' + cy = 0\)，得到：
步骤三：利用 \(y_1(x)\) 是特解的条件化简方程 (已知解降阶法)
将上式整理，得到：
由于 \(y_1(x)\) 是原方程的特解，所以 \(ay_1''(x) + by_1'(x) + cy_1(x) = 0\)，因此上式可化简为：
步骤四：引入新的变量，进行降阶（特定形式降阶法）
为了降低方程的阶数，我们引入新的变量 \(v(x) = u'(x)\)，那么 \(u''(x) = v'(x)\)。原方程转化为：
这是一个关于 \(v(x)\) 的一阶微分方程，并且具有前面描述的特殊形式（不显式包含 \(x\)），可以采用上述方法求解。
步骤五：求解一阶微分方程
我们可以利用各种一阶微分方程的解法求解出 \(v(x)\)，或继续进行上述的 “\(y'' = f(x, y')\) 型” 或 “\(y'' = f(y, y')\) 型”的变量替换方法。
步骤六：积分得到 \(u(x)\) 和 \(y(x)\)
由于 \(v(x) = u'(x)\)，所以我们可以通过积分得到 \(u(x)\)。最后，将 \(u(x)\) 代回 \(y(x) = u(x)y_1(x)\)，即可得到原二阶方程的通解。
3.9.4 降阶法的应用场景和与特征根法的结合
降阶法可以应用于各种线性微分方程，并且常常与特征根方法相互补充，其应用场景如下：
- 已知一个特解的高阶齐次线性微分方程： 此时可以直接利用降阶法来简化求解过程。在降阶的过程中，可能会出现可以直接用特征根方法求解的低阶方程，此时，两种方法可以有机结合，充分发挥各自优势。
- 特定形式的变系数或常系数线性微分方程： 当方程具有某些特殊结构时，可以通过变量代换或某些技巧，找到一个特解，或者将其转化为具有明确形式的方程，然后利用降阶法降低方程的阶数。这种情况下，我们可能需要结合对变系数方程的特殊处理方法以及特征根方法来求解最终的通解。
- 在求解非齐次方程的过程中： 有时需要先求解对应的齐次方程，并在此过程中可以使用降阶法。例如，当我们得到对应齐次方程的一个特解时，可以使用降阶法来求解齐次方程的通解，从而帮助我们更好地找到非齐次方程的特解。
- 特征根方法无法直接使用的情况： 当高阶方程的特征方程求解困难，或无法直接得到特征根时，如果我们恰好能通过一些方法得到一个特解，可以使用降阶法进行化简，从而找到最终的解。
总而言之，降阶法和特征根方法以及特定的变量替换方法并非各自独立，而是相互补充的，根据方程的不同特点，我们需要灵活使用这些方法，才能更高效地解决问题。
例 3.9.1 求解微分方程 \(y'' - 2y' = x\)
解： 此方程为 \(y'' = f(x, y')\) 型， 令 \(p(x) = y'\), 则 \(p' = y''\).
原方程变为 \(p' - 2p = x\), 这是一阶线性非齐次方程。
使用一阶线性非齐次方程的通解公式，可以得到 \(p(x) = C_1 e^{2x} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\).
再使用积分，可得 \(y(x) = \frac{C_1}{2} e^{2x} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x + C_2 = A e^{2x} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x + B\), 其中 \(A\) 和 \(B\) 为任意常数。
例 3.9.2 求解微分方程 \(yy'' = (y')^2\)
解： 此方程为 \(y'' = f(y, y')\) 型, 令 \(p(y) = y'\), 则 \(y'' = p\frac{dp}{dy}\).
原方程转化为 \(yp\frac{dp}{dy} = p^2\), 即 \(\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}\).
对其积分，得到 \(\ln|p| = \ln|y| + C\), 即 \(p = C_1 y\).
由于 \(p = y'\), 所以 \(\frac{dy}{dx} = C_1 y\), 解得 \(\ln|y| = C_1 x + C_2\), 因此，\(y(x) = C_3 e^{C_1 x}\). 其中，\(C_1\), \(C_2\) 和 \(C_3\) 为任意常数。
3.9.4 总结
降阶法是一类有效的高阶线性微分方程的技巧，它包含多种方法，可以根据实际方程的特点灵活选择合适的技巧。降阶法与特征根方法，待定系数法等等方法相互补充，在不同的场景下发挥各自的优势。掌握降阶法可以使我们更加灵活地应对各种微分方程，进一步提升解决实际问题的能力。
3.10 习题 (续)¶
(接上文 3.8 节)
3. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：
a. \(y'' - 4y' + 3y = x^2\) b. \(y'' - 4y' + 3y = e^{2x}\) c. \(y'' - 4y' + 3y = xe^{x}\) d. \(y'' - 4y' + 4y = e^{2x}\) e. \(y'' + 4y = \sin x\) f. \(y'' + 4y = \cos 2x\) g. \(y'' + y = \sin x \cos 2x\) h. \(y'' - 2y' + 5y = e^x \sin x\) i. \(y'' - 2y' + y = x e^x\) j. \(y'' + 2y' + y = \cos^2 x\) (提示: 利用三角恒等式 \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\))
4. 使用待定系数法求解下列微分方程的通解：
a. \(y'' - 5y' + 6y = x + e^{2x}\) b. \(y'' + 2y' + 5y = \sin 2x\) c. \(y''' - y'' - y' + y = 2e^x - e^{-x}\)
5. 求解下列初值问题：
a. \(y'' - 4y = e^{2x}\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 1\) b. \(y'' + 9y = \cos 3x\), \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 0\)
6. 选择题：
a. 微分方程 \(y'' + 2y' + y = x^2 e^{-x}\) 的特解形式可设为：
(A) \(y^*(x) = (Ax^2 + Bx + C)e^{-x}\) (B) \(y^*(x) = x(Ax^2 + Bx + C)e^{-x}\) (C) \(y^*(x) = x^2(Ax^2 + Bx + C)e^{-x}\) (D) \(y^*(x) = Ax^2 e^{-x}\)
b. 微分方程 \(y'' - 3y' + 2y = \sin x\) 的特解形式可设为：
(A) \(y^*(x) = A\sin x\) (B) \(y^*(x) = A\cos x\) (C) \(y^*(x) = A\sin x + B\cos x\) (D) \(y^*(x) = Ax\sin x + Bx\cos x\)
c. 微分方程 \(y'' + y = xe^x \cos x\) 的特解形式可设为：
(A) \(y^*(x) = (Ax + B)e^x \cos x\) (B) \(y^*(x) = (Ax + B)e^x \sin x\) (C) \(y^*(x) = (Ax + B)e^x \cos x + (Cx + D)e^x \sin x\) (D) \(y^*(x) = x(Ax + B)e^x \cos x + x(Cx + D)e^x \sin x\)
7. 思考题：
a. 如果非齐次项 \(f(x)\) 是两个函数 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\) 的和，即 \(f(x) = f_1(x) + f_2(x)\)，且我们分别找到了对应于 \(f_1(x)\) 的特解 \(y_1^*(x)\) 和对应于 \(f_2(x)\) 的特解 \(y_2^*(x)\)，那么 \(y^*(x) = y_1^*(x) + y_2^*(x)\) 是否是原非齐次方程的特解？请说明理由。 b. 如果非齐次项 \(f(x)\) 需要使用待定系数法，并且需要设特解形式为 \(y^*(x) = x^k Q_m(x)e^{\alpha x}\) (对应于 \(f(x) = P_m(x)e^{\alpha x}\) 的情况) 或者 \(y^*(x) = x^k e^{\alpha x}[Q_m(x)\cos \beta x + R_m(x)\sin \beta x]\) (对应于 \(f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x]\) 的情况)，那么 \(k\) 的值应该如何确定？\(k\) 的值与什么有关？ c. 已知 \(y_1(x) = e^{2x}\) 是微分方程 \(y''' - 4y'' + 5y' - 2y = 0\) 的一个特解，请利用降阶法求解该方程的通解。
d. 求解微分方程 \(y'' = \frac{1}{1+y'}\), 强调需要使用特定形式降阶法求解。